Siebzehneck

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regelmäßiges Siebzehneck

Das Siebzehneck ist eine geometrische Figur, die zur Gruppe der Vielecke (Polygone) gehört. Es ist definiert durch siebzehn Punkte, welche durch siebzehn Strecken zu einem geschlossenen Linienzug verbunden sind. Berechnungen ergeben sich aus den allgemeinen Formeln für Polygone.

Dieser Artikel behandelt im Folgenden ausschließlich das regelmäßige Siebzehneck, das konvex ist, siebzehn gleich lange Seiten hat und dessen Ecken auf einem gemeinsamen Umkreis liegen.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Das Besondere an einem regelmäßigen Siebzehneck ist die Tatsache, dass es konstruierbar ist, das heißt, es kann unter alleiniger Verwendung von Zirkel und Lineal (den Euklidischen Werkzeugen) gezeichnet werden. Dies wurde von Carl Friedrich Gauß im Jahre 1796 nachgewiesen. Er zeigte, dass der Kosinus des Zentriwinkels der Formel

\cos \frac{360^\circ}{17} = \frac{1}{16} \left( -1 + \sqrt{17} + \sqrt{ 2 \left(17- \sqrt{17} \right)}
+ 2 \sqrt{ 17 + 3 \sqrt{17} - \sqrt{2 \left(17- \sqrt{17} \right)} - 2 \sqrt{2 \left(17+ \sqrt{17} \right)} } \right)

entspricht, woraus sich die Konstruierbarkeit ergibt. Außerdem lassen sich damit auch verschiedene Werte des Siebzehnecks, wie Seitenlänge, Umfang, Inkreisradius und Fläche berechnen.

Größen eines regelmäßigen Siebzehnecks mit dem Umkreisradius ru
Seitenlänge s = r_u \sqrt{2 \left(1- \cos \left(\frac{360^\circ}{17}\right)\right)}
\approx 0{,}3675 \cdot r_u
Umfang U = r_u 17 \sqrt{2 \left(1- \cos \left(\frac{360^\circ}{17}\right)\right)}
\approx 6{,}2475 \cdot r_u
Inkreisradius r_i = r_u \sqrt{\frac{1+ \cos \left(\frac{360^\circ}{17}\right)}{2}}
\approx 0{,}983 \cdot r_u
Fläche A = r_u^2  \frac{17}{2} \sqrt{1 - \cos^2\left(\frac{360^\circ}{17}\right)}
\approx 3{,}071 \cdot r_u^2

Im Jahre 1825 veröffentlichte Johannes Erchinger erstmals eine Konstruktionsanleitung für das regelmäßige Siebzehneck. Sie folgt im Abschnitt Konstruktion.

Mathematischer Hintergrund[Bearbeiten]

Briefmarke der Deutschen Post der DDR von 1977; Gauß, Siebzehneck, Zirkel und Dreieck

Der Entdeckung von Gauß liegt eine Auflösung der Kreisteilungsgleichung x^{17} - 1 = 0 zugrunde, deren Lösungen − es handelt sich um die 17-ten Einheitswurzeln − in der Gaußschen Zahlenebene der komplexen Zahlen ein regelmäßiges Siebzehneck mit Radius 1 bilden. Diese Gleichung kann allein durch den Gebrauch von geschachtelten Quadratwurzeln gelöst werden (siehe oben für den Realteil der „ersten“ von 1 verschiedenen Lösung \zeta=e^{2\pi i/17}). Gauß erkannte 1796 als 18-Jähriger diese Möglichkeit „Durch angestrengtes Nachdenken … am Morgen … (ehe ich aus dem Bette aufgestanden war)“[1] aufgrund allgemeiner zahlentheoretischer Eigenschaften von Primzahlen, in diesem Fall konkret der Primzahl 17: Die modulo einer Primzahl p gebildeten, von 0 verschiedenen Restklassen 1, \ldots, {p - 1} können nämlich mit einer sogenannten Primitivwurzel g\ in der Form 1, g, g^2, \ldots, g^{p-2} aufgezählt werden, wobei im Fall p = 17\ konkret g = 3\ gewählt werden kann:

\begin{align} &1, \quad 3 \cdot 1 = 3, \quad 3 \cdot 3 = 9, \quad 3 \cdot 9\mod 17 = 10, \quad 3 \cdot 10\mod 17 = 13, \\ &5, \; 15, \; 11, \; 16, \; 14, \; 8, \; 7, \; 4, \; 12, \; 2, \; 6 \end{align}

Sortiert man nun die von 1 verschiedenen 17-ten Einheitswurzeln entsprechend, das heißt in der Reihenfolge

\zeta,\ \zeta^3,\ \zeta^9,\ \zeta^{10},\ \zeta^{13},\ \zeta^5,\ \zeta^{15},\ \zeta^{11},\ \zeta^{16},\ \zeta^{14},\ \zeta^8,\ \zeta^7,\ \zeta^4,\ \zeta^{12},\ \zeta^2,\ \zeta^6,

so erhält man durch Teilsummation von jeder zweiten, jeder vierten beziehungsweise jeder achten Einheitswurzel aus dieser Auflistung die sogenannten Gaußschen Perioden: zwei 8-gliedrige Perioden mit je 8 Summanden, vier 4-gliedrige Perioden mit je 4 Summanden und acht 2-gliedrige Perioden mit je 2 Summanden. Aufgrund prinzipieller Eigenschaften oder aber durch explizite Berechnung lässt sich dafür zeigen:[2]

  • Die beiden 8-gliedrigen Perioden sind Lösungen einer quadratischen Gleichung mit ganzen Koeffizienten.
  • Die vier 4-gliedrigen Perioden sind Lösungen von zwei quadratischen Gleichungen, deren Koeffizienten aus den 8-gliedrigen Perioden berechenbar sind.
  • Die acht 2-gliedrigen Perioden sind Lösungen von vier quadratischen Gleichungen, deren Koeffizienten aus den 4-gliedrigen Perioden berechenbar sind.

Dabei gilt für die zweigliedrige Periode zur „ersten“ Einheitswurzel \zeta + \zeta^{16} = \zeta + \zeta^{-1} = 2 \cos(2\pi/17).

Der beschriebene Ansatz lässt sich analog für jede Primzahl der Form 2^{2^k}+1 durchführen. Fünf solche Primzahlen, die Fermat'sche Primzahlen genannt werden, sind bekannt: 3, 5, 17, 257, 65537. Daher gehören auch das regelmäßige 257-Eck und das regelmäßige 65537-Eck zu den konstruierbaren Polygonen.

Konstruktion[Bearbeiten]

Konstruktion mit gegebenem Umkreis nach Erchinger[Bearbeiten]

Siebzehneck-Einfach.svg 01-Siebzehneck-Animation-Erchinger.gif
Konstruktionsskizze
Animation der Skizze

Ist ein Kreis k1 (der Umkreis um das entstehende Siebzehneck) um den Mittelpunkt O gegeben, kann das Siebzehneck konstruiert werden durch:

  1. Zeichnen eines Durchmessers von k1; Schnittpunkte mit k1 sind A und B
  2. Konstruktion der Mittelsenkrechten m zu AB; Schnittpunkte mit k1 sind C und D
  3. Konstruktion des Mittelpunktes E von DO
  4. Konstruktion des Mittelpunktes F von EO und Zeichnen von FA
  5. Konstruktion der Winkelhalbierenden w1 zwischen OF und FA
  6. Konstruktion der Winkelhalbierenden w2 zwischen m und w1; Schnittpunkt mit AB ist G
  7. Konstruktion der Senkrechten s zu w2 durch F
  8. Konstruktion der Winkelhalbierenden w3 zwischen s und w2; Schnittpunkt mit AB ist H
  9. Konstruktion des Thaleskreises k2 (mit Mittelpunkt M) über HA; Schnittpunkte mit CD sind J und K
  10. Konstruktion eines Kreises k3 um G, der durch J und K verläuft; Schnittpunkte mit AB sind L und N (dabei liegt N sehr nahe an M)
  11. Konstruktion der Tangente an k3 durch N; Schnittpunkte mit k1 sind die Eckpunkte P3 und P14 des Siebzehnecks
  12. je siebenmaliges Abtragen der Sehne d1 = AP3 von k1 auf k1 – ab dem Eckpunkt P3 entgegen dem Uhrzeigersinn und ab dem Eckpunkt P14 im Uhrzeigersinn; Schnittpunkte mit k1 sind alle restlichen Eckpunkte des Siebzehnecks
  13. Verbindung der so gefundenen Punkte.

Variation der Konstruktion nach Erchinger[Bearbeiten]

Skizze zur Variation

Unterschiede zum Original

  • Der Kreis k2 bestimmt statt der Winkelhalbierenden w3 den Punkt H.
  • Der Kreis k4 um den Punkt G′ (Spiegelung des Punktes G an m) ergibt den Punkt N, der dadurch nicht mehr so nah an M liegt, für die Konstruktion der Tangente.
  • Einige Bezeichnungen sind geändert.

Konstruktionsbeschreibung

Das Siebzehneck kann konstruiert werden durch:

  1. Zeichnen eines großen Kreises k1 (des Umkreises des entstehenden Siebzehnecks) um den Mittelpunkt O
  2. Zeichnen eines Durchmessers; Schnittpunkte mit k1 sind A und B
  3. Konstruktion der Mittelsenkrechten m zu AB; Schnittpunkte mit k1 sind C und D
  4. Konstruktion des Mittelpunktes E von DO
  5. Konstruktion des Mittelpunktes F von EO und Zeichnen von FB
  6. Konstruktion der Winkelhalbierenden w1 zwischen OF und FB; Schnittpunkt mit AB ist Q
  7. Konstruktion der Winkelhalbierenden w2 zwischen OF und FQ; Schnittpunkt mit AB ist G
  8. Konstruktion von G′ durch Spiegelung von G an m
  9. Konstruktion des Kreises k2 um Q, der durch F verläuft; der näher an m liegende Schnittpunkt mit AB ist H
  10. Konstruktion des Thaleskreises k3 über HB; Schnittpunkte mit CD sind J und K
  11. Konstruktion des Kreises k4 um G′, der durch J und K verläuft; Schnittpunkte mit AB sind L und N
  12. Konstruktion der Tangente an k4 durch N; Schnittpunkte mit k1 sind die Eckpunkte P3 und P14 des Siebzehnecks
  13. je siebenmaliges Abtragen der Sehne d1 = AP3 von k1 auf k1 – ab dem Eckpunkt P3 entgegen dem Uhrzeigersinn und ab dem Eckpunkt P14 im Uhrzeigersinn; Schnittpunkte mit k1 sind alle restlichen Eckpunkte des Siebzehnecks
  14. Verbindung der so gefundenen Punkte.

Konstruktion mit gegebener Seitenlänge[Bearbeiten]

Konstruktionsskizze

Ist eine Strecke s gegeben, lässt sich ein regelmäßiges Siebzehneck mit der Länge von s als Seitenlänge konstruieren. Dabei werden zunächst (wie in der Konstruktion mit gegebenem Umkreis) zwei benachbarte Punkte (P8 und P9) auf dem Umkreis eines Siebzehneckes konstruiert (Schritte 5–14) und diese Punkte dann durch zentrische Streckung so abgebildet, dass ihr Abstand der Länge von s entspricht (E8 und E9).

Ein Siebzehneck mit der Seitenlänge s lässt sich bei gegebener Strecke s konstruieren durch:

  1. Konstruktion der Mittelsenkrechten g1 zu s; Schnittpunkt mit s ist O
  2. Zeichnen eines Kreises k0 um O mit dem Durchmesser s; Schnittpunkte mit g1 sind A1 und B1; Schnittpunkte mit s sind C1 und F
  3. Konstruktion der Mittelsenkrechten m zu A1B1 (entspricht einer Verlängerung von s)
  4. ab F dreimaliges Abtragen von FO auf der Senkrechten m; Schnittpunkte mit m sind E, R und D
  5. Zeichnen eines Kreises k1 um O, der durch D verläuft; Schnittpunkte mit g1 sind A und B; Schnittpunkt mit m ist C
  6. Zeichnen von FB
  7. Konstruktion der Winkelhalbierenden w1 zwischen OF und FB; Schnittpunkt mit AB ist Q
  8. Konstruktion der Winkelhalbierenden w2 zwischen OF und FQ; Schnittpunkt mit AB ist G
  9. Konstruktion von G′ durch Spiegelung von G an m;
  10. Zeichnen des Kreises k2 um Q, der durch F und C1 verläuft; Schnittpunkt mit AB ist H
  11. Konstruktion des Thaleskreises k3 über HB; Schnittpunkte mit CD sind J und K
  12. Konstruktion eines Kreises k4 um G′, der durch J und K verläuft; Schnittpunkte mit AB sind L und N
  13. Konstruktion einer Parallelen zu OC durch N; der bei C liegende Schnittpunkt mit k1 ist U
  14. dreimaliges Abtragen der Sehne d1 =  AU von k1 auf k1 ab B; Schnittpunkte mit k1 sind P14, P11 und P8
  15. Zeichnen einer Halbgeraden ab O durch P8
  16. Konstruktion einer Parallelen zu AB durch F; Schnittpunkt mit OP8 ist Eckpunkt E8 des Siebzehnecks
  17. Zeichnen des Kreises k5 um O, der durch E8 verläuft; Schnittpunkt mit g1 ist Eckpunkt E17 des Siebzehnecks.
  18. Konstruktion einer Parallelen zu AB durch C1; Schnittpunkt mit k5 bei E8 ist Eckpunkt E9
  19. Zeichnen von OE9; Schnittpunkt mit k1 ist P9
  20. sechzehnmaliges Abtragen der Sehne E8E9 von k5, die s entspricht, auf k5 gegen den Uhrzeigersinn ab E17; die Schnittpunkte mit k5 sind alle weiteren Eckpunkte des Siebzehnecks
  21. Verbindung der so gefundenen Punkte.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Karin Reich: Die Entdeckung und frühe Rezeption der Konstruierbarkeit des regelmäßigen 17-Ecks und dessen geometrische Konstruktion durch Johannes Erchinger (1825). In: Mathesis, Festschrift zum siebzigsten Geburtstag von Matthias Schramm. Hrsg. von Rüdiger Thiele, Berlin, Diepholz 2000, S. 101–118.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. zitiert nach Jörg Bewersdorff: Algebra für Einsteiger. Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie. Vieweg+Teubner Verlag, 4. Auflage 2009, ISBN 9783834807762, S. 68 (online)
  2. Details siehe Bewersdorff, S. 71-74

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Siebzehneck – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien