Born-von-Kármán-Modell

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Das Born-von-Kármán-Modell (benannt nach Max Born und Theodore von Kármán) ist ein grundlegendes Modell zur Beschreibung der Bewegungen der Atome in einem Kristallgitter, zum Beispiel zur Berechnung der spezifischen Wärme.

Das Modell besteht aus zwei Beiträgen: Die Born-Oppenheimer- und die Von-Kármán-Näherung.

Die Born-Oppenheimer-Näherung trennt die Schrödinger-Gleichung für die Bewegung der Kerne von der für die Elektronen. Gerechtfertigt wird dies durch die Tatsache, dass die Kerne viel schwerer sind, sich daher auf der Zeitskala der Entwicklung des elektronischen Vielteilchenzustands kaum bewegen. Die elektronische Energie hängt somit von der Lage der Kerne als unabhängige Variablen ab, was für die Kerne ein Potential bedeutet, in dem sie ihre Bewegung ausführen. Die Born-Oppenheimer-Näherung wird auch bei der Berechnung von Molekülschwingungen und chemischen Reaktionen angewendet.

Nach der Von-Kármán-Näherung werden bei der Anwendung in Kristallen diese Potentiale quadratisch genähert, was bedeutet, dass die Kerne harmonische Schwingungen ausführen. Die Quantisierung der Atomschwingungen im Kristallgitter nennt man Phononen.

Werden zudem bei der Berechnung der Phononen periodische Randbedingungen angesetzt,

 \psi(\bold{r}+N_i \bold{a}_i)=\psi(\bold{r}), \,

so werden sie auch Born-von-Kármán-Randbedingungen genannt.[1] Darin ist \bold{a}_i ein Gittervektor und N_i eine ganze Zahl.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Mireille Defranceschi, Claude Le Bris: Mathematical Models and Methods for Ab Initio Quantum Chemistry. (= Lectures in Chemistry. 74), Springer, 2000 ISBN 3-540-67631-7, S. 96 (Snippet-Ansicht in der Google-Buchsuche).