Dirichlet-Bedingung

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Dieser Artikel erläutert eine Konvergenzbedingung für Fourierreihen; für die Randbedingung bei Differenzialgleichungen; siehe Dirichlet-Randbedingung.

Die Dirichlet-Bedingung auch Satz von Dirichlet genannt ist nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet benannt und gibt an, wann die Fourierreihe punktweise gegen die Ausgangsfunktion konvergiert.

Aussage[Bearbeiten]

Sei f eine im Intervall [-T/2,T/2] definierte Funktion, die folgende Eigenschaften erfüllt:

  1. Das Intervall [-T/2,T/2] lässt sich in endlich viele Teilintervalle zerlegen, in denen f stetig und monoton ist.
  2. Die (endlich vielen) Unstetigkeitsstellen sind alle von 1. Art, das heißt es existieren rechts- und linksseitiger Grenzwert, f(t_0+) und f({t_0}-).

Dann konvergiert die Fourierreihe in jedem t \in [-T/2,T/2] gegen


  \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (a_n \cdot \cos(n \omega t) + b_n \cdot \sin(n\omega t))
 = \begin{cases} f(t), & \mbox{wenn }f\mbox{ in t stetig} \\ 
         (f(t+)+f(t-))/2, & \mbox{wenn }f\mbox{ in t unstetig} 
   \end{cases}
.

Quellen[Bearbeiten]