Phonon

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Ein Phonon ist ein Quasiteilchen, das in der theoretischen Festkörperphysik verwendet wird, um die Eigenschaften der quantenmechanisch beschriebenen Gitterschwingungen in einem Kristall mit Hilfe eines vereinfachten Modells beschreiben zu können. Phononen sind delokalisiert, das heißt ein Phonon existiert im ganzen Kristallgitter und lässt sich keinem bestimmten Ort zuordnen.

Der Begriff Phonon (nach griech. „phon“ = Klang) wurde in Analogie zu den Schwingungsquanten des elektromagnetischen Feldes, den Photonen, gewählt und zum ersten Mal von J. I. Frenkel (1894–1952) 1932 in seinem Buch „Wave Mechanics, Elementary Theory“ verwendet.[1]

Klassifizierung[Bearbeiten]

Vergleich von optischen und akustischen Transversalwellen von Phononen bei 2-atomiger Basis
longitudinal-akustische Mode

In einem dreidimensionalen Kristall mit N Atomen in der primitiven Basis existieren zu jedem mit der Kristallsymmetrie verträglichen Wellenvektor 3N mögliche Schwingungsmoden: 3 akustische (davon eine longitudinal und zwei transversal) und (3N-3) optische:

  • Akustische Phononen (auch als Schallquanten bezeichnet) sind Schallwellen, die sich durch das Kristallgitter fortpflanzen, wobei sich benachbarte Atome gleichsinnig bewegen.
  • Dagegen bewegen sich bei optischen Phononen die Atome innerhalb der Basis gegeneinander. Die Bezeichnung „optisch“ beruht darauf, dass die Schwingungsfrequenzen optischer Phononen oft im Bereich des infraroten oder sichtbaren Lichts liegen. Diese Benennung erfolgt dabei unabhängig davon, ob die Phononen tatsächlich optisch aktiv sind. (Optische Aktivität bedeutet hier, dass ein Phonon mit einem Photon wechselwirken kann, dass also ein Phonon erzeugt werden kann, indem ein Photon absorbiert wird, oder dass umgekehrt ein Photon emittiert werden kann, indem ein Phonon vernichtet wird. Optische Aktivität kann nur dann vorliegen, wenn innerhalb der Basis elektrische Polarisation vorliegt, was im Allgemeinen genau dann der Fall ist, wenn die Basis aus verschiedenen Atomen aufgebaut ist. Kristalle, die mit infraroten Photonen wechselwirken, nennt man infrarot-aktiv. Beispiele für solche Gitter sind Ionengitter, zum Beispiel in Natriumchloridkristallen.)

Das Modell der Gitterschwingungen setzt eine kristalline Ordnung voraus. Auch amorphe Festkörper wie Gläser zeigen Schwingungen der Atome untereinander, man bezeichnet diese aber nicht als phononische Schwingungen. Für langwellige akustische Schwingungen ist der Einfluss der Unordnung gering.

Anregungsenergie und Statistik[Bearbeiten]

Die Energiezustände \varepsilon_n der Phononen berechnen sich äquivalent zu den Niveaus eines harmonischen Oszillators nach

\varepsilon_n(\mathbf{k}) = \hbar \cdot \omega(\mathbf k) \cdot \left( n + \frac{1}{2} \right)

Darin ist die Frequenz \omega abhängig von der Schwingungsmode n und dem Wellenvektor \mathbf k, siehe #Dispersion.

Da Phononen zu den Bosonen zählen, berechnet sich die mittlere Besetzungszahl \langle n\rangle im thermischen Gleichgewicht gemäß der Bose-Einstein-Verteilung als

\langle n\rangle = \frac{1}{e^{\hbar \cdot \omega /(k_B \cdot T)} - 1}

mit

Das chemische Potential \mu taucht in der Formel nicht auf, weil die Teilchenzahl der Phononen keine Erhaltungsgröße ist.

Üblicherweise werden (wie oben) statistische Gemische von Zuständen mit bestimmter Phononenzahl (Fock-Zustände) verwendet. Wie Roy J. Glauber für Photonen 1963 zeigte, gibt es aber auch für Phononen so genannte kohärente Zustände mit unbestimmter Teilchenzahl, die sehr stark klassischen Gitterschwingungen ähneln. Während bei Fock-Zuständen der Erwartungswert der Auslenkung 0 ist, genügt er bei kohärenten Phononen-Zuständen der klassischen Zeitabhängigkeit von Gitterschwingungen.

Nachweis[Bearbeiten]

Experimentell bestimmen lassen sich die optischen Phononen mittels Raman- oder Infrarot-Spektroskopie. Zur Ermittlung des Gesamtspektrums der Phononen wird sowohl die Information über die Energie als auch über den Impuls der Gitterschwingungen benötigt. Diese Forderung wird durch die inelastische Neutronenstreuung, die Röntgenstreuung sowie durch die hochauflösende Elektronenenergieverlustspektroskopie (HREELS) erfüllt.

Dispersion[Bearbeiten]

Die Dispersionsrelation gibt die Abhängigkeit der Kreisfrequenz \omega von der Wellenzahl k an. Bei Phononen ergibt sich diese Beziehung aus der Newtonschen Bewegungsgleichung. Dazu nimmt man an, dass sich die Atome in einem periodischen Potential V befinden, in dem sie Schwingungen ausführen.

Zwei benachbarte Atome haben einen Phasenunterschied von k a, wobei a der Abstand zweier benachbarter Atome in der Ruhelage ist. Ein Phasenunterschied von 2\pi entspricht einem von Null; höhere Phasenunterschiede sind dementsprechend äquivalent mit einem Wert zwischen 0 und 2\pi. Aus Symmetriegründen betrachtet man das Intervall zwischen -\pi und \pi. Das entspricht k-Werten aus der ersten Brillouin-Zone, also k\in\lbrack -\pi/a,\pi/a \rbrack . Dadurch hat man alle physikalisch relevanten Wellenzahlen abgedeckt.

Akustische Phononen[Bearbeiten]

Dispersionsrelation  \omega (k)

Für das einfache Modell einer linearen Kette von Atomen, die durch Federn miteinander verbunden sind, lautet die Dispersionsrelation

 \omega (k) = 2 \sqrt{\frac{C}{m}} \left| \sin \left( \frac{k a}{2}\right) \right| ,

wobei C (in kg/s^2) die Federkonstante zwischen den zwei benachbarten Ebenen und m die Masse des Atoms ist.

Für niedrige Werte von k \left( a k \ll 1 \right) lautet der Ausdruck näherungsweise

 \omega (k) \approx a \sqrt{ \frac{C}{m}} |k|=c_s |k| .
c_s ist die Schallgeschwindigkeit.

An den Zonengrenzen gilt

 \omega = 2 \sqrt{ \frac{C}{m}}=\mathrm{const} .

Die Gruppengeschwindigkeit, also die Geschwindigkeit des Energietransports im Medium, ergibt sich zu

v_g = \frac{ \mathrm{d} \omega}{ \mathrm{d}k}= \sqrt{ \frac{C a^2}{m}} \cos \left( \frac{k a}{2}\right) .

Am Zonenrand ist die Gruppengeschwindigkeit Null: die Welle verhält sich wie eine stehende Welle.

Optische Phononen[Bearbeiten]

Die optischen Äste existieren bei einer aus unterschiedlichen Atomen bestehenden Basis oder bei einem System mit unterschiedlichen Kraftkonstanten C (ähnlich der Federkonstanten). Beides führt zu einem Atomgitter mit mehr als einem Atom in der Basis. Die Formel beschreibt die Dispersionsrelation für das Modell einer linearen Kette mit zwei unterschiedlichen Atomen, welche die Massen m_1 und m_2 haben. Die Kraftkonstante C bleibt konstant.

\omega^2(k) = \frac{C(m_1+m_2)}{m_1\cdot m_2}\Biggl[ 1 + \sqrt{1- \frac{4m_1\cdot m_2}{(m_1+m_2)^2}\cdot \sin^2(kd)} \Biggr].

Der optische Zweig ist höherfrequenter als der akustische und nahezu dispersionslos.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Jakow Iljitsch Frenkel: Wave Mechanics. Elementary Theory. Clarendon Press, Oxford 1932.

Literatur[Bearbeiten]

  • Michael A. Stroscio, Mitra Dutta: Phonons in nanostructures. Cambridge Univ. Press, Cambridge 2005, ISBN 978-0-521-01805-0.
  • Lawrence J. Challis: Electron-phonon interaction in low-dimensional structures. Oxford Univ. Pr., Oxford 2003, ISBN 978-0-19-850732-1.
  • Jean-Pierre Leburton: Phonons in Semiconductor Nanostructures. Kluwer, Dordrecht 1993, ISBN 0-7923-2277-0.

Weblinks[Bearbeiten]