Cox-Regression

Die Cox-Regression ist ein Regressionsmodell aus der mathematischen Statistik. Es wird zur Modellierung von Überlebenszeiten in der Survival Analysis benutzt und basiert auf dem Konzept der Hazardrate. Benannt wurde die Cox-Regression nach dem britischen Statistiker David Cox.

Das Regressionsmodell

Das von Cox vorgeschlagene Regressionsmodell wird zur Untersuchung des Verhaltens der Hazardfunktion in Abhängigkeit von Umwelteinflüssen benutzt. Grundlage des Modells sind q-dimensionale Einflussvektoren $z_i \;$ mit $i = 1, \ldots, n\;$, die für jedes Individuum $i\;$ der Studie beobachtet werden können. Der Zusammenhang zwischen diesen Einflüssen und der Hazardfunktion wird dann über die Relation

$h(t;z_i) = h_{0}(t) \exp(z_i' \beta)\;$

hergestellt. $h_{0}\;$ bezeichnet dabei eine unbekannte baseline-Hazardfunktion, die im Ausgangsfall ohne Einflüsse (also $z_i = 0\;$) die zugehörige Hazardfunktion darstellt. $\beta\;$ ist ein unbekannter Parameter, ebenfalls q-dimensional. Aufgabe der Statistik ist die Schätzung dieses Parameters.

Die Beobachtungen

Die Beobachtungen bestehen im Modell der Cox-Regression aus einem Tripel $(t_i, z_i, \delta_i)\;$, wobei $z_i \;$ wie oben den Einflussvektor für das Individuum $i\;$ bezeichnet.

$t_i\;$ ist (wie im Falle der Untersuchung zensierter Daten üblich) als das Minimum von zwei Zufallsvariablen $x_i\;$ und $y_i\;$ definiert. Im Falle des tatsächlich beobachteten Todes eines Individuums gibt $x_i\;$ den Todeszeitpunkt von $i\;$ an. Falls dagegen nur die Studie beendet wurde, gibt $y_i\;$ den Zeitpunkt der Beendigung an. Es ist offensichtlich, dass nur bei einer Beobachtung des Todes Rückschlüsse auf die Form der Hazardfunktion geschlossen werden können. Daher gibt $\delta_i = I\{x_i \leq y_i\}$ an, ob der Tod oder das Ende der Studie beobachtet wurde. I bezeichnet hierbei die Indikatorfunktion.

Die Schätzung von $\beta\;$

Aufgrund der Struktur von $h(t;z_i)\;$ ergibt sich das Problem, dass in Intervallen ohne Todesfall keine Rückschlüsse auf $\beta\;$ gezogen werden können. Es ist schließlich möglich, dass die unbekannte baseline-Hazardfunktion $h_0(t)\;$ in diesem Intervall verschwindet und also a priori keine Todesfälle stattfinden können. Man greift daher auf einen Trick zurück und betrachtet bedingte Wahrscheinlichkeiten.

Wenn ausschließlich dann Informationen über $\beta\;$ erhalten werden können, wenn ein Todesfall stattgefunden hat, bietet sich zum Zeitpunkt des Todes von Individuum $i\;$ die Berechnung der folgenden Wahrscheinlichkeit an: Wie wahrscheinlich ist es, dass von allen noch lebenden Individuen nun ausgerechnet $i\;$ stirbt? Formal lässt sie sich als

$p_i(\beta) := \frac{\exp(z_i' \beta)}{\sum_{j \in R_i} \exp(z_j' \beta)}$

berechnen. $R_i\;$ bezeichnet dabei diejenigen Individuen, die zum Zeitpunkt des Todes von $i\;$ noch leben.

Um eine Art Maximum-Likelihood-Schätzer für $\beta\;$ zu finden, wird nun in Abhängigkeit von $\gamma\;$ die Likelihood-Funktion

$p(\gamma) := \prod_{i=1}^{n} p_i(\gamma)^{\delta_i}$

maximiert. Dabei wird durch das Potenzieren der einzelnen bedingten Wahrscheinlichkeiten mit $\delta_i\;$ der Tatsache Rechnung getragen, dass nur die Beobachtung eines Todesfalls und nicht die des Endes der Studie Informationen über $\beta\;$ liefert.

Literatur

• David Cox: Regression models and life tables. Journal of the Royal Statistical Society B, 34 (1972), S. 187 - 220.