Siebzehneck

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Regelmäßiges Siebzehneck

Das Siebzehneck oder Heptadekagon ist eine geometrische Figur, die zur Gruppe der Vielecke (Polygone) gehört. Es ist definiert durch siebzehn Punkte, die durch siebzehn Strecken zu einem geschlossenen Linienzug verbunden sind.

Dieser Artikel behandelt im Folgenden ausschließlich das regelmäßige Siebzehneck, das konvex ist, siebzehn gleich lange Seiten hat und dessen Ecken auf einem gemeinsamen Umkreis liegen.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Besondere an einem regelmäßigen Siebzehneck ist die Tatsache, dass es konstruierbar ist, das heißt, es kann unter alleiniger Verwendung von Zirkel und Lineal (den Euklidischen Werkzeugen) gezeichnet werden. Dies wurde von Carl Friedrich Gauß im Jahre 1796 nachgewiesen. Er zeigte, dass für den Kosinus des Zentriwinkels

gilt, woraus sich die Konstruierbarkeit ergibt. Außerdem lassen sich damit auch verschiedene Größen des Siebzehnecks wie Seitenlänge, Umfang, Inkreisradius, Diagonale über zwei Seiten und Flächeninhalt berechnen:

Größen eines regelmäßigen Siebzehnecks mit dem Umkreisradius und dem Zentriwinkel
Seitenlänge

Größen des Siebzehnecks

Umfang
Inkreisradius
Diagonale über zwei Seiten
Flächeninhalt
Innenwinkel

Mathematischer Hintergrund[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Briefmarke der Deutschen Post der DDR von 1977: Gauß, Siebzehneck, Zirkel und Lineal

Der Entdeckung von Gauß liegt eine Auflösung der Kreisteilungsgleichung zugrunde, deren Lösungen – es handelt sich um die 17. Einheitswurzeln – in der Gaußschen Zahlenebene der komplexen Zahlen ein regelmäßiges Siebzehneck mit Radius 1 bilden. Diese Gleichung kann allein durch den Gebrauch geschachtelter Quadratwurzeln gelöst werden (siehe oben für den Realteil der Lösung , die entgegen dem Uhrzeigersinn zur Lösung 1 am nächsten liegt). Gauß erkannte 1796 als 18-Jähriger diese Möglichkeit „Durch angestrengtes Nachdenken … am Morgen … (ehe ich aus dem Bette aufgestanden war)“[1] aufgrund allgemeiner zahlentheoretischer Eigenschaften von Primzahlen, in diesem Fall konkret der Primzahl 17: Die modulo einer Primzahl gebildeten, von 0 verschiedenen Restklassen können nämlich als Potenzen einer sogenannten Primitivwurzel dargestellt werden, wobei im Fall konkret gewählt werden kann:

Sortiert man nun die von 1 verschiedenen 17-ten Einheitswurzeln entsprechend, das heißt in der Reihenfolge

so erhält man durch Teilsummation von jeder zweiten, jeder vierten beziehungsweise jeder achten Einheitswurzel aus dieser Auflistung die sogenannten Gaußschen Perioden: zwei 8-gliedrige Perioden mit je 8 Summanden, vier 4-gliedrige Perioden mit je 4 Summanden und acht 2-gliedrige Perioden mit je 2 Summanden. Aufgrund prinzipieller Eigenschaften oder aber durch explizite Berechnung lässt sich dafür zeigen:[2]

  • Die beiden 8-gliedrigen Perioden sind Lösungen einer quadratischen Gleichung mit ganzen Koeffizienten.
  • Die vier 4-gliedrigen Perioden sind Lösungen von zwei quadratischen Gleichungen, deren Koeffizienten aus den 8-gliedrigen Perioden berechenbar sind.
  • Die acht 2-gliedrigen Perioden sind Lösungen von vier quadratischen Gleichungen, deren Koeffizienten aus den 4-gliedrigen Perioden berechenbar sind.

Dabei gilt für die zweigliedrige Periode zur „ersten“ Einheitswurzel .

Der beschriebene Ansatz lässt sich analog für jede Primzahl der Form durchführen. Fünf solche Primzahlen, die „Fermatsche Primzahlen“ genannt werden, sind bekannt: 3, 5, 17, 257, 65537. Daher gehören auch das regelmäßige 257-Eck und das regelmäßige 65537-Eck zu den konstruierbaren Polygonen.

Konstruktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine der ersten geometrischen Konstruktionsanleitungen für das regelmäßige Siebzehneck stammt von Magnus Georg Paucker, der sie 1819 der Kurländischen Gesellschaft für Literatur und Kunst vorlegte, wo sie 1822 veröffentlicht wurde.[3]

Konstruktionsskizze nach Magnus Georg Paucker Animation der Skizze
Konstruktionsskizze nach Magnus Georg Paucker
Animation der Skizze
  1. Zeichne auf dem horizontalen Durchmesser pa um den Mittelpunkt m den Umkreis des werdenden 17-Ecks
  2. Errichte den senkrechten Durchmesser pA = pa auf p
  3. Halbiere den Radius mp, in B
  4. Verlängere pa ab p
  5. Trage die Strecke AB ab B auf die Verlängerung ab, Schnittpunkt ist C
  6. Halbiere pA in D
  7. Halbiere pC in E
  8. Trage die Strecke ED ab E auf die Verlängerung ab, Schnittpunkt ist F
  9. Errichte den senkrechten Radius mG auf m
  10. Halbiere mC in H
  11. Trage die Strecke HG ab H auf pa ab, Schnittpunkt ist I
  12. Konstruiere den Halbkreis über pF
  13. Konstruiere den Halbkreis über pI, Schnittpunkt mit mG ist K
  14. Zeichne die Parallele zu mP ab K, Schnittpunkt mit Halbkreis über pF ist L
  15. Errichte die Senkrechte durch L auf mH, Schnittpunkt ist M
  16. Zeichne den Kreisbogen mit Radius pM bis zum Umkreis, Schnittpunkt ist i
  17. Trage die Strecke MF ab p auf dem Umkreis ab, Schnittpunkt ist c der Sehne pc, der Kreisbogen pca ist der doppelte Kreisbogen des 17-Ecks
  18. Halbiere den Winkel cpa, Schnittpunkt ist b der Sehne pb, somit ist die Strecke ab die erste Seite des 17-Ecks
  19. Trage die Strecke ab ab c fünfmal im Uhrzeigersinn auf dem Umkreis ab, es ergeben sich die Sehnen pd, pe, pf, pg und ph
  20. Trage die Strecke ab ab i achtmal im Uhrzeigersinn auf dem Umkreis ab
  21. Verbinde die so gefundenen Punkte zu einem vollständigen 17-Eck.


Im Jahr 1825 legte Johannes Erchinger eine Konstruktion der Akademie der Wissenschaften zu Göttingen vor, die Gauß daraufhin in den Göttingischen Gelehrten Anzeigen besprach.[4] Die folgende einfachere Konstruktion stammt von Herbert William Richmond aus dem Jahr 1893.[5]

Konstruktionsskizze nach Herbert William Richmond Animation der Skizze
Konstruktionsskizze nach Herbert William Richmond
Animation der Skizze

Ist der Umkreis um das entstehende Siebzehneck mit dem Mittelpunkt O gegeben, kann das Siebzehneck konstruiert werden durch:

  1. Zeichnen des Durchmessers durch den Mittelpunkt O; Schnittpunkt mit Umkreis ist A.
  2. Errichten des Radius senkrecht zu AO auf O bis zum Umkreis; Schnittpunkt mit Umkreis ist B.
  3. Konstruktion des Punktes I durch Vierteln der Strecke BO; I liegt näher an O.
  4. Konstruktion des Punktes E durch Vierteln des Winkels OIA.
  5. Konstruktion des Punktes F mithilfe einer Senkrechte zu EI auf I; Halbierung des 90°-Winkels; Schnittpunkt mit Durchmesser ist F und Winkel FIE ist 45°.
  6. Konstruktion des Thaleskreises über AF; Schnittpunkt mit BO ist K.
  7. Zeichnen des Halbkreises um den Mittelpunkt E mit dem Radius EK; Schnittpunkte mit dem Durchmesser sind N3 und N5 (dabei liegt N3 sehr nahe beim Mittelpunkt des Thaleskreises über AF).
  8. Konstruktion der Tangente ab N3; Schnittpunkt mit dem Umkreis ist der Eckpunkt P3 des Siebzehnecks; der Kreisbogen OAP3 ist somit 3/17 des Umkreisumfanges.
  9. Konstruktion der Tangente ab N5; Schnittpunkt mit dem Umkreis ist der Eckpunkt P5 des Siebzehnecks; der Kreisbogen OAP5 ist somit 5/17 des Umkreisumfanges.
  10. Ein vierzehnmaliges Abtragen der Strecke AP3 auf dem Umkreis, ab dem Eckpunkt P3 gegen dem Uhrzeigersinn, ergibt der Reihe nach die Eckpunkte P6, P9, P12, P15, P1, P4, P7, P10, P13, P16, P2, P8, P11 und P14.
  11. Verbinden der so gefundenen Punkte P1, P2, …, P17, P1 vervollständigt das 17-Eck.


Duane W. DeTemple veröffentlichte im Jahr 1991 in der mathematischen Zeitschrift The American Mathematical Monthly eine Konstruktion des Siebzehnecks.[6] Für seine Lösung verwendete er u. a. vier sogenannte Carlyle-Kreise.

Konstruktionsskizze nach Duane W. DeTemple Animation der Skizze
Konstruktionsskizze nach Duane W. DeTemple
Animation der Skizze
  1. Ziehe eine horizontale Linie und setze darauf den Punkt O
  2. Zeichne um O den Einheitskreis c1, Schnittpunkte mit c1 sind P0 und Q
  3. Konstruiere die vertikale Mittelachse vom Umkreis c1 des entstehenden 17-Ecks, Schnittpunkt mit c1 ist A
  4. Halbiere den Radius OQ in Q'
  5. Ziehe den Kreisbogen c2 mit dem Radius Q'P0 um Q'
  6. Errichte eine Senkrechte auf dem Radius OQ ab Q', Schnittpunkt mit c2 ist M0
  7. Ziehe den Carlyle-Kreisbogen Cc1 um M0 durch A so, dass er die horizontale Mittelachse vom Umkreis c1 zweimal trifft, Schnittpunkte sind H0,2 und H1,2
  8. Halbiere die Strecke OH1,2 in M1,2
  9. Halbiere die Strecke OH0,2 in M0,2
  10. Ziehe den Carlyle-Kreisbogen Cc2 um M1,2 ab A bis auf die horizontale Mittelachse, Schnittpunkt ist H1,4
  11. Ziehe den Carlyle-Kreisbogen Cc3 um M0,2 ab A bis auf die horizontale Mittelachse, Schnittpunkt ist H0,4
  12. Bestimme den Punkt Y auf der vertikalen Mittelachse, dabei sind OY und QH1,4 gleich lang
  13. Verbinde Y mit H0,4
  14. Halbiere die Strecke H0,4Y in M0,4
  15. Ziehe den Carlyle-Kreisbogen Cc4 um M0,4 ab A bis auf die horizontale Mittelachse, Schnittpunkt ist H0,8
  16. Ziehe den Kreisbogen c3 mit dem Radius OP0 um H0,8, Schnittpunkte mit dem Umkreis c1 sind die Eckpunkte P1 und P16, somit ist die Strecke P0P1 die erste Seite des gesuchten 17-Ecks
  17. Ein vierzehnmaliges Abtragen der Strecke P0P1 auf dem Umkreis c1, ab dem Eckpunkt P1 gegen dem Uhrzeigersinn, ergibt der Reihe nach die Eckpunkte P2 bis P16
  18. Verbinde die so gefundenen Punkte P1, P2, …, P16, P0, dann ist das 17-Eck vollständig gezeichnet.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Zitiert nach Jörg Bewersdorff: Algebra für Einsteiger. Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie. Vieweg+Teubner Verlag, 4. Auflage 2009, ISBN 978-3-8348-0776-2, S. 68 (springerlink.com).
  2. Details siehe Bewersdorff, S. 71–74.
  3. Magnus Georg Paucker: Geometrische Verzeichnung des regelmäßigen Siebzehn-Ecks und Zweyhundersiebenundfünfzig-Ecks in den Kreis. In: Jahresverhandlungen der Kurländischen Gesellschaft für Literatur und Kunst. Band 2, 1822, S. 160–219 (Einleitung, Beschreibung S. 187–188 und Abbildung nach S. 416 (Fig. 12))..
  4. Carl Friedrich Gauß: Göttingische Gelehrte Anzeigen. Band 87, Nr. 203, 19. Dezember 1825, S. 2025–2027 (books.google.de).
  5. Herbert W. Richmond: A Construction for a regular polygon of seventeen sides. In: The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics. Band 26, 1893, S. 206–207 (Beschreibung und Abbildung (Fig. 6)).
  6. Duane W. DeTemple: Carlyle Circles and the Lemoine Simplicity of Polygon Constructions (Memento vom 11. August 2011 im Internet Archive). The American Mathematical Monthly, Vol. 98, No. 2 (Feb., 1991), S. 101-104 (JSTOR) aufgerufen am 3. April 2017

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Regelmäßiges Siebzehneck – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien