Benutzer:Antonsusi/17

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Zur Konstruktion regulärer Polygone, insbesondere des regulären 17-Ecks, 257-Ecks und 65537-Ecks

(mit Video zur Konstruktion des regulären 257-Ecks, Impressionen zum legendären Koffer mit der Arbeit zum 65537-Eck von HERMES in Göttingen)

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von Dr. Bernd Winter, Leipzig¹

Reguläre Polygone oder $n$-Ecke sind solche $n$-Ecke mit gleicher Seitenlänge $a_{n}$.
Die klassischen Konstruktionswerkzeuge nach EUKLID (etwa 365 v. Chr. - etwa 300 v. Chr.) sind Zirkel und Lineal (ohne Messfunktion). Damit können Kreise um einen (Mittel)punkt durch einen zweiten Punkt, Geraden, Strahlen und Strecken durch zwei Punkte, Schnittpunkte zweier Kreise, zweier Geraden oder zwischen Kreis und Gerade (, Strahl oder Strecke) konstruiert werden.

Wenn man ein $x$-$y$-Koordinatensystem in der Zeichenebene einführt, kann man z. B. Kreise mittels der Gleichung $\left({x-x_{m}}\right)^{2}+\left({y-y_{m}}\right)^{2}=r^{2}$ ($x_{m},y_{m}$ Koordinaten des Kreismittelpunkts, r Kreisradius) oder Geraden mittels der Gleichung $ax+by=c$, ($a\neq 0$ oder $b\neq 0$) darstellen. Schnittpunkte dieser Objekte lassen sich mit Gleichungssystemen aus derartigen Gleichungen oder Folgen derartigen Gleichungssysteme beschreiben. (Es kommen also z. B. keine Gleichungen dritten Grades vor.) Die Lösungen derartiger Systeme, sofern diese existieren, sind also endlich lange Terme, die reelle Zahlen, evtl. verknüpft durch die vier Grundrechenarten und Quadratwurzeln sowie Verschachtelungen davon enthalten.

Größtenteils bereits seit dem Altertum (EUKLID) sind Konstruktionen mit Zirkel und Lineal u. a. für einige reguläre $n$-Ecke bekannt, insbesondere für das reguläre 3-, 4- und 5-Eck: Man erkennt sofort die "Verwandtschaft" der regulären n-Ecke in den "Familien" der regulären 3-, 6-, 12-, 24-, ...-Ecke oder der 4-, 8-, 16-, ...-Ecke oder der 5-, 10-, 20-, ...-Ecke.

Durch geschickte Kombination ließen sich z. B. auch reguläre 15-Ecke konstruieren: Nach dem Lemma von BÉZOUT (1730- 1783) gibt es für zwei natürliche Zahlen $a$ und $b$, hier 3 und 5, zwei ganze Zahlen, so dass der größte gemeinsame Teiler der Zahlen $a$ und $b$ $ggT(a;b)=s\cdot a+t\cdot b$ ist. Da Primzahlen und somit auch Fermatsche Primzahlen stets teilerfremd zueinander sind, ist $ggT(3;5)=1$. So ist $1=s\cdot 3+t\cdot 5$. Man kann die Zahlen $s$ und $t$ mit dem erweiterten Euklidischen Algorithmus bestimmen:

$5:3=1$	Rest 2	$2=5-1\cdot 3$
$3:2=1$	Rest 1	$1=3-1\cdot 2$
		$1=3-1\cdot (5-1\cdot 3)$
		$1=2\cdot 3-1\cdot 5$

So ist $s=+2$ und $t=-1$.

Anschaulich ausgedrückt heißt das: Man zeichne den (Bestimmungs)winkel ($72^{\circ }$) des regulären 5-Ecks im mathematisch positiven Drehsinn (gegen den Uhrzeigersinn) und füge einen weiteren Winkel mit dieser Größe an. Man füge in entgegengesetztem Drehsinn den (Bestimmungs)winkel ($120^{\circ }$) des regulären 3-Ecks an. Der Gesamtwinkel ist der Bestimmungswinkel des regulären 15-Ecks.

Sofort fällt auf, dass in diesen Mengen u. a. das reguläre 7-, 9- und 17-Eck nicht enthalten sind. Bis zum Ende des 18. Jahrhunderts war die Frage der Konstruierbarkeit dieser regulären $n$-Ecke ungelöst.

Gauss (1777-1855) konnte dieses Problem lösen. Er schrieb 1819 dazu:

"Die Geschichte jener Entdeckung ist bisher nirgends von mir öffentlich erwähnt, ich kann es aber sehr genau angeben. Der Tag war der 29. März 1796, und der Zufall hatte gar keinen Anteil daran. Schon früher war alles ... von mir gefunden ..., und zwar im Winter 1796 (meinem ersten Semester in Göttingen), ohne daß ich den Tag aufgezeichnet hätte. Durch angestrengtes Nachdenken über den Zusammenhang aller Wurzeln (heutiger Begriff: Lösungen - d. A.) untereinander nach arithmetischen Gründen glückte es mir, bei einem Ferienaufenthalt in Braunschweig am Morgen des gedachten Tages (ehe ich aus dem Bette aufgestanden war) diesen Zusammenhang auf das klarste anzuschauen, so daß ich die spezielle Anwendung auf das 17-Eck und die numerische Bestätigung auf der Stelle machen konnte." ([1], sinnwahrend vom Autor gekürzt.)

Der im Text beschriebene Ausdruck ist: $\cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)={\frac {1}{16}}\left(-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {2\left(17-{\sqrt {17}}\right)}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {2\left(17-{\sqrt {17}}\right)}}-2{\sqrt {2\left(17+{\sqrt {17}}\right)}}}}\right)$ (*).

Es sei auf die ausführliche lesenswerte Herleitung der Gleichung durch PATSCHKE verwiesen. Der Winkel ${\frac {2\pi }{17}}$ ist der in Bogenmaß ausgedrückte Bestimmungswinkel des regulären 17-Ecks.

Ausführlich hat GAUSS seine Theorie in seinem Werk "Disquisitiones arithmeticae" 1801 dargestellt: Ausgangspunkt ist die Vorstellung, dass die Konstruktion des regulären $n$-Ecks im Einheitskreis äquivalent zur Bestimmung der Lösungen der Kreisteilunggleichung $x^{n}-1=0$ ($n\in \mathbb {N}$) ist.

Er fand dann die hinreichende Bedingung für die Konstruktion regelmäßiger Polygone. Er vermutete, dass die Bedingung auch notwendig ist, gab allerdings keinen Beweis an. WANTZEL (1814-1848) holte dies 1837 nach.

Diese notwendige und hinreichende Bedingung für die Konstruierbarkeit des regulären $n$-Ecks an die Zahl $n$ lautet:

$n$ ist eine natürliche Zahl größer als 2 und $n$ ist ein Produkt aus einer Potenz von 2 mit einer nichtnegativen ganzen Zahl² als Exponenten und möglicherweise als weitere Faktoren voneinander verschiedene FERMATsche Primzahlen. Diese speziellen Primzahlen sind nach dem französischen Mathematiker und Juristen FERMAT (1601-1665) benannt. Potenzen von 2 $\rightarrow {}$ 4, 8, 16, ...

Man erkennt auch sofort die oben genannten "Familien" konstruierbarer regulärer n-Ecke wieder.

FERMATsche Primzahl: $n=2^{\left({2^{x}}\right)}+1,x\in \mathbb {N}$

$x=0\rightarrow {}n=3$

$x=1\rightarrow {}n=5$

$x=2\rightarrow {}n=17$

$x=3\rightarrow {}n=257$

$x=4\rightarrow {}n=65537$

Bis jetzt sind keine weiteren FERMATschen Primzahlen gefunden worden. Sollte es so sein, dass es genau diese fünf FERMATschen Primzahlen gibt, so folgt daraus unmittelbar, dass nur 31 ($=2^{5}-1$) regelmäßigen Polygone mit ungerader Eckenzahl mit Zirkel und Lineal konstruierbar sind. Sollte es weitere FERMATsche Primzahlen, aber insgesamt nur endlich viele, geben, so bliebe die Anzahl mit Zirkel und Lineal konstruierbarer regelmäßiger $n$-Ecke mit ungeradem $n$ auch endlich. Diese Anzahl ist $2^{k}-1$, dabei sei $k$ die Anzahl der FERMATschen Primzahlen.

Nun war klar, dass das reguläre 17-Eck, aber auch das reguläre 257-Eck und das reguläre 65537-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar sind (siehe unten). Somit waren die bekannten Konstruktionen theoretisch untermauert und es konnte über die praktische Umsetzung der Konstruierbarkeit weiterer regulärer $n$-Ecke nachgedacht werden. Besonders bemerkenswert ist die Verknüpfung verschiedener Teilgebiete der Mathematik durch GAUSS: Das Problem war geometrischer Natur, die Lösung des Problems wurde über den Weg der Analysis in der Algebra gefunden. Rund 200 Jahre später noch einmal ein noch genialerer mathematischer "Coup": Der Beweis des Großen FERMATschen Satzes durch WILES 1995. Auch hierbei wurden mit noch weitaus größerem Aufwand Erkenntnisse verschiedener mathematischer Gebiete verbunden, um zum gewünschten Beweis zu kommen.

Die zentrale Rolle des Bestimmungswinkels bzw. seines Kosinus zur Konstruktion des zugehörigen regulären Polygons ist in der folgenden Abbildung am Beispiel des regulären 8-Dreiecks zu sehen: Einheitskreis $\rightarrow {}$ Strecke der Länge $\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)$ $\rightarrow {}$ Parallele zur y-Achse $\rightarrow {}$ Bestimmungsdreieck des regulären n-Ecks $\rightarrow {}$ Polygon.

Einige Beispiele dafür:

• $\cos \left({\frac {2\pi }{3}}\right)={\frac {1}{2}}$,
• $\cos \left({\frac {2\pi }{5}}\right)={\frac {1}{2}}\left(-1+{\sqrt {5}}\right)$,
• $\cos \left({\frac {2\pi }{7}}\right)$ als äquivalenter endlich langer Term, bestehend aus reellen Zahlen, evtl. verknüpft durch die vier Grundrechenarten und Quadratwurzeln sowie Verschachtelungen davon, nicht möglich (siehe oben), $\cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)={\frac {1}{16}}\left(-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {2\left(17-{\sqrt {17}}\right)}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {2\left(17-{\sqrt {17}}\right)}}-2{\sqrt {2\left(17+{\sqrt {17}}\right)}}}}\right)$
• $\cos \left({\frac {2\pi }{257}}\right)$: Ein mit "Mathematica" Version 5.2 erstellter symbolischer Ausdruck von cos(2π/257) ist nach Auskunft des Softwareherstellers durch einen Bug fehlerhaft. Eine Umwandlung von $\cos \left({\frac {2\pi }{257}}\right)$ in einen symbolischen Ausdruck mit verschachtelten Quadratwurzeln erfolgt in neueren Versionen nicht mehr. Es wird nur die Äquivalenz $\cos \left({\frac {2\pi }{257}}\right)=-{\frac {1}{2}}\left(\left(-1\right)^{\frac {255}{257}}\cdot \left(1+\left(-1\right)^{\frac {4}{257}}\right)\right)$ ausgegeben.

Reguläres 17-Eck: Die praktische Umsetzung der Konstruktion des regulären 17-Ecks und des regulären 257-Ecks wurde von GAUSS nicht erbracht, sondern für das reguläre 17-Eck erstmalig 1825 von ERCHINGER.

Reguläres 257-Eck: Die erste Konstruktion des regulären 257-Ecks beschrieb 1819, gedruckt 1822, PAUCKER (1787-1855) [7, 8], später 1832 [9] RICHELOT (1808-1875). Für die Konstruktion des regulären 257-Ecks folgten später weitere Arbeiten (deTEMPLE 1991 [10], GOTTLIEB 1999 [11]), die u. a. das Ziel hatten, die Anzahl der zur Konstruktion nötigen Kreise und Geraden zu reduzieren. PAUCKER zitiert aus einem Brief von GAUSS an ihn³ von 1820, worin GAUSS auf eigene überlegungen und Rechnungen zum regulären 257-Eck im Jahre 1796 hinweist. PAUCKER vergleicht seine Ausdrücke mit denen von GAUSS und bemerkt strukturelle übereinstimmung in den Gleichungen, nur die Bezeichnungen waren unterschiedlich. Das sollte bedeuten, dass bereits GAUSS einen gleichen oder vergleichbaten Ansatz zur Herleitung verwendet hatte. GAUSS verweist explizit auf die Verwendung der Primitivwurzel 3.([8], S. 217-219). PAUCKER benutzt als erster auch die Schreibweise mit den indizierten Buchstaben A, B, ..., G, wie sie auch hier in der Herleitung verwendet wird.

Zur analytischen Herleitung

Mit Hilfe des modernen interaktiven Geometrieprogramms "Geogebra" wurde die Konstruktion vom Autor auf der Grundlage von [12] und damit von [10] durchgeführt. Zur Lösung der vielfach zu lösenden quadratischen Gleichungen wurde ein auch für die Schulmathematik interessanter Ansatz verwendet: Die Kreise von CARLYLE (1795-1881) [13]. Das Prinzip ist aus der Abbildung zu erkennen.

Mit einigen Hilfsschritten benötigt man für die Konstruktion der Seitenlänge rund 380 Schritte, für das komplette 257-Eck etwa 1170 Schritte. Die Konstruktion der Mittelsenkrechten einer Strecke wird dabei häufig benötigt. Diese ist als "Werkzeug", gewissermaßen als Macro, vordefiniert, und lässt sich sehr bequem in "Geogebra" nutzen. Bei ausschließlicher Verwendung von Kreisen und Geraden ist die Anzahl der Konstruktionsschritte deutlich größer. "Geogebra" arbeitet intern mit gerundeten Dezimalzahlen, also nicht mit symbolischen Ausdrücken. Die Anzahl der Dezimalstellen kann man wählen. Im Video sieht man bei einen Blick in das Algebrafenster mit welch hoher numerischen Stabilität (vom Autor 12 Nachkommastellen gewählt) das Programm für jede der 257 gleich langen Seiten gleiche Werte (0,02444758303) ausrechnet.

Zwei kleine Hinweise dazu:

- Unter Verwendung der minimalen Schrittzeit von 1s bei der Darstellung einer Konstruktion in Geogebra dauert

die Konstruktion auch etwa 1170 s, also etwa 20 min. Der mögliche Schnelldurchlauf des Videos gestattet eine
deutliche Verringerung dieser Zeit.

- Dem Betrachter wird durch das Video auch die Auswahl einer geeigneten Vergrößerung abgenommen, um die während der Konstruktion relevanten Objekte gut sichtbar werden zu lassen.

Analytische Herleitung der Konstruktion des regulären 257-Ecks

Die moderne Begründung der Konstruierbarkeit des regulären 257-Ecks mit Zirkel und Lineal erfolgt durch Folgerungen aus der GALOIS-Theorie. Der geneigte Leser sei auf einschlägige Arbeiten verwiesen, u. a. in Kurzform [14], ausführlicher BISHOP [15] mit Anmerkungen zur Konstruktion des regulären 257-Ecks.

Die Konstruktion soll mit einfacheren Mittel begründet und nachvollziehbar hergeleitet werden. Wesentliche Stütze ist die Arbeit von deTEMPLE [10].

Der Mittelpunkt des 257-Ecks liegt im Ursprung eines komplexen Koordinatensystems, d. h. die reellen Zahlen

finden sich auf der Abszissenachse und die Vielfachen von $\mathrm {i}$ mit $\mathrm {i} ^{2}=-1$ auf der Ordinatenachse.

Alle Eckpunkte des 257-Ecks liegen auf einen Kreis. Zur Vereinfachung wählt man den Einheitskreis mit dem Radius $r=1$. Das 257-Eck wird so gedreht, dass ein Eckpunkt der Punkt (0; 1) ist. Die Eckpunkte des 257-Ecks

erfüllen die komplexe Gleichung $z^{257}=1$.

Die Gleichung $z^{257}=1$ soll im Bereich der komplexen Zahlen gelöst werden, also $z^{257}-1=0$. Der Winkel $\alpha$ mit dem Scheitelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems zwischen Abszissenachse und Strahl durch den Punkt $P_{1}$, beträgt in Bogenmaß $\alpha ={\frac {2\pi }{257}}$. Also ist $z=\cos \alpha +{\textrm {i}}\;\sin \;\alpha$.

So ist nach der EULERschen Identität $z={\textrm {e}}^{\frac {2\pi \;{\textrm {i}}}{257}}$. Es ist überhaupt nicht schwierig, wenn man es mit komplexen Zahlen zu tun hat. Man kann über den Realteil von $z$, also $\cos \;\alpha$, der auf der Abszissenachse zu finden ist, den Schnittpunkt mit dem Einheitskreis finden. Dieser Punkt ist dann einer der Eckpunkte des regulären 257-Ecks.

Im Bereich der komplexen Zahlen hat die Gleichung $z^{257}=1$ nach dem Gaussschen Fundamentalsatz der Algebra 257 Lösungen. Wie man sofort sieht, ist $z=1$ eine (triviale) reelle Lösung. Die anderen 256 Lösungen ergeben sich durch Zerlegen in Linearfaktoren mittels Polynomdivision:
$\left(z-1\right)^{257}/\left(z-1\right)=z^{256}+z^{255}+\ldots +z^{3}+z^{2}+z+1=0$.

Bei Division einer ganzen Zahl durch 257 können sich 257 verschiedene Reste (0, 1, ..., 256) ergeben. Man fasst alle ganzen Zahlen, die bei Division durch eine feste natürliche Zahl $p$, hier 257, denselben Rest lassen, zu einer Menge zusammen. Es gibt also in unserem Fall 257 paarweise verschiedene solcher Mengen. Man sagt dann, dass zwei Elemente einer Menge kongruent modulo der ganzen Zahl $p$ sind. Die Kongruenz modulo einer ganzen Zahl ist eine äquivalenzrelation, daher kann man die Mengen gleichen Restes als Klassen bezeichnen, kurz Restklassen. Die Menge der Restklassen modulo 257 bildet bezüglich der Multiplikation eine besondere algebraische Struktur, eine endliche Gruppe, genannt Restklassengruppe $Z_{257}$. Unter bestimmten Voraussetzungen kann man die Elemente einer Gruppe mit einem erzeugenden Element vollständig errechnen. Diese sind hier gegeben. Die Restklassengruppe $Z_{257}$ kann zyklisch erzeugt werden. Es sei $a$ Element von $Z_{257}$. Es gibt eine natürliche Zahl $g$ für die gilt $a=a^{g^{0}},a^{g^{1}},a^{g^{2}},a^{g^{3}},\ldots ,a^{g^{258}}=a^{1}$ oder kurz: Jede Restklasse modulo 257 kann als Potenz von a erzeugt werden, wobei der Exponent modulo 257 ist. Geometrisch ausgedrückt heißt das, wenn man neben dem trivialen Punkt (0;1) einen weiteren Punkt des 257-Ecks kennt, kann man aus dessen Lage alle restlichen 255 Punkte finden. Das wird bei der Konstruktion des 257-Ecks ausgenutzt. Eine solche Zahl $g$ heißt Primitivwurzel modulo 257. Für alle (bekannten) FERMATschen Primzahlen außer 3 ist 3 eine Primitivwurzel. Also ist

$z^{1}=a,z^{2}=a^{3\;mod\;257}=a^{3},z^{3}=a^{9\;mod\;257}=a^{9},z^{4}=a^{27\;mod\;257}=a^{27},z^{5}=a^{81\;mod\;257}=a^{81},z^{6}=a^{243\;mod\;257}=a^{243},z^{7}=a^{729\;mod\;257}=a^{215},z^{8}=a^{2187\;mod\;257}=a^{165},\ldots$

$z^{257}=a^{46336150792381577588313262263220434371406283602843045997201608143345357543255478647000589718036536507270555180182966478507\;mod\;257}=a^{86}$.

Bei endlichen Mengen versteht man unter der Mächtigkeit einer Menge $M$ die Anzahl der Elemente von $M$. Aus der Rechnung mit Restklassen lässt sich offensichtlich problemlos der folgende Satz ableiten:

Es sei $i$ die Mächtigkeit der Menge $M_{n}$ der Restklassen mod $n$, $j$ die Mächtigkeit der Menge $M_{2n}$ der Restklassen mod $2i$, so ist $j=2\cdot i$ und $M_{n}\subset M_{2n}$ (**)

Zur Veranschaulichung: Ein Zifferblatt einer Analogunhr ist häufig in 12 gleiche große Winkel eingeteilt. Wir

geben nicht die Gesamtzahl der Stunden seit irgendeinem Starttermin an, sondern die Restklasse mod 12. Diese
ist auf dem Zifferblatt ablesbar, z. B. als Punkt oder Strecke auf dem Schenkel des entsprechenden Winkels.
Nun soll die Angabe verfeinert werden: Jede Stunde soll in Halbstunden eingeteilt werden. Es kommen also
zusätzlich zu den bestehenden 12 Restklassen noch 12 neue Restklassen hinzu. Die Anzahl der Restklassen

verdoppelt sich. Die ehemaligen 12 Restklassen gibt es auch bei der neuen Einteilung noch.

Wie findet man eine nichttriviale Lösung der Gleichung $z^{256}-1=0$?

Ein möglicher Ansatz ist die Zerlegung der Menge der 256 Lösungen in zwei gleichmächtige Mengen $M_{0}$ und $M_{1}$. Es sollen daraus zwei reelle Zahlen $A_{0}$ und $A_{1}$ konstruiert werden. Aus ihnen kann mithilfe des VIETAschen Wurzelsatzes (VIETA 1540-1603) eine quadratische Gleichung bestimmt werden.
Kriterium der Auswahl ist der Index der $z_{i}$ (i = 1, 2, ..., 257). Man verwendet die Restklassen der Indices

modulo 2, also 0 oder 1. (Die Restklasse kommt in den Indices der Mengen $M_{0}$ und $M_{1}$ zum Ausdruck).
So nehmen wir alle 128 Lösungen $z_{i}=z^{\;i\;mod\;257}$ mit geraden Indices in die Menge $M_{0}$, die

restlichen 128 Lösungen in die andere Menge $M_{1}$. Es sei $A_{0}=z^{3}+z^{27}+...+z^{238}+z^{86}$

und $A_{1}=z^{1}+z^{9}+...+z^{165}+z^{200}$.

Wie man sofort sieht, ist $A_{0}+A_{1}=-1$. Das Produkt $A_{0}\cdot A_{1}$ ergibt nach Ausmultiplizieren eine Summe von $128\cdot 128=16384$ Summanden.

$A_{0}\cdot A_{1}$ ist somit $z^{1+3}+z^{1+27}+...+z^{1+238}+z^{1+86}+z^{9+3}+z^{9+27}+...+z^{9+238}+z^{9+86}+...+z^{165+3}+z^{165+27}+...+z^{165+238}+z^{165+65}+z^{200+3}+z^{200+27}+...+z^{200+238}+z^{200+86}$. Wenn man die Kongruenz modulo 257 bei den Exponenten berücksichtigt, so sieht diese Summe so aus: $z^{4}+z^{11}+...+z^{181}+z^{29}$. Zur Illustration ist in der Tabelle 1 ist diese Multiplikation vollständig dargestellt. (In der Kopfspalte sind die Elemente der Menge $M_{0}$, in der Kopfzeile die Elemente der Menge $M_{1}$).

Mit einfachen Taschenrechnern kann man, wenn überhaupt, ohne Genauigkeitsverlust keine natürlichen Zahlen wie $3^{256}$ mit 123 Ziffern verarbeiten. Dafür gibt es Langarithmetikprogramme, z. B. in der Mathematik-Software "Mathematik" Alpha 2016 [16] (und vielen ihrer Vorgängerversionen).

In Tabelle 2 ist aufgeführt, wie oft die jeweiligen Restklassen modulo 257 in Tabelle 1 enthalten sind. Die Kopfspalte gibt den "Zehner" und die Kopfzeile den "Einer" an, somit sind alle 257 Restklassen in der Tabelle 2. Man erkennt, dass jede Potenz jeweils 64-mal vorkommt. So ergibt sich $A_{0}\cdot A_{1}=-64$.

Die Gleichungen $A_{0}+A_{1}=-1$ und $A_{0}\cdot A_{1}=-64$ führen nach dem VIETAschen Wurzelsatz zu der quadratischen Gleichung $s^{2}+s-64=0$ mit $A_{0}={\frac {-1+{\sqrt {257}}}{2}}$ und $A_{1}={\frac {-1-{\sqrt {257}}}{2}}$. $A_{0}$ und $A_{1}$ sind beides reelle Zahlen. Man findet sie auf der Abzissenachse des komplexen Koordinatensystems (siehe Schritt 36 der Konstruktion des regulären 257-Ecks).

Als nächstes zerlegt man die Menge der Lösungen mit geraden Indices $M_{0}$ weiter in zwei gleichmächtige Mengen $M_{0;0}$ und $M_{0;2}$. In der Menge $M_{0;0}$ sind jetzt alle Lösungen mit durch 4 teilbaren Indices und in der Menge $M_{0;2}$ alle Lösungen mit geradem, aber nicht durch 4 teilbaren Indices. Man wählt den Ansatz

$B_{0}=z^{1}+z^{81}+z^{136}+...+z^{240}+z^{165}$ und $B_{2}=z^{9}+z^{215}+z^{196}+...+z^{104}+z^{200}$. Es ist $B_{0}+B_{2}=A_{0}$ und $B_{0}\cdot B_{2}=-16$. In den Tabellen 3 und 4 ist diese Multiplikation vollständig dargestellt. Daraus erhält man die quadratische Gleichung $s^{2}-A_{0}\cdot s-16=0$, deren Lösungen

$B_{0}={\frac {A_{0}}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {A_{0}}{2}}\right)^{2}+16}}$ und $B_{2}={\frac {A_{0}}{2}}-{\sqrt {\left({\frac {A_{0}}{2}}\right)^{2}+16}}$ sind.

Die restlichen Lösungen aus der Menge $M_{0}$ sind diejenigen mit ungeraden Indices. Sie werden in zwei gleichmächtige Mengen $M_{0;1}$ und $M_{0;3}$ aufgeteilt. In $M_{0;1}$ sind jetzt alle Lösungen, deren Indices bei Division durch 4 den Rest 1 lassen, und in $M_{0;3}$ alle anderen noch nicht in $M_{0;0}$, $M_{0;1}$ und $M_{0;2}$ enthaltenen Lösungen, also alle deren Indices bei Division durch 4 den Rest 3 lassen.

Wir wählen $B_{1}=z^{3}+z^{243}+z^{151}+...+z^{206}+z^{238}$ und $B_{3}=z^{273}+z^{131}+z^{74}+...+z^{55}+z^{86}$. Es ist $B_{1}+B_{3}=A_{1}$ und $B_{1}\cdot B_{3}=-16$. Man erhält daraus die quadratische Gleichung $s^{2}-A_{1}\cdot s-16=0$, deren Lösungen $B_{1}={\frac {A_{1}}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {A_{1}}{2}}\right)^{2}+16}}$ und $B_{3}={\frac {A_{1}}{2}}-{\sqrt {\left({\frac {A_{1}}{2}}\right)^{2}+16}}$ sind.

Zur Illustration wird auf die Tabellen 5 und 6 verwiesen. Die Einteilung der Indices in die Mengen $M_{0}$ bis $M_{0;3}$ erfolgte nach ihren Restklassen mod 2 und dann mod 4. (Es entstanden die Werte $A_{i}\;(i=0;1),\;\;B_{j}\;(j=0;1;2;3)$.

Dieses Prinzip soll weiter verfolgt werden. Es werden im Folgenden mit geeigneten Restklassen mod 8, mod 16, mod 32, mod 64 und mod 128 ausgewählt. Dann entstehen die Werte $C_{k}(k=0;1;...;7),\;\;D_{m}\;(m=0;1;...;15),\;\;E_{n}\;(n=0;1,...;31),:\;F_{o}\;(o=0;1;...;63)$ und $G_{p}\;(p=0;1;...;127).$ (Die Bezeichnung der Restklassen mit diesen Buchstaben A, B, ..., G mit den jeweiligen Indices erfolgt in gleicher Weise wie die Bezeichnung von Punkten, die während der Konstruktion des 257-Ecks entstehen.)

Bei jeder Einteilung der Indices in Teilmengen wird immer die gleiche Anzahl in Klassen aufgeteilt. Aus diesem Grund gilt: $\sum _{i=0}^{1}A_{i}=\sum _{j=0}^{3}B_{j}=\sum _{k=0}^{7}C_{k}=\sum _{m=0}^{15}D_{m}=\sum _{n=0}^{31}E_{n}=\sum _{o=0}^{63}F_{o}=\sum _{p=0}^{127}G_{p}=1$

Wie bereits erwähnt, bilden die Restklassen mod $p$, also auch mod 257, eine multiplikative Gruppe. Bei der Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis wird die Basis beibehalten und die Exponenten addiert. Es reicht also aus, wenn man die Addition der Exponenten betrachtet. Solch eine Additionstafel ist in Tabelle 7 vollständig dargestellt. (In der Kopfzeile bzw. -spalte sind die Elemente der Menge $M_{0}$ für den Fall der Restklassen 0 und 4 mod 8 angegeben.)

Nach (**) gilt $C_{0}+C_{4}=B_{0}$. Um mit dem Wurzelsatz von VIETA eine quadratische Gleichung erhalten zu können, benötigt man noch einen äquivalenten Term für $C_{0}\cdot C_{4}$. Dieser soll als Linearkombination aus den bekannten $B_{j}\;(j=0;1;2;3)$ und $A_{i}\;(i=0;1)$ gebildet werden. So ist also $C_{0}\cdot C_{4}=n_{B_{0}}\cdot B_{0}+n_{B_{1}}\cdot B_{1}+n_{B_{2}}\cdot B_{2}+n_{B_{3}}\cdot B_{3}+n_{A_{0}}\cdot A_{0}+n_{A_{1}}\cdot A_{1}+n_{0}$, wobei die Koeffizienten $n_{q}\in \mathbb {Z}$ sein sollen. Ganze Zahlen sind mit Zirkel und Lineal sehr leicht zu konstruieren. Man erhält somit eine inhomogene lineare diophantische Gleichung. Zu deren Lösung gibt es Algorithmen. Hier wird modulo 257 gerechnet, was deren Anwendung etwas erschwert. Zum Glück ist es aber im vorliegenden Fall leicht die Lösung der vorliegenden diophantischen Gleichung auch ohne großen Rechenaufwand zu finden.

In Tabelle 8 wird angegeben, wie oft die einzelnen Restklassen auftreten. Man erkennt, es gibt genau drei Fälle: 2, 4 und 5. Subtrahiert man von jeder Anzahl 2, so erhält man 0, 2 und 3. Für Restklasse 1 mod 2 (rot markiert) ergibt sich jeweils als Anzahl 3, und für Restklasse 2 mod 4 (blau markiert) jeweils die Anzahl 2. Daraus ergibt sich:

$C_{0}\cdot C_{4}=3\cdot \color {red}{A_{1}}+2\cdot \color {blue}{B_{2}}-2$. Analog erhält man:

$C_{1}\cdot C_{5}=3\cdot A_{0}+2\cdot B_{3}-2$,

$C_{2}\cdot C_{6}=3\cdot A_{1}+2\cdot B_{0}-2$,

$C_{3}\cdot C_{7}=3\cdot A_{0}+2\cdot B_{1}-2$.

Es gilt $C_{0}+C_{4}=B_{0}$. Das erklärt sich sofort aus (**). So ergeben sich auch $C_{1}+C_{5}=B_{1},C_{2}+C_{6}=B_{2}$ und $C_{3}+C_{7}=B_{3}$. Eine der nach dem Satz von VIETA zu bildenden 4 quadratischen Gleichungen lautet dann z.B. $s^{2}-B_{0}\cdot s+3\cdot A_{1}+2\cdot B_{2}-2=0$.

Völlig analog werden als nächstens geeignete Restklassen mod 16 ausgewählt und Linearkombinationen gebildet. Wir erhalten:

$D_{0}\cdot D_{8}=A_{0}+C_{0}+C_{2}+2\cdot C_{5}$,

$D_{1}\cdot D_{9}=A_{1}+C_{1}+C_{3}+2\cdot C_{6}$,

$D_{2}\cdot D_{10}=A_{0}+C_{2}+C_{4}+2\cdot C_{7}$,

$D_{3}\cdot D_{11}=A_{1}+C_{3}+C_{5}+2\cdot C_{0}$,

$D_{4}\cdot D_{12}=A_{0}+C_{4}+C_{6}+2\cdot C_{1}$,

$D_{5}\cdot D_{13}=A_{1}+C_{5}+C_{7}+2\cdot C_{2}$,

$D_{6}\cdot D_{14}=A_{0}+C_{6}+C_{0}+2\cdot C_{3}$,

$D_{7}\cdot D_{15}=A_{1}+C_{7}+C_{1}+2\cdot C_{4}$.

Es gilt: $D_{0}+D_{8}=C_{0},D_{1}+D_{9}=C_{1}$ usw.

Es werden 8 quadratische Gleichungen gebildet, u. a. $s^{2}-C_{0}\cdot s+A_{0}+C_{0}+C_{2}+2\cdot C_{5}=0$.

Jetzt wird das Verfahren mit Restklassen mod 32 fortgesetzt. Man erhält:
$E_{0}\cdot E_{16}=D_{0}+D_{1}+D_{2}+D_{5}$,
$E_{1}\cdot E_{17}=D_{1}+D_{2}+D_{3}+D_{6}$,
$E_{7}\cdot E_{23}=D_{7}+D_{8}+D_{9}+D_{12}$,
$E_{8}\cdot E_{24}=D_{8}+D_{9}+D_{10}+D_{13}$,
$E_{9}\cdot E_{25}=D_{9}+D_{10}+D_{11}+D_{14}$,
$E_{31}\cdot E_{15}=D_{15}+D_{0}+D_{1}+D_{4}$.
Es ist $E_{0}+E_{16}=D_{0}$ usw. Diesmal werden 6 quadratische Gleichungen gebildet, u. a. $s^{2}-D_{0}\cdot s+D_{0}+D_{1}+D_{2}+D_{5}$. Aus den anderen Restklassen mod 32 können weitere 10 Gleichungen gebildet werden. Sie sind aber für den Fortgang der Herleitung entbehrlich. Sie werden nur zum Zwecke der Vollständigkeit hier aufgeführt:

${E_{2}\cdot E_{18}=D_{2}+D_{3}+D_{4}+D_{7},\;E_{3}\cdot E_{19}=D_{3}+D_{4}+D_{5}+D_{8},\;E_{4}\cdot E_{20}=D_{4}+D_{5}+D_{6}+D_{9},\;E_{5}\cdot E_{21}=D_{5}+D_{6}+D_{7}+D_{10},\;E_{6}\cdot E_{22}=D_{6}+D_{7}+D_{8}+D_{11}}$

${E_{10}\cdot E_{26}=D_{10}+D_{11}+D_{12}+D_{15},\;E_{11}\cdot E_{27}=D_{11}+D_{12}+D_{13}+D_{0},\;E_{12}\cdot E_{28}=D_{12}+D_{13}+D_{14}+D_{1},\;E_{13}\cdot E_{29}=D_{13}+D_{14}+D_{15}+D_{2},\;E_{14}\cdot E_{30}=D_{14}+D_{15}+D_{0}+D_{3}}$.

Als nächstens betrachten wir Restklassen mod 64. Aus der Additionstafel (siehe Tabelle 9) ergibt sich zunächst: $F_{0}\cdot F_{32}=\color {red}{F_{33}}+\color {green}{F_{55}}+\color {blue}{F_{23}}+\color {gray}{F_{1}}$
Offensichtlich ist x mod 32 = (x + 32) mod 32. Daraus ergibt sich:$F_{0}\cdot F_{32}=E_{1}+E_{23}$.
Analog: $F_{24}\cdot F_{56}=E_{15}+E_{25}$.
Es ist $F_{0}+F_{32}=E_{0}$ und $F_{24}+F_{56}=E_{24}$.
Hier sind zwei quadratische Gleichungen zu bilden, um $F_{24},F_{56},F_{0}$ und $F_{32}$ zu finden, also
$s^{2}-E_{0}\cdot s+E_{1}+E_{23}=0$, $s^{2}-E_{24}\cdot s+E_{15}+F_{25}=0$ Nun noch mod 128: $G_{0}\cdot G_{64}=F_{56}$, $G_{0}+G_{64}=F_{0}$.
Daraus erhält man mit Hilfe von $s^{2}-F_{0}\cdot s+F_{56}=0$ u. a. $G_{64}$.

Es wurde jener Wert für $z$ gefunden, dessen Exponent beim Potenzieren von 3 mod 257 den Rest 64 ergibt. Nach Tabelle 1 ist ein 32 ein solcher Wert. Das heißt $z={\textrm {e}}^{\left({\frac {2\pi {\textrm {i}}}{257}}\right)^{32}}={\textrm {e}}^{\left({\frac {2\pi {\textrm {i}}\cdot 32}{257}}\right)}={\textrm {e}}^{\left(32\cdot {\frac {2\pi {\textrm {i}}}{257}}\right)}$ und damit der Realteil $\cos \left(32\cdot \alpha \right)$. Auf den ersten Blick führt aber $G_{64}\approx 1.8$ zu einem Widerspruch. $G_{64}$ gibt geometrisch gesehen die Sehnenlänge zwischen zwei Eckpunkten $P_{i}$ und $P_{i+32}(i=0;\ldots ;256)$ des

257-Ecks an. Das bedeutet: $G_{64}/2$ ist die halbe Sehnenlänge, ist auch eine Lösung der Gleichung

$x^{256}-1=0$ und entspricht damit $\cos \left({16\alpha }\right)$. $G_{64}/2$ ist die Abszisse des

Eckpunktes $P_{17}$ des regulären 257-Ecks. Mit der fortwährenden Abtragung der Sehnenlänge
${\overline {P_{1}P_{17}}}$ (mit dem Zirkel) erhält man alle weiteren Eckpunkte des regulären 257-Ecks:

In der beigefügten Konstruktion des regulären 257-Eck Schritt 398 bis 911. Reguläres 65537-Eck:
Die Umsetzung der Konstruierbarkeit des regulären 65537-Ecks

hatte sich HERMES (1846-1912) vorgenommen. Er legte die Arbeit [17] 1894 vor. Grundlage war [18]. Obwohl in

der Arbeit das 65537-Eck nicht konstruiert wird, gibt sie einen genauen überblick, wie man es machen könnte.

Felix KLEIN schlug vor, diese Arbeit als Dissertation anzuerkennen. Bekanntermaßen wird sie heute in einem
speziellen mit Stoff ausgeschlagenen Holzkoffer im Mathematischen Institut der Georg-August-Universität in
Göttingen aufbewahrt. Der Koffer ist Teil der Modellsammlung des Mathematischen Instituts der Universität
Göttingen.
Der Autor bekam anlässlich der Bundesrunde der 49. Mathematik-Olympiade 2010 in Göttingen

die besondere Gelegenheit geboten, die besagte Arbeit persönlich in Augenschein nehmen und darin lesen zu dürfen.

Auch durften Fotos angefertigt werden.

Die Arbeit umfasst 221 Seiten, die in einer der Deutschen Kurrentschrift ähnlichen Schrift geschrieben sind.

Die Seiten haben z. T. unterschiedliches Format. Einige davon mussten zusammengeklappt werden, um ein

aus heutiger Sicht unstandardisiertes Format, dass zwischen A4- und A3-Größe liegt, zu erhalten. Einige Seiten

sind aus mehreren Stücken zusammengeklebt worden bzw. es sind Korrekturen eingearbeitet worden. Möglicherweise
hätte eine Abschrift der betreffenden Seiten einen zu hohen Zeitaufwand bedeutet, der den Anfertigungszeitraum
der Arbeit noch weiter ausgedehnt hätte. Wenn man die Seiten betrachtet, gewinnt man einen Eindruck vom
außerordentlichen Fleiß und der Ausdauer von HERMES, der ab 1879 mehr als 10 Jahre daran arbeitete. Leider

können die angefügten Bilder nur einen unzureichenden Eindruck davon vermitteln. In der Arbeit werden sehr

systematisch Betrachtungen zu Lösungen der entsprechenden Kreisteilungsgleichungen gemacht, die zur Konstruktion
des regulären 5-, 17-, 257- und 65537-Eck führen. Schon im benötigten Platz für seine Betrachtungen zu diesen
Polygonen wird der immens steigende Rechen- und Schreibaufwand deutlich, um die Lösungen der
Kreisteilungsgleichungen zu finden. Dazu hat er eigene Symbole entwickelt, um die übersichtlichkeit und
Kompaktheit der Darstellung zu erhöhen. HERMES macht in seiner Arbeit deutlich, dass er nach Analogien,
Perioden und ähnlichem in den Lösungen der Kreisteilungsgleichung für das reguläre 65537-Eck gesucht hat5 .

Im Folgenden werden einige Bemerkungen bei der Herleitung der Konstruktion des regulären 65537-Ecks gemacht, die auch die immense Arbeitsleistung von HERMES noch mehr verdeutlichen.

BRAKKE hat mit einem sehr ähnlichen Ansatz, wie oben im Text beim regulären 17-Eck und 257-Eck beschrieben, verschachtelte quadratische Gleichungen mit Computerunterstützung hergeleitet und als Mathematica-File veröffentlicht [19]. Damit lässt sich in kurzer Zeit die Abszisse des 8192. Eckpunktes des regulären 65537-Ecks berechnen.

Der Autor hat die Gleichungen so umgeformt und umkodiert, dass die von ihm oben benutzte Notation der Restklassen verwendet werden kann. So lässt sich das reguläre 65537-Eck, wieder ähnlich wie das reguläre 257-Eck, konstruieren.

Die Anzahl der ineinander verschachtelten quadratischen Gleichungen verdoppelt sich mit jeder Erhöhung der "Verteilebene" A, B, C, ... ,R⁶. Ein Eckpunkt ist wieder mit dem Punkt (1;0) frei gewählt.

Da aber die Herleitung der Abszisse eines weiteren Eckpunktes, hier des 8192. Eckpunktes⁷ , letztlich ausreicht um daraus das gesamte reguläre 65537-Eck zu konstruieren, muss man nicht alle quadratischen Gleichungen lösen. Ab der Verteilebene K benötigt man immer weniger Gleichungen (siehe

nachstehende Tabelle 10). Die Gesamtanzahl der benutzten quadratischen Gleichungen beträgt 1141.
(Zum Vergleich: Beim regulären 257-Eck waren es "nur" 24.) Nicht immer benötigt man beide Lösungen für die  weitere Rechnung. Die nicht weiter verwendeten Lösungen werden in der Tabelle durchgekreuzt. Die komplette Darstellung aller Gleichungen würde sehr viel Platz beanspruchen. Verschachelte quadratische Gleichungen zur Berechnung von cos(2pi/65537)</A>) betrachtet werden. In Tabelle 10 sind einige Beispiele angegeben.

Ausgangspunkt der überlegungen ist wieder der beim regulären 17- und 257-Eck erfolgreich genutzte Ansatz die Restklassen (außer der Restklasse 0), jetzt mod 65537, in zwei gleichmächtige Mengen A0 und A1 aufzuteilen. Der weitere Weg ist ebenfalls oben ausführlich beschrieben. Beim regulären 257-Eck wurde die Bildung der Linearkombinationen aus den Restklassen anschaulich mit den Multiplikationstafeln beschrieben. Ein viel effektiverer Weg, vor allem mit Computerhilfe, für die Ermittlung jeder der Linearkombinationen ist, lineare Gleichungssysteme aufzustellen und dann zu lösen.

Deutlich wird, dass man die quadratischen Gleichungen in einer bestimmten Verteilebene nur mit den Lösungen der quadratischen Gleichungen voriger Verteilebenen aufstellen kann. In den Linearkombinationen sind Lösungen quadratischer Gleichungen von bis zu 7 vorhergehender Verteilebenen enthalten. Für die Aufstellung der quadratischen Gleichungen kommt der Satz von VIETA zur Anwendung.

Verteilebene	mod n	Anzahl der quadratischen Gleichungen	davon verwendet für weitere Rechnungen	Beispiel
A	2	1	1	A0 + A1 = -1 A0 ∙ A1 = -16384 quadratische Gleichung: s2 + 1 ∙ s - 16384 = 0
B	4	2	2	B0 + B2 = A0 B0 ∙ B2 = - 4096 allgemein: Bi ∙ Bi+2= -4096 (i= 0, 1) quadratische Gleichung: s2 - A0 ∙ s - 4096 = 0
C	8	4	4	C0 + C4 = B0 C0 ∙ C4 = - 16 ∙ A0 - 32 ∙ B0 - 1040 allgemein: Ci ∙ Ci+4 = -16 ∙ A(i div 2) mod 2 - 32 ∙ B(i mod 2) + (i div 2) - 1040 (i= 0, 1, 2, 3) quadratische Gleichung: s2 - B0 ∙ s -16 ∙ A0 - 32 ∙ B0 - 1040 = 0
D	16	8	8	D0 + D8 = C0 D0 ∙ D8 = + 19 ∙ A0 + 32 ∙ B3 + 28 ∙ C5 - 32 ∙ C3 + 16 ∙ C0 - 237 allgemein: Di ∙ Di+8 = 19 ∙ Ai mod 2 + 32 ∙ B(i+3) mod 4 + 28 ∙ C(i mod 2) + (i mod 4) div 2 + 5 ∙ ((i mod 4) +1) + 4 ∙ (i div 4)) mod 8 - 32 ∙ C((i+1 ) mod 2 + ((i+1) mod 4)div 2 + 5 ∙ ((i+1) mod 4 + 1) + 4 ∙ (((i+1) mod 8 ) div 4)) mod 8 + 16 ∙ C((i+2) mod 2 +((i+2) mod 4)div 2 + 5 ∙ ((i+2) mod 4) + 1) + 4 ∙ (((i+2) mod 8) div 4 )) mod 8 (i= 0, 1, ..., 7) quadratische Gleichung: s2 - C0 ∙ s + 19 ∙ A0 + 32 ∙ B3 + 28 ∙ C5 - 32 ∙ C3 + 16 ∙ C0 - 237 = 0
E	32	16	16	E0 + E16 = D0 E0 ∙ E16 = -9 ∙ A0 + 4 ∙ B2 + 3 ∙ C5 - ∙ C3 + 3 ∙ C0 - 12 ∙ C6 + 12 ∙ D0 - 2 ∙ D1 - 4 ∙2 + 6 ∙ D3 - 8 ∙ D4 - 10 ∙ D5 - 10 ∙ D7 - 70 allgemein: 14 Summanden quadratische Gleichung: s2 - D0 ∙ s - 9 ∙ A0 + 4 ∙ B2 + 3 ∙ C5 - 6 ∙ C3 + 3 ∙ C0 - 12 ∙ C6 + 12 ∙ D0 -2 ∙ D1 - 4 ∙ D2 + 6 ∙ D3 - 8 ∙ D4 - 10 ∙ D5 - 10 ∙ D7 - 70 = 0
F	64	32	32	F0 + F32 = E0 F0 ∙ F32 = 2 ∙ A0 + 6 ∙ B3 + 16 ∙ C5 - C3 - 6 ∙ C0 + 6 ∙ C6 - 9 ∙ D0 - D1 + 18 ∙ D2 - 5 ∙ D3 + 3 ∙ D4 -5 ∙ D5 + 3 ∙ D6 + 6 ∙ D7 - 16 ∙ E0 -3 ∙ E1 - 5 ∙ E2 +E3 + 4 ∙ E4 + 6 ∙ E5 + 2 ∙ E7 - 10 ∙ E8 + 6 ∙ E9 + 5 ∙ E10 + 5 ∙ E11 - 4 ∙ E13 - 2 ∙ E14 + E15 - 11 allgemein: 29 Summanden quadratische Gleichung: s2 - E0 ∙ s + 2 ∙ A0 + 6 ∙ B3 + 16 ∙ C5 - C3 - 6 ∙ C0 + 6 ∙ C6 - 9 ∙ D0 - D1 + 18 ∙ D2 - 5 ∙ D3 + 3 ∙ D4 - 5 ∙ D5 + 3 ∙ D6 + 6 ∙ D7 - 16 ∙ E0 - 3 ∙ E1 - 5 ∙ E2 + E3 + 4 ∙ E4 + 6 ∙ E5 + 2 ∙ E7 - 10 ∙ E8 + 6 ∙ E9 + 5 ∙ E10 + 5 ∙ E11 - 4 ∙ E13 - 2 ∙ E14 + E15 - 11 = 0
G	128	64	64	G0 + G64 = F0 G0 ∙ G64 = 5 ∙ A0 - 5 ∙ B2 + 2 ∙ B3 - C5 - C3 - 5 ∙ C0 + C6 + 5 ∙ D0 + 3 ∙ D1 + D2 + 2 ∙ D4 + D5 - D7 - 6 ∙ E0 - E1 - E2 - 2 ∙ E3 - 4 ∙ E4 - 5 ∙ E5 - E6 + E7 + E8 - E9 + E10 + 2 ∙ E11 - 3 ∙ E13 - 5 ∙ E14 + E15 - F0 - 3 ∙ F1 - F2 + 3 ∙ F3 + 4 ∙ F4 + 4 ∙ F5 - 5 ∙ F6 + 2 ∙ F7 - F8 + 3 ∙ F9 + F10 - 2 ∙ F12 + 4 ∙ F13 + F15 - F16 + F17 - F18 + F19 - 3 ∙ F20 - F21 - 3 ∙ F22 - F23 + F24 + 6 ∙ F25 - F27 + F28 - 7 ∙ F30 + F31 - 3 allgemein: 57 Summanden quadratische Gleichung: s2 - F0 ∙ s + 5 ∙ A0 - 5 ∙ B2 + 2 ∙ B3 - C5 - C3- 5 ∙ C0 + C6 + 5 ∙ D0 + 3 ∙ D1 + D2 + 2 ∙ D4 + D5 - D7 - 6 ∙ E0 - E1 - E2 - 2 ∙ E3 - 4 ∙ E4 - 5 ∙ E5 - E6 + E7 + E8 - E9 + E10 + 2 ∙ E11 - 3 ∙ E13 - 5 ∙ E14 + E15 - F0 - 3 ∙ F1 - F2 + 3 ∙ F3 + 4 ∙ F4 + 4 ∙ F5 - 5 ∙ F6 + 2 ∙ F7 - F8 + 3 ∙ F9 + F10 - 2 ∙ F12 + 4 ∙ F13 + F15 - F16 + F17 - F18 + F19 - 3 ∙ F20 - F21 - 3 ∙ F22 - F23 + F24 + 6 ∙ F25 - F27 + F28 - 7 ∙ F30 + F31 - 3 = 0
H	256	128	128	H0 + H128 = G0 H0 ∙ H128 = -2 ∙ A0 + B2 - B3 - C5 + C3 - C6 - 2 ∙ D1 + 4 ∙ D2 + D5 + D6 - D7 + 2 ∙ E1 - 3 ∙ E2 + 2 ∙ E4 - E6 + E7 + 2 ∙ E8 + E9 + 4 ∙ E10 - E11 + E12 + E13 + E14 - E15 + 2 ∙ F1 - F2 + F3 - 3 ∙ F4 - 2 ∙ F5 + 2 ∙ F6 - 2 ∙ F7 - 2 ∙ F8 - F9 -2 ∙ F10 - 2 ∙ F13 - F14 + F15 + F16 - 3 ∙ F18 + F19 - F20 - 2 ∙ F21 + F23 + 2 ∙ F24 - F25 + F26 - F27 - F28 - F29 + 2 ∙ F30 - F31 + 2 ∙ G0 - 3 ∙ G1 - G3 + G4 - G6 + G7 + G8 - 2 ∙ G9 + G10 - 2 ∙ G12 + G14 - G15 - G18 - 2 ∙ G19 + G20 - 2 ∙ G23 -2 ∙ G24 + 3 ∙ G29 - G30 - G31 + G34 - G36 - G37 + 2 ∙ G38 - 2 ∙ G39 - G41 - 2 ∙ G42 - 2 ∙ G44 - G45 - G46 + G48 - 4 ∙ G50 - G52 - 2 ∙ G53 - G54 - G55 + G56 + 3 ∙ G57 + G58 + G59 - 2 allgemein: 92 Summanden quadratische Gleichung: s2 - G0 ∙ s - 2 ∙ A0 + B2 - B3 - C5 + C3 - C6 - 2 ∙ D1 + 4 ∙ D2 + D5 + D6 - D7 + 2 ∙ E1 - 3 ∙ E2 + 2 ∙ E4 - E6 + E7 + 2 ∙ E8 + E9 + 4 ∙ E10 - E11 + E12 + E13 + E14 - E15 + 2 ∙ F1 - F2 + F3 -3 ∙ F4 - 2 ∙ F5 + 2 ∙ F6 - 2 ∙ F7 - 2 ∙ F8 - F9 -2 ∙ F10 - 2 ∙ F13 - F14 + F15 + F16 - 3 ∙ F18 + F19 - F20 - 2 ∙ F21 + F23 + 2 ∙ F24 - F25 + F26 - F27 - F28 - F29 + 2 ∙ F30 - F31 + 2 ∙ G0 - 3 ∙ G1 - G3 + G4 - G6 + G7 + G8 - 2 ∙ G9 + G10 - 2 ∙ G12 + G14 - G15 - G18 - 2 ∙ G19 + G20 - 2 ∙ G23 - 2 ∙ G24 + 3 ∙ G29 - G30 - G31 + G34 - G36 - G37 + 2 ∙ G38 - 2 ∙ G39 - G41 - 2 ∙ G42 - 2 ∙ G44 - G45 - G46 + G48 - 4 ∙ G50 - G52 - 2 ∙ G53 - G54 - G55 + G56 + 3 ∙ G57 + G58 + G59 -2 = 0
J	512	256	256	J0 + J256 = H0 J0 ∙ J256 = B2 + B3 - C5 - C3 + C0 - D2 + D3 - D4 + D5 - E3 - 2 ∙ E5 + E7 + E9 - E10 - E12- E13 + F3 - F7 + F8 - F9 - F19 + F20 - 2 ∙ F21 - F26 + F27 - F28 - F29 + G0 - G3 + G7 - G8 + G14 + G18 - G20 - G27 + 2 ∙ G28 - G39 - G41 + G45 + G47 - G51 - 2 ∙ G53 + 2 ∙ G57 + G59 - G61 - H0 + 2 ∙ H3 + H4 - H18 + H19 + H29 + H30 + H33 + H37 + H39 + H41 + H43 + H44 - H45 - H47 + H50 + H51 + H53 + H56 - 2 ∙ H57 - H58 - H60 + H61 + H65 - H67 + H68 + H70 - H72 + H78 + H79 + H81 + 3 ∙ H82 + H88 + H89 - H91 - H103 - H105 + H106 + H109 + H112 - H115 - H117 - H122 - H125 allgemein: 89 Summanden quadratische Gleichung: s2 - H0 ∙ s + B2 + B3 - C5 - C3 + C0 - D2 + D3 - D4 + D5 - E3 - 2 ∙ E5 + E7 + E9 - E10 - E12- E13 + F3 - F7 + F8 - F9 - F19 + F20 - 2 ∙ F21 - F26 + F27 - F28 - F29 + G0 - G3 + G7 - G8 + G14 + G18 - G20 - G27 + 2 ∙ G28 - G39 - G41 + G45 + G47 - G51 - 2 ∙ G53 + 2 ∙ G57 + G59 - G61 - H0 + 2 ∙ H3 + H4 - H18 + H19 + H29 + H30 + H33 + H37 + H39 + H41 + H43 + H44 - H45 - H47 + H50 + H51 + H53 + H56 - 2 ∙ H57 - H58 - H60 + H61 + H65 - H67 + H68 + H70 - H72 + H78 + H79 + H81 + 3 ∙ H82 + H88 + H89 - H91 - H103 - H105 + H106 + H109 + H112 - H115 - H117 - H122 - H125 = 0
K	1024	512	481	K0 + K512 = J0 K0 ∙ K512 = 2 ∙ F2 + F16 - 2 ∙ G2 + G5 - G16 + G46 - H5 + H12 + H18 + H21 + H24 - 2 ∙ H66 - H80 + H92 + H122 - J12 - J18 - J21 - J24 + J40 - J46 + J48 + 2 ∙ J67 + J80 + 2 ∙ J85 + 2 ∙ J87 + J91 - J92 + J105 + J108 + J113 - J122 - J133 + 2 ∙ J134 + J174 - 2 ∙ J194 - J208 + J210 + J225 + J232 allgemein: 40 Summanden quadratische Gleichung: s2 - K0 ∙ s + 2 ∙ F2 + F16 - 2 ∙ G2 + G5 - G16 + G46 - H5 + H12 + H18 + H21 + H24 - 2 ∙ H66 - H80 + H92 + H122 - J12 - J18 - J21 - J24 + J40 - J46 + J48 + 2 ∙ J67 + J80 + 2 ∙ J85 + 2 ∙ J87 + J91 - J92 + J105 + J108 + J113 - J122 - J133 + 2 ∙ J134 + J174 - 2 ∙ J194 - J208 + J210 + J225 + J232 = 0
L	2024	1024	110	L0 + L1024 = K0 L0 ∙ L1024 = G49 + 2 ∙ H9 - H49 + H72 - 2 ∙ J9 + J18 - J72 + J154 - J177 + J206 + J221 + 2 ∙ K0 - K18 + K23 + K154 + K184 - K206 - K221 - 2 ∙ K265 + K308 - K328 + K359 - K433 allgemein: 23 Summanden quadratische Gleichung: s2 - K0 ∙ s + G49 + 2 ∙ H9 - H49 + H72 - 2 ∙ J9 + J18 - J72 + J154 - J177 + J206 + J221 + 2 ∙ K0 - K18 + K23 + K154 + K184 - K206 - K221 - 2 ∙ K265 + K308 - K328 + K359 - K433 = 0
M	4096	2024	30	M92 + </math>\xcancel{M_{2140}}</math>= L92 M92 ∙ </math>\xcancel{M_{2140}}</math> = K167 + K246 + K331 + L92 + L93 + L94 - L167 - L246 - L331 + L869 + L892 allgemein: 11 Summanden quadratische Gleichung: s2 - L92 ∙ s + K167 + K246 + K331 + L92 + L93 + L94 - L167 - L246 - L331 + L869 + L892 = 0
N	8192	4096	6	N5120 + </math>\xcancel{N_{1024}}</math> = M1024 N5120 ∙ </math>\xcancel{N_{1024}}</math> = G35 - H35 - J163 - K419 - L1955 + M1025 + M2289 + M2923 - M2979 allgemein: 9 Summanden quadratische Gleichung: s22 - M1024 ∙ s + G35 - H35- J163 - K419 - L1955 + M1025 + M2289 + M2923 - M2979 = 0
P	16384	8192	2	P13312 + </math>\xcancel{P_{5120}}</math> = N5120 P13312 ∙ </math>\xcancel{P_{5120}}</math>= G36 - H36 - J164 - K420 - L1956 - M2980 + N4188 - N5028 allgemein: 8 Summanden quadratische Gleichung: s2 - N5120 ∙ s + G36 - H36 - J164 - K420 - L1956 - M2980 + N4188 - N5028 = 0
R	32768	16384	1	R30720 + </math>\xcancel{R_{14336}}</math> =P14336 R30720 ∙ </math>\xcancel{R_{14336}}</math> = P13312 quadratische Gleichung: s2 - P14336 ∙ s + P13312 = 0
Summe	---	---	1141	---

Zur Wahrung der Vollständigkeit sei hier angeführt, dass das Prinzip der Aufteilung der Restklassen in geeignete Mengen, wie nicht anders zu erwarten, für die Konstruktion aller regulären Polygone mit einer Eckenzahl gleich einer der FERMATschen Primzahlen angewandt werden kann, also auch bei der Konstruktion des regulären 5-Ecks und 3-Ecks. Jedoch führen bekanntermaßen einfachere überlegungen schneller zum Ziel.

Der Autor dankt an dieser Stelle noch einmal ausdrücklich allen Beteiligten für die Unterstützung in Göttingen und die Möglichkeit Text und Fotos hier veröffentlichen zu dürfen!

Literatur und andere Quellen:

[1] Mathematisches Tagebuch 1796-1814 von Carl Friedrich Gauss. Mit einer historischen Einführung von Kurt-R. Biermann (Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften, Band 256, Begründet von Wilhelm Ostwald). Hrsg. D. Goetz, E. Wächtler, H. Wußing, Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig, K.-G., Leipzig 1976, S. 15f.

[2] Patzschke, Jürgen: Carl Friedrich Gauss und das Siebzehneck - Teil I, Zeitschrift "Wurzel", Hrsg. Wurzel-Verein zur Förderung der Mathematik an Schulen und Universitäten, Jena 2002, Heft 5, S.15-24

[3] http://de.wikipedia.org/wiki/Wantzel (abgerufen am 01.09.2011)

[4] http://de.wikipedia.org/wiki/Fermat-Zahl (abgerufen am 16.05.2012)

[5] http://de.wikipedia.org/wiki/Gro%C3%9Fer_Fermatscher_Satz (abgerufen am 16.05.2012)

[6] http://de.wikipedia.org/wiki/Siebzehneck (abgerufen am 01.09.2011)

[7] http://de.wikipedia.org/wiki/257-Eck (abgerufen am 03.06.2016)

[8] Paucker, Georg: Geometrische Verzeichnung des regelmässigen Siebzehn-Ecks und Zweyhundertsiebenundfunfzig-Ecks in den Kreis, In: Jahresverhandlungen der kurländischen Gesellschaft für Literatur und Kunst, Zweyter Band, Mitau 1822, S. 160-219;

[9] Richelot, Friedrich Julius: De resolutione algebraica aequationis x²⁵⁷ = 1, sive de divisione circuli per bisectionem anguli septies repetitam in partes 257 inter se aequales commentatio coronata. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Nr. 9, 1832, S. 1-26, 146-161, 209-230, und 337-358.

[10] DeTemple, Duane W.: Carlyle Circles and the Lemoine Simplicity of Polygonal Constructions. In: The American Mathematical Monthly. No. 98, 1991, S. 97-108.

[11] Gottlieb, Christian: The Simple and Straightforward Construction of the Regular 257-gon. In: Mathematical Intelligencer. Vol. 21, No. 1, 1999, S. 31-37.

[12] http://it.wikipedia.org/wiki/257-gono (abgerufen am 01.09.2011)

[13] http://it.wikipedia.org/wiki/Cerchio_di_Carlyle (abgerufen am 01.09.2011)

[14] http://de.wikipedia.org/wiki/Konstruierbare Polygone (abgerufen am 20.05.2016)

[15] Bishop, Wayne: How to construct a regular polygon, Amer. Math Monthly, 85 (1978) 186-188

[16] Polster, Steffen: "Mathematik" Alpha 2016, http://mathematikalpha.de

[17] Hermes, Johann Gustav: Diarium zur Kreisteilung, Königsberg 1879, (1879 begonnen - d. A.)

[18] Hermes, Johann Gustav: Ueber die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile. In: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. Göttingen, 1894, S. 170–186.

[19] http://facstaff.susqu.edu/brakke/constructions/65537-gon.m.txt (abgerufen am 06.06.2017)

• ¹Historie: ergänzt am 30.06.2017, bearbeitet am 24.06.2016, erstellt 2012
• ²Nichtnegative ganze Zahlen sind: 0; 1; 2; 3; ...
• ³GAUSS gibt in diesem Brief den 30. März als Tag seiner Entdeckung der Kreisteilung an ([8], S. 219).

Ein Tag später als in der oben zitierten Aussage von GAUSS.

• ⁴anlässlich des Festvortrages im Rahmen der Feierlichen Siegerehrung der Landesrunde Sachsen der

50. Mathematik-Olympiade der Klassen 9 bis 12 am 27.02.2011 in Leipzig

• ⁵Möglicherweise kann der eine oder andere Betrachter der Bilder keine Deutsche Kurrentschrift lesen,

daher sind vom Autor einige Bemerkungen in die Bilder eingefügt worden.

• ⁶Zur Vermeidung von Verwechslungen mit Ziffern wurde auf die Buchstaben I, O und Q verzichtet.
• ⁷ 8192 = 65536 : 8