Chromatisches Polynom

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Das chromatische Polynom \chi(G, \lambda) gibt zu einem Graphen G die Anzahl der möglichen Knotenfärbungen mit \lambda Farben an, d.h. die Anzahl der Färbung aller Knoten des Graphen, so dass Knoten, die durch eine Kante verbunden sind, verschiedene Farben tragen.

Beispiele[Bearbeiten]

Das chromatische Polynom eines Graphen mit n isolierten Knoten ist \chi(G, \lambda)=\lambda^n. Jeder der n Knoten kann unabhängig von den anderen eine der \lambda Farben annehmen.

Das chromatische Polynom eines vollständigen Graphen K_n ist

\chi(K_n, \lambda) = \prod_{i=0}^{n-1} (\lambda-i) = \lambda(\lambda-1)\cdots(\lambda-n+1)

Die Farbe des ersten Knotens kann immer beliebig gewählt werden und für die Färbung des (i+1)-ten Knotens sind dann noch \lambda-i Farben übrig.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Für jeden Graphen gibt es eine Zahl \chi(G), sodass \chi(G, \lambda) = 0 für alle \lambda < \chi(G). Diese Zahl ist die chromatische Zahl des Graphen und gibt an, wie viele Farben für eine zulässige Knotenfärbung mindestens benötigt werden.

Es ist zunächst einmal nicht klar, dass \chi überhaupt ein Polynom in \lambda ist, dies lässt sich jedoch induktiv zeigen, da für alle Kanten e\in E gilt: \chi(G, \lambda)=\chi(G\setminus\{e\}, \lambda) - \chi(G/e, \lambda) (wobei G/e derjenige Graph ist, der durch Kantenkontraktion von e entsteht).

Weblinks[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Martin Aigner: Combinatorial theory. Springer, 1979, ISBN 0-387-90376-3
  • Swamy M., Thulasiraman K.: Graphs, Networks and Algorithms. Krieger Pub. Co., 1980, ISBN 0-471-03503-3
  • Tutte W.: Graph Theory. Addison-Wesley, 1984, ISBN 0-201-13520-5
  • Wilf, H. S., "Algorithms and Complexity", Prentice-Hall, 1986
  • Graham R. (Ed.), Grötschel M. (Ed.), László L. (Ed.): Handbook of Combinatorics. Vol. 1, Elsevier, 1995, ISBN 0-262-07170-3