Clausius-Mossotti-Gleichung

Die Clausius-Mossotti-Gleichung verknüpft die makroskopisch messbare Größe Permittivitätszahl $\varepsilon _{\mathrm {r} }$ mit der mikroskopischen (molekularen) Größe elektrische Polarisierbarkeit $\alpha$. Sie ist benannt nach den beiden Physikern Rudolf Clausius und Ottaviano Fabrizio Mossotti und lautet:

$P_{m}={\frac {\varepsilon _{\mathrm {r} }-1}{\varepsilon _{\mathrm {r} }+2}}{\frac {M_{m}}{\rho }}={\frac {N_{\mathrm {A} }}{3\,\varepsilon _{0}}}\alpha$

Dabei ist

• $P_{m}$ die molare Polarisation (ihre Einheit ist die eines molaren Volumens, also z. B. m³/mol)
• $M_{m}$ die molare Masse (in kg/mol)
• $\rho$ die Dichte (in kg/m³)
• $N_{\mathrm {A} }$ die Avogadrokonstante.

Die Gleichung gilt für unpolare Stoffe ohne permanentes Dipolmoment, d. h. es gibt nur induzierte Dipole (Verschiebungspolarisation). Für Stoffe mit permanenten Dipolen wird die Debye-Gleichung verwendet, die neben der Verschiebungspolarisation auch die Orientierungspolarisation berücksichtigt.

Herleitung

Die makroskopische Polarisation ${\vec {P}}$ ist die Summe aller induzierten Dipole ${\vec {p}}_{\text{ind}}$ geteilt durch das betrachtete Volumen (die Polarisation entspricht einer Dipoldichte):

${\vec {P}}=N{\vec {p}}_{\text{ind}}=N\alpha {\vec {E}}_{\text{lokal}}$

wobei $N$ die Teilchenzahldichte, $\alpha$ Polarisierbarkeit, ${\vec {E}}_{\text{lokal}}$ lokale elektrische Feldstärke am Ort des Atoms/Moleküls.

Die makroskopisch messbaren Größen elektrische Suszeptibilität $\chi$ bzw. die Permittivitätszahl $\varepsilon _{\mathrm {r} }$ stellen den Zusammenhang zwischen der Polarisation und dem E-Feld her:

${\vec {P}}=\chi \varepsilon _{0}{\vec {E}}=\left(\varepsilon _{\mathrm {r} }-1\right)\varepsilon _{0}{\vec {E}}$

Man erhält durch Gleichsetzen folgende Gleichung:

$\left(\varepsilon _{\mathrm {r} }-1\right)\varepsilon _{0}{\vec {E}}=N\alpha {\vec {E}}_{\text{lokal}}$

Um weiterführende Aussagen machen zu können, muss das lokale Feld bestimmt werden.

Nebenbemerkung: Für verdünnte Gase beeinflussen sich die induzierten Dipole nicht, das lokale Feld ist gleich dem angelegten äußeren Feld  ${\vec {E}}_{\text{lokal}}={\vec {E}}$  und daraus:

$\left(\varepsilon _{\mathrm {r} }-1\right)={\frac {N}{\varepsilon _{0}}}\alpha$

Für ein Dielektrikum höherer Dichte ist das lokale Feld ungleich dem angelegten äußeren Feld, da in der Nähe befindliche induzierte Dipole auch ein elektrisches Feld aufbauen.

${\vec {E}}_{\text{lokal}}={\vec {E}}+{\vec {E}}_{\text{L}}$

${\vec {E}}$: von außen angelegtes elektrisches Feld + auf Dielektrikum-Oberfläche erzeugtes Polarisationsfeld (Entelektrisierungsfeld),

${\vec {E}}_{\text{L}}={\vec {P}}/(3\varepsilon _{0})$: Feld der Polarisationsladungen auf der Oberfläche einer fiktiven Kugel um das betrachtete Molekül (Lorentzfeld)

Dies ergibt ein lokales E-Feld von:

${\vec {E}}_{\text{lokal}}={\vec {E}}+{\frac {1}{3\varepsilon _{0}}}{\vec {P}}={\vec {E}}+{\frac {\left(\varepsilon _{\mathrm {r} }-1\right)\varepsilon _{0}}{3\varepsilon _{0}}}{\vec {E}}={\frac {\varepsilon _{\mathrm {r} }+2}{3}}{\vec {E}}$

Eingesetzt in obige Gleichung:

$\left(\varepsilon _{\mathrm {r} }-1\right)\varepsilon _{0}{\vec {E}}=N\alpha {\frac {\varepsilon _{\mathrm {r} }+2}{3}}{\vec {E}}$

Umstellen liefert:

${\frac {\varepsilon _{\mathrm {r} }-1}{\varepsilon _{\mathrm {r} }+2}}={\frac {N\alpha }{3\varepsilon _{0}}}$

Bzw. nach $\varepsilon _{r}$ aufgelöst:

$\varepsilon _{\mathrm {r} }=1+\chi _{e}=1+{\frac {3N\alpha }{3\varepsilon _{0}-N\alpha }}$

Nun kann man noch die Teilchendichte $N$ durch makroskopisch messbare Größen ausdrücken (Dichte $\rho$, molare Masse $M_{m}$ und Avogadrokonstante $N_{\mathrm {A} }$):

$N={\frac {N_{A}\rho }{M_{m}}}$

Einsetzen liefert die Clausius-Mossotti-Gleichung:

${\frac {\varepsilon _{\mathrm {r} }-1}{\varepsilon _{\mathrm {r} }+2}}{\frac {M_{m}}{\rho }}={\frac {N_{\mathrm {A} }}{3\varepsilon _{0}}}\alpha$

Bzw. nach $\varepsilon _{\mathrm {r} }$ aufgelöst:

$\varepsilon _{\mathrm {r} }=1+\chi _{e}=1+{\frac {3N_{\mathrm {A} }\rho \alpha }{3M_{m}\varepsilon _{0}-N_{\mathrm {A} }\rho \alpha }}$

Literatur

• Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, Matthew Sands: Lectures on Physics, Volume II. Definitive Edition Auflage. Addison-Wesley, 2005, ISBN 0-8053-9047-2.