disjunkt

Zwei disjunkte Mengen

In der Mengenlehre heißen zwei Mengen $A$ und $B$ disjunkt (lateinisch disiunctum ‚getrennt‘), elementfremd oder durchschnittsfremd, wenn sie kein gemeinsames Element besitzen. Mehrere Mengen heißen paarweise disjunkt, wenn beliebige zwei von ihnen disjunkt sind.

Definitionen

Zwei Mengen $A$ und $B$ sind disjunkt, wenn ihre Schnittmenge leer ist, wenn also gilt:

$A\cap B=\emptyset$

Eine Familie $(M_i)_{i\in I}$ von Mengen ist eine disjunkte Mengenfamilie, wenn ihre Elemente paarweise disjunkt sind, wenn also gilt:

$M_i \cap M_j = \emptyset$ für $\!\,i \ne j$ und $i,j\in I$

Die Vereinigung $M$ einer disjunkten Mengenfamilie nennt man disjunkte Vereinigung und schreibt sie als

$M=\dot{\bigcup_{i \in I}}M_i$

Sind außerdem alle Mengen der Familie nichtleer, liegt eine Partition von $M$ vor.

Die Begriffe werden auch analog für Mengensysteme (anstelle von Mengenfamilien) verwendet.

Beispiele

• Die Mengen $A = \{1, 2, 3\}$ und $B = \{7, 8, 11\}$ sind disjunkt, weil sie kein gemeinsames Element haben.

• Die Mengen $A = \{1, 2, 7\}$ und $B = \{6, 7, 8, 11\}$ sind nicht disjunkt, da sie das Element $7$ gemeinsam haben.

• Die drei Mengen $A = \{1, 2, 3\}$, $B = \{4, 5\}$ und $C = \{5, 6, 7\}$ sind nicht paarweise disjunkt, da zumindest eine der drei möglichen Schnittmengen (nämlich $B \cap C$) nicht leer ist.

• Die folgende Aufzählung definierte eine (unendliche) disjunkte Mengenfamilie, die eine Partition der ganzen Zahlen darstellt:

  $\{0\}, \{1, -1\}, \{2, -2\}, \{3, -3\}, \{4, -4\}, \ldots$.

• Zwei verschiedene Geraden $g$ und $h$ in der euklidischen Ebene sind genau dann disjunkt, wenn sie parallel sind. Die Gesamtheit aller Parallelen zu einer gegebenen Geraden $g$ bildet eine Partition der Ebene.

Anwendung

Bei der Fragebogenkonstruktion müssen Fragen so formuliert werden, dass die Antwortmöglichkeiten (Begriffsbeziehungen) disjunkt und erschöpfend sind.

Beispiel für nicht-disjunkte Antwortmöglichkeiten: Wie viel verdienen Sie?

a) 0 bis 1000 Euro

b) 500 und mehr Euro.

Personen mit einem Verdienst zwischen 500 und 1000 Euro wissen nicht, welche Antwortmöglichkeit sie wählen sollen.

Eigenschaften

• Die leere Menge $\emptyset$ ist disjunkt zu jeder beliebigen Menge.

• $\{a\}$ und $B$ sind genau dann disjunkt, wenn $a \notin B$.

• Die Mächtigkeit einer endlichen disjunkten Vereinigung endlicher Mengen ist gleich der Summe der Einzelmächtigkeiten. Für nicht-disjunkte Vereinigungen gilt die Siebformel.

Siehe auch

• Lineare Disjunktheit, ein Begriff der abstrakten Algebra im Zusammenhang mit Körpererweiterungen, der mit der hier betrachteten Disjunktheit nur gemeinsam hat, dass die Schnittmenge linear disjunkter Körper kleinstmöglich ist.

Weblinks

 Wiktionary: disjunkt – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen