Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen

$\sqrt[n]{x}$

Dieser Artikel ist eine Formelsammlung zum Thema Ableitungs- und Stammfunktionen. Es werden mathematische Symbole verwendet, die im Artikel Mathematische Symbole erläutert werden.

Diese Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen (Integraltafel) gibt eine Übersicht über Ableitungsfunktionen und Stammfunktionen, die in der Differential- und Integralrechnung benötigt werden.

Tabelle einfacher Ableitungs- und Stammfunktionen (Grundintegrale)

Diese Tabelle ist zweispaltig aufgebaut. In der linken Spalte steht eine Funktion, in der rechten Spalte ihre Stammfunktion. (Umgekehrt ist die Funktion in der linken Spalte immer auch die Ableitung ihrer Stammfunktion.)

Hinweis: Wenn F(x) eine Stammfunktion von f(x) ist, dann werden durch F(x) + C mit C als einer beliebigen reellen Konstanten alle Stammfunktionen von f(x) beschrieben. Zum Beispiel ist auch $F(x)=\tfrac12 x^2+5$ eine Stammfunktion von f(x) = x. Die additive Konstante C wird aus Gründen der Übersichtlichkeit nicht aufgeführt. Weiterhin gilt: Falls F(x) eine Stammfunktion von f(x) ist, so ist aufgrund der Linearität des Integrals $a\cdot F(x)$ eine Stammfunktion von $a\cdot f(x)$.

Potenz- und Wurzelfunktionen

Funktion f(x)	Stammfunktion F(x)
$0\;$	$0\;$
$k\;(k\in\R)$	$kx\;$
$x^n\;$	$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{n+1}x^{n+1} & \mbox{wenn }n\neq-1 \\ \ln \left| x \right| & \mbox{wenn } n=-1 \end{matrix}\right.$
$f'(x)\cdot f^n(x)\;$	$\frac1{n+1}f^{n+1}(x)\;$
$nx^{n-1} \;$	$x^n\;$
$x\;$	$\tfrac12 x^2\;$
$2x\;$	$x^2\;$
$x^2\;$	$\tfrac13 x^3\;$
$\sqrt x\;$	$\tfrac23 x^\tfrac32\;$
$\sqrt[n]{x}\;$	$\frac{n}{n+1}(\sqrt[n]{x})^{n+1}\;$
$3x^2\;$	$x^3\;$
$\frac1{\sqrt{x}}\;$	$2\sqrt{x}\;$
$\frac{1}{n (\sqrt[n]{x})^{n-1}}\;$	$\sqrt[n]{x}\;$
$-\frac{2}{x^3}\;$	$\frac{1}{x^2}\;$
$-\frac{1}{x^2}\;$	$\frac{1}{x}\;$

Exponential- und Logarithmusfunktionen

Funktion f(x)	Stammfunktion F(x)
$e^x\;$	$e^x\;$
$e^{kx}\;$	$\frac{1}{k}e^{kx}\;$
$a^x\ln a\;(a>0)$	$a^x\;$
$a^x\;$	$\frac{a^x}{\ln a}\;$
$x^x(1+\ln(x))\;$	$x^x\;$ $(x >0)\;$
$e^{x \ln \left| x \right|}(\ln \left| x \right| + 1)\;$	$\left| x \right|^x =$ $e^{x \ln \left| x \right|}$ $(x\neq 0)$
$\frac{1}{x}\;$	$\ln \left| x \right| \;$
$\ln x\;$	$x\ln x -x\;$
$u'(x) \ln u(x)\;$	$u(x) \ln u(x) - u(x)\;$
$\frac{1}{x}\ln^{n}x \;\;(n\neq-1)\;$	$\frac{1}{n+1}\ln^{n+1}x\;$
$\frac{1}{x}\ln{x^n} \;\; (n\neq0)\;$	$\frac{1}{2n}\ln^2{x^n} = \frac{n}2\ln^2 x\;$
$\frac{1}{x}\frac{1}{\ln a}\;$	$\log_a x\;$
$\frac{1}{x\ln x}\;$	$\ln\left| \ln x \right| \;$ $(x > 0, x \ne 1)\;$
$\log_a x\;$	$\frac{1}{\ln a}(x\ln x -x)\;$
$\sqrt{a^2 - x^2}$	$\frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \arcsin \left(\frac{x}{a} \right)$
$\sqrt{a^2 + x^2}$	$\frac{x}{2}\sqrt{a^2 + x^2} + \frac{a^2}{2} \ln \left(x + \sqrt{a^2 + x^2} \right)$

Trigonometrische und Hyperbelfunktionen

Funktion f(x)	Stammfunktion F(x)
$\sin x\;$	$-\cos x\;$
$\cos x\;$	$\sin x\;$
$\sin^2 x\;$	$\tfrac12 (x-\sin x\cdot\cos x)\;$
$\cos^2 x\;$	$\tfrac12 (x+\sin x\cdot\cos x)\;$
$\sin ax\cos ax\;$	$-\frac{1}{2a}\cos^2 ax \,\!$
$\tan x\;$	$-\ln|\cos x|\;$
$\cot x\;$	$\ln|\sin x|\;$
$\frac{1}{\cos^2 x}=1+\tan^2 x\;$	$\tan x\;$
$\frac{-1}{\sin^2 x}=-(1+\cot^2 x)\;$	$\cot x\;$
$\arcsin x\;$	$x\arcsin x +\sqrt {1-x^2}\;$
$\arccos x\;$	$x\arccos x -\sqrt {1-x^2}\;$
$\arctan x\;$	$x \arctan x -\tfrac12 \ln \left(1+x^2 \right)\;$
$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\;$	$\arcsin x\;$
$\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\;$	$\arccos x\;$
$\frac {1} {x^2+1}\;$	$\arctan x\;$
$\frac {x^2} {x^2+1}\;$	$x - \arctan x\;$
$\frac {1} {(x^2+1)^2}\;$	$\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x^2+1}+\arctan x\right)\;$
$\sinh x\;$	$\cosh x\;$
$\cosh x\;$	$\sinh x\;$
$\tanh x\;$	$\ln \cosh x\;$
$\coth x\;$	$\ln|\sinh x|\;$
$\frac{1}{\cosh^2 x} =1-\tanh^2 x\;$	$\tanh x\;$
$\frac{-1}{\sinh^2 x} =1-\coth^2 x\;$	$\coth x\;$
$\operatorname{arsinh}\;x\;$	$x\;\operatorname{arsinh}\;x -\sqrt{x^2+1}\;$
$\operatorname{arcosh}\;x\;$	$x\;\operatorname{arcosh}\;x -\sqrt{x^2-1}\;$
$\operatorname{artanh}\;x\;$	$x\;\operatorname{artanh}\;x +\frac{1}{2}\ln{\left(1-x^2\right)}\;$
$\operatorname{arcoth}\;x\;$	$x\;\operatorname{arcoth}\;x +\frac{1}{2}\ln{\left(x^2-1\right)}\;$
$\frac{1}{\sqrt {x^2+1}}\;$	$\operatorname{arsinh}\;x\;$
$\frac{1}{\sqrt {x^2-1}}\;,\;x>1$	$\operatorname{arcosh}\;x\;$
$\frac{1}{1-x^2}\;,\;\left| x \right|<1$	$\operatorname{artanh}\;x\;$
$\frac{1}{1-x^2}\;,\;\left| x \right|>1$	$\operatorname{arcoth}\;x\;$
$\sin^{2} k x\;$	$\frac{x}2 - \frac{\sin(2 k x)}{4k}$
$\cos^{2} k x\;$	$\frac{x}2 + \frac{\sin(2 k x)}{4k}$

Sonstige

Funktion f(x)	Stammfunktion F(x)
$e^{-x^2}$	$\frac{\sqrt{\pi}}{2}\;\operatorname{Erf}\;x$
$e^{-a x^2 + b x + c}$	$\frac{\sqrt{\pi}}{2 \sqrt{a}}\;e^{\frac{b^2}{4 a} + c}\;\operatorname{Erf}\;\left(\sqrt{a}\;x - \frac{b}{2 \sqrt{a}}\right)$
$\frac {u'(x)} {u(x)}$	$\ln \left| u(x) \right| \,$
$u'(x) \cdot u(x)$	$\tfrac12 (u(x))^2$

Rekursionsformeln für weitere Stammfunktionen

$\int\frac{1}{(x^2+1)^n}\, \mathrm d x = \frac{1}{2n-2}\cdot\frac{x}{(x^2+1)^{n-1}} + \frac{2n-3}{2n-2} \cdot \int\frac{1}{(x^2+1)^{n-1}}\, \mathrm d x,\quad n\geq 2$

$\int\sin^n(x)d x = \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2}(x)dx -\frac{1}{n}\cos(x)\sin^{n-1}(x),\quad n\geq 2$

$\int\cos^n(x)d x = \frac{n-1}{n}\int\cos^{n-2}(x)dx +\frac{1}{n}\sin(x)\cos^{n-1}(x),\quad n\geq 2$

Weblinks

 Wikibooks: unbestimmte Integrale in der Formelsammlung Mathematik – Lern- und Lehrmaterialien

• Stammfunktionen berechnen lassen
• Ableitungen berechnen lassen