Asymptotische Analyse

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In der Mathematik und ihren Anwendungen bezeichnet asymptotische Analyse eine Methode um das Grenzverhalten von Funktionen zu klassifizieren, indem man nur den wesentlichen Trend des Grenzverhaltens beschreibt.

Beschreibung des asymptotischen Verhaltens[Bearbeiten]

Das asymptotische Verhalten von Funktionen lässt sich mit einer Äquivalenzrelation beschreiben. Sind beispielsweise f und g reellwertige Funktionen natürlicher Zahlen n, so lässt sich eine Äquivalenzrelation definieren durch

f \sim g

genau dann wenn

\lim_{n \to \infty} \frac{f(n)}{g(n)} = 1 .

Die Äquivalenzklasse von g besteht aus allen Funktionen h, bei denen der relative Fehler \tfrac{h(n)-g(n)}{g(n)} zu g beim Grenzübergang n\to\infty gegen 0 strebt. Diese Definition lässt sich unmittelbar auf Funktionen einer reellen oder komplexen Veränderlichen x übertragen sowie auf den Fall x gegen x_0, wobei die Annäherung an x_0 oft nur über eine Teilmenge erfolgt, z. B. im Reellen von links oder von rechts, bzw. im Komplexen in einem Winkelbereich, oder über eine vorgegebene diskrete Menge.

Einige Beispiele für asymptotische Resultate[Bearbeiten]

  • Der Primzahlsatz der Zahlentheorie besagt, dass die Anzahl von Primzahlen kleiner x für große x sich asymptotisch verhält wie x/\log(x).
  • Die Stirling-Formel beschreibt das asymptotische Verhalten der Fakultäten.
  • Vier elementare Beispiele sind \ln(1+x), \sin(x), 1 - \cos(x) und \cot(x) mit dem asymptotischen Verhalten x, x, x^2/2 bzw. 1/x für x gegen 0.

Landau-Notation[Bearbeiten]

Eine nützliche Notation zur Beschreibung der Wachstumsklassen ist die Landau-Notation, die ursprünglich von Paul Bachmann stammt, aber durch Edmund Landau bekannt gemacht wurde. Eine wichtige Anwendung der Landau-Notation ist die Komplexitätstheorie, in der asymptotische Laufzeit und Speicherverbrauch eines Algorithmus untersucht werden.

Die einfachste Art, diese Symbole zu definieren, ist die folgende: O(f(x)) und o(f(x)) sind Klassen von Funktionen mit den Eigenschaften

Für alle g(x) \in O(f(x))\Leftrightarrow \limsup\limits_{x\to x_0} \left |\frac{g(x)}{f(x)}\right| < \infty,
Für alle g(x) \in o(f(x))\Leftrightarrow \lim\limits_{x\to x_0} \left |\frac{g(x)}{f(x)}\right| =0.

x_0 wird in der Regel aus dem Kontext klar. Weiter schreibt man häufig statt g(x) \in O(f(x)) das Folgende: g(x)=O(f(x)).

Asymptotische Entwicklung[Bearbeiten]

Unter einer asymptotischen Entwicklung einer Funktion f versteht man die Darstellung der Funktion als nicht notwendigerweise konvergente Reihe. Die Partialsummen einer solchen Reihe brauchen nicht zu konvergieren, liefern aber in der Nähe von x_0 gute Näherungen für den Funktionswert. Das bekannteste Beispiel einer asymptotischen Entwicklung ist die stirlingsche Reihe als asymptotische Entwicklung für die Fakultät. Definieren lässt sich eine solche Entwicklung mit Hilfe einer asymptotischen Folge (\varphi_n) als

f(x) = \sum_{i=1}^N a_i\varphi_i(x) + o(\varphi_N(x))

mit \varphi_{n+1}(x) = o(\varphi_n(x)), \; x \to x_0.

Falls die asymptotische Entwicklung nicht konvergiert, gibt es für jedes Funktionsargument x einen Index k, bei dem der Approximationsfehler

f(x)-\sum_{i=1}^k a_i\varphi_i(x)

am kleinsten wird; Hinzufügen weiterer Terme verschlechtert die Approximation. Der Index k der besten Approximation wird bei asymptotischen Entwicklungen aber umso größer, je näher x bei x_0 liegt.

Asymptotische Entwicklungen treten insbesondere bei der Approximation gewisser Integrale auf, beispielsweise mittels der Sattelpunktmethode. Das asymptotische Verhalten von Reihen lässt sich darauf oft mit Hilfe der eulerschen Summenformel zurückführen.

Literatur[Bearbeiten]

  • Erdélyi, A.: Asymptotic Expansions, New York: Dover, 1987.
  • Berg, L.: Asymptotische Darstellungen und Entwicklungen, Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1968.