Cauchyscher Hauptwert

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Als cauchyschen Hauptwert (nach Augustin-Louis Cauchy) bezeichnet man im mathematischen Teilgebiet der Analysis den Wert, den man einem divergenten Integral zuordnen kann, wenn sich divergente Teile verschiedenen Vorzeichens gegenseitig aufheben.

Definition[Bearbeiten]

Der cauchysche Hauptwert, ist ein Wert, den man gewissen divergenten Integralen zuordnen kann. Es gibt zwei unterschiedliche Fälle, in denen man von einem cauchyschen Hauptwert spricht.

\operatorname{CH}\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x := \lim_{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\left(\int_a^{c-\epsilon}f(x)\,\mathrm dx+\int_{c+\epsilon}^bf(x)\,\mathrm dx\right) \,,
so nennt man \operatorname{CH}\int_a^bf(x)\,\mathrm dx den cauchyschen Hauptwert.[1]
\operatorname{CH}\int_{-\infty}^\infty f(x)\,\mathrm dx := \lim_{R \rightarrow \infty} \int_{-R}^R f(x)\,\mathrm dx
ebenfalls cauchyscher Hauptwert.[2]

Es ist auch gebräuchlich, „V.P.“ (aus dem Franz. valeur principale) oder „P.V.“ (aus dem Engl. principal value) anstatt „CH“ zu schreiben.[3]

Beziehung zwischen cauchyschem Hauptwert und uneigentlichem Integral[Bearbeiten]

Existiert ein Integral über \R im uneigentlichen Sinn, so existiert auch immer der cauchysche Hauptwert (nach der zweiten Definition) und diese beiden Werte stimmen überein. Aus der Existenz des cauchyschen Hauptwertes folgt hingegen noch nicht die Existenz des uneigentlichen Integrals.[4]

Beispiel (CH 1/x)[Bearbeiten]

cauchyscher Hauptwert - Beispiel

Es wird das bestimmte Integral \textstyle \int_{-1}^{1} \frac{1}{x}\,\mathrm dx untersucht. Der Integrand ist für x=0 (ein innerer Punkt des Integrationsbereichs ]-1,1[) nicht definiert. Damit ist dieses Integral uneigentlich in 0. Die Stammfunktion des Integranden \tfrac{1}{x} ist \ln\left|x\right| (siehe Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen).

\begin{align}
\Rightarrow \int_{-1}^{1} \frac{1}{x}\,\mathrm dx =& \int_{-1}^{0} \frac{1}{x}\,\mathrm dx + \int_{0}^{1} \frac{1}{x}\mathrm dx = \left[ \ln\left|x\right| \right]_{x=-1}^0 + \left[ \ln\left|x\right| \right]_{x=0}^{1} \\
 =& \lim_{x\rightarrow 0^{-}}\ln\left|x\right| - \ln\left|-1\right| + \ln\left|1\right| - \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\ln\left|x\right| = -\infty - \left(-\infty\right)
\end{align}

Dieses Integral existiert also nicht als uneigentliches Riemann-Integral, der cauchysche Hauptwert beträgt jedoch 0:

\operatorname{CH}\int_{-1}^{1}\frac{1}{x}\,\mathrm dx=\lim_{\epsilon\rightarrow 0^{+}} \left(\int_{-1}^{0-\epsilon} \frac{1}{x}\,\mathrm dx + \int_{0+\epsilon}^1 \frac{1}{x}\,\mathrm dx\right)=\lim_{\epsilon\rightarrow 0^{+}}(\ln(\epsilon)-\ln(\epsilon))=0

Der Cauchy-Hauptwert ermöglicht es also einem Integral einen Wert zuzuordnen, das weder im riemannschen Sinn noch im lebesgueschen Sinn existiert.

Wenn f auf der reellen Achse stetig und nur auf einem beschränkten Intervall von Null verschieden ist, existiert also insbesondere der Ausdruck \textstyle \operatorname{CH}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x) \frac{1}{x}\,\mathrm dx. Das heißt, dass \operatorname{CH}\tfrac{1}{x} wie die Delta-Distribution auch als Distribution verstanden werden kann.

Substitution i. Allg. nicht erlaubt[Bearbeiten]

Der Hauptwert eines Integrals bleibt jedoch im Allgemeinen nicht unter Substitution invariant. Wenn man etwa die Funktion \varphi durch \varphi(x)= x^3 für  x\le  0 und \varphi(x)= x^2 für  x\ge 0 definiert, so gilt zwar nach der Substitutionsregel

 \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} \frac 1t\, \mathrm dt = \int_a^b \frac{1}{\varphi(x)}\varphi'(x) \,\mathrm dx

wann immer  0<a\le b oder  a\le b<0 gilt. Für  a < 0 < b ist jedoch der Hauptwert des einen Integrals eine endliche Zahl, der Hauptwert des zweiten Integrals ist aber -\infty:

 \operatorname{CH} \int_{a^3}^{b^2} \frac 1t \,\mathrm dt = \ln\biggl|\frac{b^2}{a^3} \biggr|
 \operatorname{CH} \int_a^b \frac{\varphi'(x)}{\varphi(x)}\,\mathrm dx  = \lim_{\varepsilon\to 0+} \biggl(\int_a^{-\varepsilon} \frac{3x^2}{x^3} \,\mathrm dx + \int_{\varepsilon}^b \frac{2x}{x^2}\,\mathrm dx \biggr) = \lim_{\varepsilon\to 0+}  \biggl(\ln\biggl|\frac{b^2}{a^3} \biggr| + \ln \varepsilon  \biggr)=-\infty

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Klaus Fritzsche: Grundkurs Funktionentheorie: Eine Einführung in die komplexe Analysis und ihre Anwendungen. 1. Auflage, Spektrum Akademischer Verlag, ISBN 3827419492, S. 155.
  2. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie. Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4, S. 177.
  3.  Guido Walz (Hrsg.): Cauchyscher Hauptwert. In: Lexikon der Mathematik. 1 Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.
  4. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie. Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4, S. 177–178.