Benutzer Diskussion:Antonsusi/Aufheben

Kreistreue der stereografischen Projektion

Stereografische Projektion eines Kleinkreises

Hallo. Könnntest du evtl. unter Stereografische Projektion) darstellen, wie man bei der stereografischen Projektion von den Werten des Originalkreises, also Mittelpunkt und Radius (als Winkel) auf der Kugel auf die Werte des Bildkreises, also Mittelpunkt und Radius (als Strecke) auf der Ebene kommt? Ich habe es offline versucht, aber wohl irgendwo einen Fehler drin. ÅñŧóñŜûŝî (Ð) 18:34, 25. Nov. 2013 (CET)

Suchst du en:Stereographic projection#Definition? Grüße, --Quartl (Diskussion) 18:58, 25. Nov. 2013 (CET)

Meines Wissens ist das nicht so einfach, weil der Mittelpunkt des Bildkreises nicht das Bild des Kreismittelpunkts ist. --Digamma (Diskussion) 19:11, 25. Nov. 2013 (CET)

Es geht um die tangentiale Bildebene wie unter Stereografische_Projektion#Abbildung_der_Kugel dargestellt und sowohl um Großkreise, als auch um Teile davon (eine beliebige Orthodrome) und um Kleinkreise, deren Mittelpunkt nicht auf der Mittelachse der Kugelprojektion (Gerade durch PZ und TP im dt. Artikel) liegen. Aus Datei:SterProKreiTreu.svg geht hervor, dass die Projektionslinie durch den sphärischen Mittelpunkt(auf der Kugelkappe) eine andere ist wie die durch den (in der Kugel liegenden) Mittelpunkt der Schnittfläche. ÅñŧóñŜûŝî (Ð) 18:31, 26. Nov. 2013 (CET)

Naja, ich bin jetzt kein Experte in sphärischer Trigonometrie, daher ohne Gewähr: sind $\phi ,\theta$ die sphärischen Koordinaten des Mittelpunkts des Kleinkreises und $\alpha$ sein halber Öffnungswinkel, dann betrachte den Kugelschnitt durch den Längenkreis $\theta$ entsprechend der Abbildung. Die beiden Endpunkte 1 und 2 des Kreisbogens erscheinen dann unter den Vertikalwinkeln $\phi \pm \alpha$. Die stereografischen Projektionen 1′′ und 2′′ dieser beiden Punkte haben dann die Koordinaten (siehe Formel im engl. Artikel) ${\tfrac {\sin(\phi \pm \alpha )}{1-\cos(\phi \pm \alpha )}}$. Der Mittelpunkt der Kreisprojektion K′′ ist dann einfach ${\tfrac {1''+2''}{2}}$ und sein Radius entsprechend die halbe Differenz. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 20:37, 26. Nov. 2013 (CET)

Hm. Klingt logisch ;-) Es muss jedenfalls möglich sein, dass der Nenner Null wird, denn von Sternkarten mit verschiedenen Beobachtungspunkten (Projektion des äquatorialen Gradnetzes) weis ich, dass einige (Klein-) Kreise als Geraden erscheinen. Das probiere ich mal für diverse Fälle mit dem Computer aus. Wenn es passt, dann kann man das im Artikel ergänzen. Danke für den Tipp. ÅñŧóñŜûŝî (Ð) 18:50, 27. Nov. 2013 (CET)

Sollten die Formeln für den Kreismittelpunkt und -radius richtig sein, verrate ich dir noch ein paar schicke Vereinfachungen über die Additionstheoreme ;-). Ob sie jetzt unbedingt in den Artikel gehören, weiß ich nicht, eher fände ich da die allgemeinen Umrechnungsformeln aus dem englischen Artikel sinnvoll, mit denen kann man nämlich alles ausrechnen. Grüße, --Quartl (Diskussion) 19:14, 27. Nov. 2013 (CET)

@Antonsusi: Kreise werden auf Geraden abgebildet, wenn sie durch das Projektionszentrum verlaufen. --Digamma (Diskussion) 19:28, 27. Nov. 2013 (CET)

Mittelpunktsuche, ${\overline {A'D'}}\neq {\overline {D'B'}}$

Aha. Es gibt noch ein paar Aspekte:

• Gemäß meiner nebenstehenden Grafik liegt der Bildpunkt der Mitte des "sphärischen Kreises" nicht in der Mitte der beiden Extrempunkte A und B (${\overline {A'D'}}\neq {\overline {D'B'}}$), für den ebenen Mittelpunkt (blauer Dot ohne Bezeichner) gilt das noch mehr. Wenn es einen Kreis auf der Ebene gibt, wieso ist dann sein Zentrum (in der Mitte der Strecke ${\overline {A'B'}}$ zu erklären?
• Ich suche noch nach einer Parameterdarstellung für einen beliebigen Kreis auf der Kugel, also für den Kreis als Punktmenge in Kugelkoordinaten (ϕ,θ) mit ϕ = f(k) und θ g(k) mit 0 <= k <= 2π. In meiner Zeichnung wäre A der Punkt für k = 0 und B der Punkt für k = π

Evtl. finde ich etwas in der Astronomie, denn das erinnert mich an die Umrechnung von horiz. in äquat. Koordinaten. ÅñŧóñŜûŝî (Ð) 20:16, 27. Nov. 2013 (CET)

Digamma hat doch oben schon festgestellt, dass die Projektion des Kreismittelpunkts nicht der Mittelpunkt der Kreisprojektion ist. Die Punkte A′ und B′ (oben 1′′ und 2′′) sind Punkte maximalen Abstands auf dem projizierten Kreis und damit ist dieser Abstand zwangsläufig der Durchmesser des Kreises und der Punkt halben Abstands dann sein Mittelpunkt. Zu deinem zweiten Punkt: ich würde einfach die Parametrisierung des entsprechenden Breitenkreises (mit Mittelpunkt am Nordpol und Breitengrad entsprechend dem Kleinkreisradius) nehmen und diesen Breitenkreis dann auf deinen Kleinkreis rotieren. Grüße, --Quartl (Diskussion) 22:51, 27. Nov. 2013 (CET)

Das würde dann der astron. Umrechnung der horizontalen Koordinaten in ruhende equatoriale Koordinaten entsprechen. Du kannst ja mal durchschauen, ob ein Fehler drin ist:

• Ich stelle mir als Beispiel die Kugel als die Hohlkugel des scheinbaren Sternenhimmels mit dem Nordpol bei T vor und ich befinde mich auf einer kleineren Kugel in der Mitte auf dem Breitenkreis, welcher in meiner Grafik dem Winkel TMD entspricht. Dann habe ich Punkt D im Zenit. Der Kleinkreis rund um den Zenit hat dann den konstanten Zenitwinkel $z=\angle DMB$ bzw. Höhenwinkel h = π/2 - z.
• Dann rechne ich das in äquatoriale Koordinaten und damit in die Kugelkoordinaten der Projektion um. Gemäß Astronomische Koordinatensysteme wäre das (mit Zenitwinkel z statt Höhenwinkel h und Kugelkoordinate θ statt Deklination δ)

Die Punkte P(a, z) des Kleinkreises in horiz. Koordinaten: 0 <= a < 2π und z = konst.

mit $\varphi =\angle TMD$ (der "Breitengrad" des o.g. Denkmodells) ergibt sich dann:

δ = arcsin ( sin φ · sin h - cos φ · cos h · cos a)

wegen z = π/2 - h und θ = π/2 - δ also

θ = arccos ( sin φ · cos z - cos φ · sin z · cos a)

Und für den Winkel τ zwischen der Ebene durch die Extrempunkte (Zeichenebene meiner Grafik als Bezugsrichtung ) und der Ebene durch den Punkt P (entspricht dem Stundenwinkel des ruhenden äquat. Koordinatensystems und dem Winkel α der Projektion):

τ = arctan ( sin a / (sin φ · cos a + cos φ · tan h))

bzw mit z statt h:

τ = arctan ( sin a / (sin φ · cos a + cos φ · cot z))

Jetzt muss das - sofern es bis hierhin stimmt - noch mit der Projektion verkettet werden. Das probiere ich mal aus. ÅñŧóñŜûŝî (Ð) 18:30, 28. Nov. 2013 (CET)

Die Kreistreue ist ein wichtiger Aspekt der Projektion. Formeln für die Projektion eines Kreises (hier als Punktmenge) sind gewiss nützlich und relevant. ÅñŧóñŜûŝî (Ð) 19:01, 28. Nov. 2013 (CET)

Die Herleitung sieht vernünftig aus, wenn die Formeln in Astronomische Koordinatensysteme korrekt sind, was ich jetzt nicht überprüft habe. Grüße, --Quartl (Diskussion) 06:00, 29. Nov. 2013 (CET)

Die Formeln in Astronomische Koordinatensysteme - zumindest diese Umrechnungen - dürften stimmen, denn damit habe ich schon mal die Sterne eines Sternbilds umgerechnet und das Ergebnis sah "normal" aus". Ich probiere es ganz einfach mal mit dem astronomischen Gradnetz aus (Umkehrung), dann sehe ich ja, ob zueinander passende Kreisbögen entstehen. ÅñŧóñŜûŝî (Ð) 09:23, 1. Dez. 2013 (CET)