Siebzehneck

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Regelmäßiges Siebzehneck

Das Siebzehneck oder Heptadekagon ist eine geometrische Figur, die zur Gruppe der Vielecke (Polygone) gehört. Es ist definiert durch siebzehn Punkte, die durch siebzehn Strecken zu einem geschlossenen Linienzug verbunden sind.

Dieser Artikel behandelt im Folgenden ausschließlich das regelmäßige Siebzehneck, das konvex ist, siebzehn gleich lange Seiten hat und dessen Ecken auf einem gemeinsamen Umkreis liegen.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Besondere an einem regelmäßigen Siebzehneck ist die Tatsache, dass es konstruierbar ist – es kann somit unter alleiniger Verwendung von Zirkel und Lineal (den euklidischen Werkzeugen) gezeichnet werden –, diese Konstruierbarkeit jedoch über Jahrtausende nicht nachgewiesen werden konnte. Der Nachweis gelang erst Carl Friedrich Gauß im Jahr 1796.[1] Er zeigte, dass für den Kosinus des Zentriwinkels

gilt, woraus sich die Konstruierbarkeit ergibt. Außerdem lassen sich damit auch verschiedene Größen des Siebzehnecks wie Seitenlänge, Umfang, Inkreisradius, Diagonale über zwei Seiten und Flächeninhalt berechnen.

Am 21. Juni 1801 stellte Gauß der St. Petersburger Akademie für seine obige Formel eine sogenannte Kurzfassung in drei Schritten vor, die sich aus der Gruppierung von Summen einzelner Kosinuswerte ergibt. Friedrich L. Bauer beschreibt sie, im Jahr 2009, in seinem Buch Historische Notizen zur Informatik im Kapitel Carl Friedrich Gauß, das 17-Eck und MATHEMATIKA[2] ausführlich, es sei deshalb hier nur das Ergebnis der Kurzfassung erwähnt.

Mit den darin u. a. eingeführten Hilfsgrößen und

und

gilt somit für den Kosinus des Zentriwinkels auch

Größen eines regelmäßigen Siebzehnecks mit dem Umkreisradius , dem Zentriwinkel sowie dessen Kosinus
Seitenlänge

Größen des Siebzehnecks

Umfang
Inkreisradius
Diagonale über zwei Seiten
Flächeninhalt
Innenwinkel

Mathematischer Hintergrund[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mitteilung der Konstruierbarkeit im Intelligenzblatt der allgemeinen Literatur-Zeitung (1796)
Briefmarke der Deutschen Post der DDR von 1977: Gauß, Siebzehneck, Zirkel und Lineal

Der Entdeckung von Gauß liegt eine Auflösung der Kreisteilungsgleichung zugrunde, deren Lösungen – es handelt sich um die siebzehnten Einheitswurzeln – in der Gaußschen Zahlenebene der komplexen Zahlen ein regelmäßiges Siebzehneck mit Radius 1 bilden. Diese Gleichung kann allein durch den Gebrauch geschachtelter Quadratwurzeln gelöst werden (siehe oben für den Realteil der Lösung , die entgegen dem Uhrzeigersinn zur Lösung 1 am nächsten liegt). Gauß erkannte 1796 als 18-Jähriger diese Möglichkeit „Durch angestrengtes Nachdenken … am Morgen … (ehe ich aus dem Bette aufgestanden war)“[3] aufgrund allgemeiner zahlentheoretischer Eigenschaften von Primzahlen, in diesem Fall konkret der Primzahl 17: Die modulo einer Primzahl gebildeten, von 0 verschiedenen Restklassen können nämlich als Potenzen einer sogenannten Primitivwurzel dargestellt werden, wobei im Fall konkret gewählt werden kann:

Sortiert man nun die von 1 verschiedenen 17. Einheitswurzeln entsprechend, das heißt in der Reihenfolge

so erhält man durch Teilsummation von jeder zweiten, jeder vierten, beziehungsweise jeder achten Einheitswurzel aus dieser Auflistung die sogenannten Gaußschen Perioden: zwei 8-gliedrige Perioden mit je 8 Summanden, vier 4-gliedrige Perioden mit je 4 Summanden und acht 2-gliedrige Perioden mit je 2 Summanden. Aufgrund prinzipieller Eigenschaften oder aber durch explizite Berechnung lässt sich dafür zeigen:[4]

  • Die beiden 8-gliedrigen Perioden sind Lösungen einer quadratischen Gleichung mit ganzen Koeffizienten.
  • Die vier 4-gliedrigen Perioden sind Lösungen von zwei quadratischen Gleichungen, deren Koeffizienten aus den 8-gliedrigen Perioden berechenbar sind.
  • Die acht 2-gliedrigen Perioden sind Lösungen von vier quadratischen Gleichungen, deren Koeffizienten aus den 4-gliedrigen Perioden berechenbar sind.

Dabei gilt für die zweigliedrige Periode zur „ersten“ Einheitswurzel .

Der beschriebene Ansatz lässt sich analog für jede Primzahl der Form durchführen. Fünf solche Primzahlen, die „Fermatsche Primzahlen“ genannt werden, sind bekannt: 3, 5, 17, 257, 65537. Daher gehören auch das regelmäßige 257-Eck und das regelmäßige 65537-Eck zu den konstruierbaren Polygonen.

Konstruktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der deutlich kürzere Wert aus der gaußschen Kurzfassung (siehe Eigenschaften), erleichtert eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal, die mithilfe der Hilfsgrößen, quasi Schritt für Schritt, den Kosinus des Zentriwinkels liefert. Ein möglicher Lösungsweg ist, die Hilfsgrößen zeichnerisch separat mit elementaren algebraischen Operationen darzustellen. Dies macht, mit vergleichsweise etwas mehr Aufwand, die Konstruktion übersichtlich und allgemein gut nachvollziehbar.[5]

Grundsätzlich wäre es auch möglich, den von Gauß zuerst gefundenen (langen) Ausdruck als konstruierte Strecke darzustellen. In der einschlägigen Literatur wird aber keine derartige Lösung beschrieben.

Konstruktion nach Georg Paucker[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine der ersten geometrischen Konstruktionsanleitungen für das regelmäßige Siebzehneck stammt von Magnus Georg Paucker, der sie 1819 der Kurländischen Gesellschaft für Literatur und Kunst vorlegte, wo sie 1822 veröffentlicht wurde.[6]

Konstruktionsskizze nach Magnus Georg Paucker Animation der Skizze
Konstruktionsskizze nach Magnus Georg Paucker
Animation der Skizze
  1. Zeichne auf dem horizontalen Durchmesser pa um den Mittelpunkt m den Umkreis des werdenden 17-Ecks.
  2. Errichte den senkrechten Durchmesser pA = pa auf p.
  3. Halbiere den Radius mp in B.
  4. Verlängere pa ab p.
  5. Trage die Strecke AB ab B auf die Verlängerung ab, Schnittpunkt ist C.
  6. Halbiere pA in D.
  7. Halbiere pC in E.
  8. Trage die Strecke ED ab E auf die Verlängerung ab, Schnittpunkt ist F.
  9. Errichte den senkrechten Radius mG auf m.
  10. Halbiere mC in H.
  11. Trage die Strecke HG ab H auf pa ab, Schnittpunkt ist I.
  12. Konstruiere den Halbkreis über pF.
  13. Konstruiere den Halbkreis über pI, Schnittpunkt mit mG ist K.
  14. Zeichne die Parallele zu mP ab K, Schnittpunkt mit Halbkreis über pF ist L.
  15. Fälle das Lot von L auf mH, Fußpunkt ist M.
  16. Zeichne den Kreisbogen mit Radius pM bis zum Umkreis, Schnittpunkt ist i.
  17. Trage die Strecke MF ab p auf dem Umkreis ab, Schnittpunkt ist c der Sehne pc, der Kreisbogen (pca) ist der doppelte Kreisbogen des 17-Ecks.
  18. Halbiere den Winkel cpa, Schnittpunkt ist b der Sehne pb, somit ist die Strecke ab die erste Seite des 17-Ecks.
  19. Trage die Strecke ab ab c fünfmal im Uhrzeigersinn auf dem Umkreis ab, es ergeben sich die Sehnen pd, pe, pf, pg und ph.
  20. Trage die Strecke ab ab i achtmal im Uhrzeigersinn auf dem Umkreis ab.
  21. Verbinde die so gefundenen Punkte zu einem vollständigen 17-Eck.

Konstruktion nach Herbert Richmond[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Jahr 1825 legte Johannes Erchinger eine Konstruktion der Akademie der Wissenschaften zu Göttingen vor, die Gauß daraufhin in den Göttingischen Gelehrten Anzeigen besprach.[7] Die folgende einfachere Konstruktion stammt von Herbert William Richmond aus dem Jahr 1893.[8]

Konstruktionsskizze nach Herbert William Richmond Animation der Skizze
Konstruktionsskizze nach Herbert William Richmond
Animation der Skizze

Ist der Umkreis um das entstehende Siebzehneck mit dem Mittelpunkt O gegeben, kann das Siebzehneck konstruiert werden durch:

  1. Zeichnen des Durchmessers durch den Mittelpunkt O; Schnittpunkt mit Umkreis ist A, später zusätzlich mit P17 bezeichnet.
  2. Errichten des Radius senkrecht zu AO auf O bis zum Umkreis; Schnittpunkt mit Umkreis ist B.
  3. Konstruktion des Punktes I durch Vierteln der Strecke BO; I liegt näher an O.
  4. Konstruktion des Punktes E durch Vierteln des Winkels OIA.
  5. Konstruktion des Punktes F mithilfe einer Senkrechten auf EI auf I; Halbierung des 90°-Winkels; Schnittpunkt mit Durchmesser ist F und Winkel FIE ist 45°.
  6. Konstruktion des Thaleskreises über AF; Schnittpunkt mit BO ist K.
  7. Zeichnen des Halbkreises um den Mittelpunkt E mit dem Radius EK; Schnittpunkte mit dem Durchmesser sind N3 und N5 (dabei liegt N3 sehr nahe beim Mittelpunkt des Thaleskreises über AF).
  8. Errichten der Senkrechten auf die horizontale Mittelachse ab N3; Schnittpunkt mit dem Umkreis ist der Eckpunkt P3 des Siebzehnecks; der Kreisbogen OAP3 ist somit 3/17 des Umkreisumfanges.
  9. Errichten der Senkrechten auf die horizontale Mittelachse ab N5; Schnittpunkt mit dem Umkreis ist der Eckpunkt P5 des Siebzehnecks; der Kreisbogen OAP5 ist somit 5/17 des Umkreisumfanges.
  10. Ein vierzehnmaliges Abtragen der Strecke AP3 auf dem Umkreis, ab dem Eckpunkt P3 gegen dem Uhrzeigersinn, ergibt der Reihe nach die Eckpunkte P6, P9, P12, P15, P1, P4, P7, P10, P13, P16, P2, P8, P11 und P14.
  11. Verbinden der so gefundenen Punkte P1, P2, …, P17, P1 vervollständigt das 17-Eck.

Konstruktion nach Duane DeTemple[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Duane W. DeTemple veröffentlichte im Jahr 1991 in der mathematischen Zeitschrift The American Mathematical Monthly eine Konstruktion des Siebzehnecks.[9] Für seine Lösung verwendete er u. a. vier sogenannte Carlyle-Kreise.

Konstruktionsskizze nach Duane W. DeTemple Animation der Skizze, am Ende 20 s Pause
Konstruktionsskizze nach Duane W. DeTemple
Animation der Skizze, am Ende 20 s Pause
  1. Ziehe eine horizontale Linie und setze darauf den Punkt O .
  2. Zeichne um O den Einheitskreis c1 mit Radius ., Schnittpunkte mit c1 sind und .
  3. Konstruiere die vertikale Mittelachse vom Umkreis c1 des entstehenden 17-Ecks, Schnittpunkt mit c1 ist .
  4. Halbiere den Radius OQ in .
  5. Ziehe den Kreisbogen c2 mit dem Radius r2 = Q’P0 () um Q’.
  6. Errichte eine Senkrechte auf dem Radius OQ ab Q’, Schnittpunkt mit c2 ist .
  7. Ziehe den Carlyle-Kreisbogen Cc1 um M0 durch A (mit ) so, dass er die horizontale Mittelachse vom Umkreis c1 zweimal trifft, Schnittpunkte sind und .
  8. Halbiere die Strecke OH0,2 in .
  9. Halbiere die Strecke OH1,2 in .
  10. Ziehe den Carlyle-Kreisbogen Cc2 um M1,2 ab A bis auf die horizontale Mittelachse, Schnittpunkt ist
  11. Ziehe den Carlyle-Kreisbogen Cc3 um M0,2 ab A bis auf die horizontale Mittelachse, Schnittpunkt ist .
  12. Trage OH1,4 von Punkt A aus auf der Geraden OA ab. Du erhältst Punkt
  13. Verbinde Y mit H0,4.
  14. Halbiere die Strecke H0,4Y in .
  15. Ziehe den Carlyle-Kreisbogen Cc4 um M0,4 ab A bis auf die horizontale Mittelachse, Schnittpunkt ist H0,8.
  16. Ziehe den Kreisbogen c3 mit dem Radius OP0 um H0,8, Schnittpunkte mit dem Umkreis c1 sind die Eckpunkte P1 und P16, somit ist die Strecke P0P1 die erste Seite des gesuchten 17-Ecks.
  17. Ein vierzehnmaliges Abtragen der Strecke P0P1 auf dem Umkreis c1, ab dem Eckpunkt P1 gegen dem Uhrzeigersinn, ergibt der Reihe nach die Eckpunkte P2 bis P16.
  18. Verbinde die so gefundenen Punkte P1, P2, …, P16, P0, dann ist das 17-Eck vollständig gezeichnet.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Godfrey Harold Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. Oxford University Press, 2008, ISBN 978-0-19-921986-5, Kapitel 5.8: Construction of the regular polygon of 17 sides, S. 71–77.
  • Harold Scott MacDonald Coxeter: Introduction to Geometry. 2. Auflage. Wiley, 1989, ISBN 0-471-50458-0, S. 26–28.
  • Karin Reich: Die Entdeckung und frühe Rezeption der Konstruierbarkeit des regelmäßigen 17-Ecks und dessen geometrische Konstruktion durch Johannes Erchinger (1825). In: Rüdiger Thiele (Hrsg.): Mathesis, Festschrift zum siebzigsten Geburtstag von Matthias Schramm. GNT-Verlag, Berlin / Diepholz 2000, S. 101–118.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. H. Maser: Die Teilung des Kreises ..., Artikel 365. In: Carl Friedrich Gauss' Untersuchungen über höhere Arithmetik. Verlag von Julius Springer, Berlin 1889; Göttinger Digitalisierungszentrum, Universität Göttingen, S. 446 ff, abgerufen am 15. März 2018.
  2. Friedrich L. Bauer: Historische Notizen zur Informatik. Hrsg.: Springer-Verlag. Berlin, Heidelberg 2009, S. 413 (Google Books, Carl Friedrich Gauß, das 17-Eck und MATHEMATIKA, Die Methode der Gruppierung [abgerufen am 20. Juli 2018]).
  3. Zitiert nach Jörg Bewersdorff: Algebra für Einsteiger. Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie. Vieweg+Teubner Verlag, 4. Auflage 2009, ISBN 978-3-8348-0776-2, S. 68 (springerlink.com).
  4. Details siehe Bewersdorff, S. 71–74.
  5. Hans Vollmayr: 17 gleiche Ecken und Kanten mit Zirkel und Lineal. In: Göttinger Bibliotheksschriften 30 „Wie der Blitz einschlägt, hat sich das Räthsel gelöst“ Carl Friedrich Gauß in Göttingen. Hrsg.: Elmar Mittler. Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, Göttingen 2005, ISBN 3-930457-72-5, S. 90–104 (Das Siebzehneck: die Rechnung 100–102; Das Siebzehneck: die Zeichnung 102–104 [abgerufen am 23. Juli 2018]).
  6. Magnus Georg Paucker: Geometrische Verzeichnung des regelmäßigen Siebzehn-Ecks und Zweyhundersiebenundfünfzig-Ecks in den Kreis. In: Jahresverhandlungen der Kurländischen Gesellschaft für Literatur und Kunst. Band 2, 1822, S. 160–219 (Einleitung, Beschreibung S. 187–188 und Abbildung nach S. 416 (Fig. 12)).
  7. Carl Friedrich Gauß: Göttingische Gelehrte Anzeigen. Band 87, Nr. 203, 19. Dezember 1825, S. 2025–2027 (books.google.de).
  8. Herbert W. Richmond: A Construction for a regular polygon of seventeen sides. In: The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics. Band 26, 1893, S. 206–207 (Beschreibung und Abbildung (Fig. 6)]).
  9. Duane W. DeTemple: Carlyle Circles and the Lemoine Simplicity of Polygon Constructions. (Memento vom 11. August 2011 im Internet Archive). The American Mathematical Monthly, Vol. 98, No. 2 (Feb., 1991), S. 101-104 (JSTOR 2323939) aufgerufen am 3. April 2017.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]