disjunkt

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Dieser Artikel behandelt disjunkte Mengen; siehe auch Disjunktion (Begriffsklärung).
Zwei disjunkte Mengen

In der Mengenlehre heißen zwei Mengen A und B disjunkt (lateinisch disiunctum ‚getrennt‘), elementfremd oder durchschnittsfremd, wenn sie kein gemeinsames Element besitzen. Mehrere Mengen heißen paarweise disjunkt, wenn beliebige zwei von ihnen disjunkt sind.

Definitionen[Bearbeiten]

Zwei Mengen A und B sind disjunkt, wenn ihre Schnittmenge leer ist, wenn also gilt:

A\cap B=\emptyset

Eine Familie (M_i)_{i\in I} von Mengen ist eine disjunkte Mengenfamilie, wenn ihre Elemente paarweise disjunkt sind, wenn also gilt:

 M_i \cap M_j = \emptyset für \!\,i \ne j und i,j\in I

Die Vereinigung M einer disjunkten Mengenfamilie nennt man disjunkte Vereinigung und schreibt sie als

M=\dot{\bigcup_{i \in I}}M_i

Sind außerdem alle Mengen der Familie nichtleer, liegt eine Partition von M vor.

Die Begriffe werden auch analog für Mengensysteme (anstelle von Mengenfamilien) verwendet.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Die Mengen A = \{1, 2, 3\} und B = \{7, 8, 11\} sind disjunkt, weil sie kein gemeinsames Element haben.
  • Die Mengen A = \{1, 2, 7\} und B = \{6, 7, 8, 11\} sind nicht disjunkt, da sie das Element 7 gemeinsam haben.
  • Die drei Mengen A = \{1, 2, 3\}, B = \{4, 5\} und C = \{5, 6, 7\} sind nicht paarweise disjunkt, da zumindest eine der drei möglichen Schnittmengen (nämlich B \cap C) nicht leer ist.
  • Die folgende Aufzählung definierte eine (unendliche) disjunkte Mengenfamilie, die eine Partition der ganzen Zahlen darstellt:
    \{0\}, \{1, -1\}, \{2, -2\}, \{3, -3\}, \{4, -4\}, \ldots.
  • Zwei verschiedene Geraden g und h in der euklidischen Ebene sind genau dann disjunkt, wenn sie parallel sind. Die Gesamtheit aller Parallelen zu einer gegebenen Geraden g bildet eine Partition der Ebene.

Anwendung[Bearbeiten]

Bei der Fragebogenkonstruktion müssen Fragen so formuliert werden, dass die Antwortmöglichkeiten (Begriffsbeziehungen) disjunkt und erschöpfend sind.

Beispiel für nicht-disjunkte Antwortmöglichkeiten: Wie viel verdienen Sie?

a) 0 bis 1000 Euro
b) 500 und mehr Euro.

Personen mit einem Verdienst zwischen 500 und 1000 Euro wissen nicht, welche Antwortmöglichkeit sie wählen sollen.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Die leere Menge \emptyset ist disjunkt zu jeder beliebigen Menge.
  • \{a\} und B sind genau dann disjunkt, wenn a \notin B.
  • Die Mächtigkeit einer endlichen disjunkten Vereinigung endlicher Mengen ist gleich der Summe der Einzelmächtigkeiten. Für nicht-disjunkte Vereinigungen gilt die Siebformel.

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

 Wiktionary: disjunkt – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen