Diskussion:Klasse (Mengenlehre)

Löschwunsch

Der Artikel ist, wie schon von anderen vor Jahren festgestellt, Stuss. Das sieht man schon daran, dass in den "Definitionen" Klassen als (spezielle?) "Gesamtheiten" "definiert" werden. Wieso wird das nicht endlich gelöscht? --Lutz Mattner (Diskussion) 11:01, 31. Okt. 2015 (CET)

Schau mal unter Kategorientheorie, was eine Kategorie ist, nur so als Beispiel. Würde man Deinem Löschwunsch nachgehen, würde das alles in der Luft hängen. Leider sind nicht alle Zusammenfassungen Mengen, das würde auf die Russellsche Antinomie führen. Mal ganz kurz erklärt:
Die Zusammenfassung aller Mengen darf man leider nicht als Menge ansehen, schön wär's. Also muss ein anderer Begriff her: die Klasse. Manche Klassen sind Mengen, andere nicht (echte oder eigentliche Klassen, auch Unmengen genannt). Mengen können in anderen Mengen als Element auftreten, echte Klassen nicht. Die Klasse aller Mengen ist eine echte Klasse, und enthält sich daher nicht selbst als Element. Fein raus! Damit vermeidet man die Russellsche Antinomie.
Btw, 'Zusammenfassung ist freilich nur eine informelle Umschreibung. Definiert wird, was eine Klasse ausmacht, natürlich anders, aber so kann man es nicht verständlich erklären.
↪Der Löschwunsch ist abzulehnen.--Ernsts (Diskussion) 18:34, 29. Dez. 2017 (CET)

Überarbeitungswunsch

Es wird dem Laien aus dem Artikel nicht klar, ob jede Menge auch bei ZF eine Klasse ist. Ansonsten wäre es nett, wenn irgendwo übersichtlich stünde, was ein Nicht-Mengenlehrer über Klassen wissen muss und unabhängig vom jeweiligen Zugang (ZF oder von-Neumann-Bernays-Gödel) ist.-- Gunther 02:24, 13. Apr 2005 (CEST)

Auch wenn dieser Überarbeitungswunsch schon sehr alt ist, möchte ich mich ihm anschließen. Es wäre schön, wenn alle Axiome, die eine Klasse beschreiben, hier aufgelistet stünden. Ich habe den Artikel gerade gelesen, und habe eine eher vage, "wabernde" Vorstellung davon, was eine Klasse ist. Deshalb wäre eine Liste mit dem Axiomen schöner. --84.178.35.223 15:46, 22. Jan. 2007 (CET)

Alles was dort steht ist falsch! Eine Klasse ist eine Zusammenfassung von Objekten. Eine logische Eigenschaft, die alle Objekte verbindet, ist nicht erforderlich. Da jede Zusammenfassung von Objekten eine Menge ist, ist selbstverständlich jede Klasse auch eine Menge (die Objekte können dabei vollig unterschiedlicher Natur sein, ich kann z. B. { Eule, Auto, Liebe } zu einer Menge zusammenfassen). Umgekehrt gilt das nicht, da folgende Definition für Klassen gilt: Eine Klasseneinteilung ist die Zerlegung einer Menge in lauter disjunkte Teilmengen. Die einzelnen Teilmengen werden als Klassen bezeichnet! Entscheidend ist, daß die einzelnen Teilmengen disjunkt sind! Hornung-MS 22:57, 28. Jul. 2010 (CEST)

Dies ist die zweite Bedeutung von des Begriffs "Klasse", die der Artikel gerade nicht erfassen will, wie die Anmerkung gleich am Anfang vermerkt.--Wilfried Neumaier 23:30, 28. Jul. 2010 (CEST)

Zumindestens widerspricht diese Definition der Mengendefinition von Cantor, wie sie selbst in diesem Wikipedia angegeben ist (siehe Artikel Menge), denn danach ist natürlich jede Klasse, wie immer man sie definieren will, auch eine Menge. Wenn eine Klasse also nicht notwendig eine Menge sein soll, so fehlt mir hier die verwendete Definition von Menge!!! Hornung-MS 10:49, 29. Jul. 2010 (CEST)

Leider ist der Wiki-Artikel "Menge" noch nicht gut. Besser ist der Artikel Mengenlehre. Dort wird auf Cantors Konzept genauer eingegangen, speziell auch auf seine Nichtmengen-Beweise; siehe auch den Artikel Cantorsche Antinomie.--Wilfried Neumaier 11:00, 29. Jul. 2010 (CEST)

Tatsächlich ist der Mengenbegriff schwieriger festzulegen. Er wird jedenfalls in verschiedenen Mengenlehren verschieden festgelegt. Es herrscht hier noch kein Konsens, den man im Artikel durch eine eindeutige Definition festschreiben könnte. Dies wird aber im Artikel erwähnt. Was eine Menge ist, wird aber in jeder Mengenlehre genügend klar explizit oder implizit abgegrenzt, so dass man also den jeweiligen Mengenbegriff nehmen kann.--Wilfried Neumaier 11:22, 29. Jul. 2010 (CEST)

Klasse aller Klassen?

Mir leuchtet nicht ein, wieso es die Klasse aller Klassen nicht geben soll. Im Artikel wird als einzige Bedingung genannt, dass alle Objekte einer Klasse eine eindeutige Eigenschaften besitzen müssen. Die Tatsache, dass eine Klasse eine Klasse ist, müsste doch also als Eigenschaft ausreichen, oder? 80.81.18.213 20:51, 21. Okt 2005 (CEST)

Es gibt zwei Herangehensweisen: In ZFC sind Klassen keine Objekte (= Mengen), sondern nur (naive) Äquivalenzklassen von Formeln. Bei von-Neumann-Bernays-Gödel kenne ich mich noch weniger aus, das Problem liegt dabei darin, dass nur Mengen in Klassen enthalten sein können, eine echte Klasse ist also niemals in einer Klasse enthalten. Wie das axiomatisch sichergestellt wird, weiß ich nicht.--Gunther 20:57, 21. Okt 2005 (CEST)

...durch die Formulierung des Komprehensationsaxioms. Nur steht das hier leider noch nicht im Text. Eine verstehbare Formulierung ist nicht einfach. (@Wilfried Neumaier: Vielen Dank fürs Nacharbeiten bei meinem verkorksten Definitionsversuch von heute früh. Es war einfach zu früh! – Ab er die Lösung ist noch nicht gefunden.) -- Peter Steinberg 22:56, 20. Jan. 2008 (CET)

die klasse aller klassen hat dieselben probleme, wie die menge aller mengen (Russellsche Antinomie) -- Claviceps purpurea 15:09, 25. Jan 2006 (CET)

…aber nur, weil die Definition noch nicht in Ordnung ist. -- Peter Steinberg 16:34, 22. Jan. 2008 (CET)

Die Definition ist schon in Ordnung. Es kommt allein auf die Handhabung der Klassen an. Die geänderte Version betont das nochmals--Wilfried Neumaier 11:48, 23. Jan. 2008 (CET)

"$x$ ist eine Klasse" lässt sich nicht in der entsprechenden Sprache (Prädikatenlogik 1. Stufe mit Identität und Elementrelation) als ein Prädikat $A(x)$ ausdrücken, also kann man auch nicht $\{x\mid A(x)\}$ notieren. (Dagegen gibt es NBG als Spracherweiterung direkt ein Prädikat "... ist eine Menge" und dadurch die Klasse aller Mengen).--Hagman 17:43, 12. Jul. 2010 (CEST)

Warum soll es in ZF kein Prädikat "x ist eine Klasse" geben? Man nehme etwa $Cls(x):\iff \exists y:(y\in x)\lor x=0$, das heißt: $\,Cls(x)$ erfüllten alle elementhaltigen Terme. Das passt in jede Mengenlehre, auch in ZF-Mengenlehre mit Urelementen, wo $\,\{x|Cls(x)\}$ nicht die Allklasse ergibt. Nur wenn die Extensionalität gilt, erfüllen alle Terme die Klasseneigenschaft, etwa in der reinen ZF-Mengenlehre ohne Urelemente. Es bedeutet noch lange nicht, dass jeder Term eine Menge ist. Die Mengeneigenschaft könnte man allgemein mit $Menge(x):\iff Cls(x)\land \exists y:(x\in y)$ definieren, also als Konjunktion der NBG-Menge mit der Klasseneigenschaft. Auch sie ist tauglich für Mengenlehren mit eventuellen Urelementen. Man hat also überall in der Prädikatenlogik mit Gleichheit und Elementprädikat ohne Spracherweiterung die Möglichkeit, über Klassen und Mengen zu reden. Man kann dann in ZF etwa zeigen, dass die Klasse aller Klassen und die Klasse aller Mengen identisch sind und dass sie keine Menge bilden.--Wilfried Neumaier 12:13, 29. Jul. 2010--Wilfried Neumaier 16:14, 29. Jul. 2010 (CEST) (CEST)

So ganz verstehe ich das nicht. In ZF sind doch alle Objekte Mengen (oder Urelemente). Variablen laufen nur über Mengen und evtl. Urelemente, aber nicht über (echte) Klassen. -- Digamma 16:43, 29. Jul. 2010 (CEST)

Es wird erst klar, wenn man die Axiome beiseite lässt und in der formalen Sprache denkt. ZF und NBG haben dieselbe formale Sprache als Grundlage: eine Prädikatenlogik mit Gleichheit und Elementprädikat, aufstockbar durch Klassenterme(eventuell nur virtuell). Daher kann man in beiden Sprachen dasselbe ausdrücken, rein formal, unabhängig von der Wahrheit. Das müsste eindeutig klar sein. In NBG ist (laut Artikel) das Mengenprädikat in dieser Sprache definiert, nämlich $Menge(x):\iff \exists y:(x\in y)$. Dieses Mengenprädikat gibt es daher auch in der ZF-Sprache. Oben habe ich es nur erweitert definiert für eventuelle Urelemente, weil dies ein allgemeinerer Standpunkt ist. Die Axiome ändern nur etwas an der Beweiskraft, aber nicht an der Formulierungsfähigkeit. Daher kann ich in ZF über Klassen dasselbe aussagen wie in NBG; ich bekomme aber durch die unterschiedlichen Axiome etwas andere "beweisbare" Aussagen. Sie stimmen bekanntlich bei Mengen überein, aber nicht bei echten Klassen. Aber in beiden Systemen kann ich zeigen, dass alle Klassen-Elemente auch Mengen sind. Daher ist (nicht nur in ZF, sondern auch in NBG) die Klasse aller Klassen, um die es in diesem Diskussionspunkt an sich geht, problemlos bildbar und identisch mit der Klassen aller Mengen. Die rein formal gebildete Klasse braucht aber nicht existent zu sein. Das ist der Unterschied zwischen NBG und ZF, dass in NBG diese Klassen existente Objekte sind, über die quantifiziert werden kann. Aber diese Quantifizierung braucht man an sich in der Praxis nicht, da man bei Aussagen über echte Klassen mit freien Variablen auskommt. Ich hoffe es ist jetzt klar geworden.--Wilfried Neumaier 18:15, 29. Jul. 2010 (CEST)

In der Prädikatenlogik erster Stufe, die ich kenne, gibt es keine Variablen über die nicht quantifiziert werden kann. In ZF gibt es nur Variablen für Mengen, aber nicht für Klassen. -- Digamma 21:07, 29. Jul. 2010 (CEST)

In ZF (ohne Urelemente) ist mit obiger Definition $\forall x\colon Menge(x)$ ein sofort aus dem Paarmengenaxiom folgender Satz. Insofern sind alle Aussagen der Form "Wenn $x$ keine Menge ist, dannn ..." trivialerweise wahr.--Hagman 09:46, 30. Jul. 2010 (CEST)

Ja, so ist es. Der Satz gilt aber bei denselben Definitionen nicht in ZFU und nicht in NBG, weil dort die Axiome anders sind.--Wilfried Neumaier 10:04, 30. Jul. 2010 (CEST)

Obige Mengen-Definition ist aber nicht ganz allgemein. Sie passt zum Beispiel nicht zur Ackermann-Mengenlehre. Sie hat ein undefiniertes Mengen-Prädikat, das durch die Axiome implizit definiert wird. Es ist aber bekannt, ich kann es nur gerade nicht zitieren, dass die Ackermann-Mengenlehre im Mengenbereich zu ZF gleichwertig ist. Es gibt also dort auch eine Definitionsmöglichkeit, vermutlich durch transfinite Rekursion per Neumann-Hierarchie. Aber solche komplizierten Spezialfragen kann man hier ausklammern.--Wilfried Neumaier 12:09, 30. Jul. 2010 (CEST)

Alle Variablen können quantifiziert werden. OK. In beiden Fällen ist die Sprache gleich und man kann in ihr dieselben Terme beschreiben. Sicher auch OK. In NBG existieren aber echte Klassen, d.h. eine Variable hinter einem Existenzquantor kann eine echte Klasse meinen (über echte Klassen kann man quantifizieren). Das geht in ZF nicht oder besser gesagt: eben dieselben Existenzformeln sind dort falsch. Da sind wir uns doch sicher einig. Aber es gibt einen Unterschied zwischen freien und gebundenen Variablen. Das ist auch klar. Und hier sitzt der entscheidende Punkt. Dein Satz "In ZF gibt es nur Variablen für Mengen, aber nicht für Klassen" stimmt nicht. Man kann nämlich in ZF auch über nicht-existente Klassen reden mit freien Variablen. Muss ich dazu ein Beispiel geben?--Wilfried Neumaier 23:30, 29. Jul. 2010 (CEST)

Ja, bitte. Formuliere nach Belieben $Allclass(x):\iff$ "$x$ ist die Klasse aller Mengen" oder Ähnliches in der Sprache von ZF. Die Klasse aller Mengen gibt es. Ich gehe jedoch stark davon aus, dass in ZF $\neg \exists x\colon Allclass(x)$ ein Satz ist.--Hagman 09:41, 30. Jul. 2010 (CEST)

$Allclass(x):\iff \forall y:(y\in x\iff y=y)$ oder kürzer und gleichwertig $Allclass(x):\iff \forall y:y\in x$. Diese Definition gilt für alle beliebigen Mengenlehren, die wie ZF oder ZFU oder NBG auf der gleichen Sprache aufbauen. In ZF und ZFU gilt besagter Satz, nicht in NBG.--Wilfried Neumaier 10:04, 30. Jul. 2010 (CEST)

Man sieht sofort, dass man nach diesem Schema jede beliebige Klasse als Objekt bekommt. Ob es existiert oder nicht, ist eine andere Frage. Jedenfalls kann man jede Klasse in ZF diskutieren und sinnvolle Sätze über sie beweisen. So hat etwa schon Zermelo 1907 bewiesen, dass die Russellsche Klasse keine Menge ist. Sein Beweis ist auch im modernen ZF präzise nachvollziehbar. Beweise über beliebige Klassen sind kein Vorrecht von NBG, auch wenn der NBG-Artikel gerade bei der Russellschen Klasse so tut.--Wilfried Neumaier 11:34, 30. Jul. 2010 (CEST)--Wilfried Neumaier 11:41, 30. Jul. 2010 (CEST)

Die ganze Sache behandelt die Allgemeine Mengenlehre von Oberschelp auf S.20-25. Die Lektüre ist vielleicht hilfreich und erspart hier weitere Diskussionen. Wenn man es nicht in einer Bibliothek greifbar hat, dann kann man es billig online kriegen (amazon.de zur Zeit 8.70€)--Wilfried Neumaier 08:45, 30. Jul. 2010 (CEST). Das ist das einzige mir bekannte Buch, das einen wirklich hervorragenden Überblick über die vielgestaltigen Mengen- und Klassenlogiken gibt. Gerade die angegebenen Seiten sind gut lesbar und setzen keine Spezialkenntnisse voraus. Ich kann es nur empfehlen, auch wenn mir klar ist, dass Oberschelp nachher im formalen Teil eine viel zu komplizierte eigene Klassenlogik aufbaut. Es ginge alles viel einfacher. Aber wir sollen hier ja auf dem Boden der gängigen Theorien bleiben. Da gibt es meines Wissens vorläufig nichts Besseres.--Wilfried Neumaier 10:11, 30. Jul. 2010 (CEST)

merkwürdiger satz

Bestimmte in der Algebra vorkommende Begriffe, wie Äquivalenzklasse oder Nebenklassen, bezeichnen tatsächlich Mengen, und keine echten Klassen.

habe obigen satz mal hier auf die diskussionsseite verlegt, weil er meines erachtens nicht viel sinn macht. (äquivalenz-)relationen können genauso auch auf klassen definiert werden, und dann sind äquivalenzklassen nicht zwangsläufig mengen. -- Claviceps purpurea 20:17, 25. Jan 2006 (CET)

Falls der Satz von mir stammt, dann wollte ich damit vermutlich hauptsächlich ausdrücken, dass diese Begriffe nicht vom Klassenbegriff der Mengenlehre abgeleitet sind. Typischerweise werden Relationen oder Gruppenstrukturen auf Mengen definiert, und wenn man nicht z.B. mit Universen arbeitet, ist es auch nicht so einfach, "schnell mal" eine Stufe nach oben zu wechseln, d.h. man muss schon etwas Energie investieren, um die Definition einer Gruppe auf den Fall einer zugrundeliegenden echten Klasse zu übertragen.--Gunther 20:23, 25. Jan 2006 (CET)

Wenn man von Äquivalenzklassen u.dgl. spricht, ist das eine völlig andere Verwendung des Begriffs. Das können wir nicht im Nebensatz behandeln. Ich überleg mir mal einen Hauptsatz. -- Peter Steinberg 23:01, 20. Jan. 2008 (CET)

Im Artikel steht ja ganz korrekt, das der Begriff „Klasse“ den Begriff „Menge“ verallgemeinert und dass alle Mengen Klassen sind. Wo ist dann das Problem? Äquivalenzklassen sind dann selbstverständlich spezielle Klassen, ob sie nun wie in ZF stets Mengen sind oder anderswo auch echte. Meines Erachtens ist hier eben ein Stück der ursprünglichen Synonymität von Klasse und Mengen in der Mengensprache erhalten geblieben.--Wilfried Neumaier 11:01, 21. Jan. 2008 (CET)

Die Intention ist eine andere: Wenn man von „Klassen“ im Sinne von „Klasseneinteilung“ spricht, meint man damit, dass eine Menge so in Teilmengen aufgeteilt wird, dass sich nichts überschneidet und nichts übrig bleibt. Äquvalenzklassen sind da nur ein Beispiel. Das gleiche kann man auch mit echten Klassen machen, da hat Claviceps purpurea schon recht, aber die Problematik von NBG ist doch dabei in aller Regel überhaupt nicht im Blickfeld.

Die Äquivalenzklassen bekommen in der geänderten Version einen extra Abschnitt. Ist es so besser?--Wilfried Neumaier 11:48, 23. Jan. 2008 (CET)

NBG-Klasse und allgemeine Klassen

Ehrlich gesagt wird mir der ganze Aufbau des Artikel immer fragwürdiger, vor allem wegen der unglücklichen Überschneidnungen mit NBG. Wenn er – als Ergänzung dazu – eine Berechtigung haben soll, müsste er die Dinge elementarer erklären, als es dort der Fall ist. Das tut er bisher nicht. -- Peter Steinberg 17:07, 22. Jan. 2008 (CET)

Der Artikel ist keine Ergänzung zu NBG, sondern eigenständig, das heißt allgemeiner. NBG ist nur ein Beispiel von vielen für eine Logik mit echten Klassen. Deswegen ist auch die Erklärung allgemeiner gedacht. Sie war es schon bevor ich Verbesserungen anbrachte. Daher stimmt leider deine jetztige Korrektur der Klasse nicht mehr, weil sie einseitig NBG im Blick hat. Elemente von Klassen sind nur dort Mengen. In ZFU (ZF mit Urelementen), der Ackermann-Mengenlehre und der Quine-Mengenlehre gibt es andere Objekte, in den letzten beiden sogar echte Klassen als Elemente. Das hat die alte Definition enthalten. Ich werde sie deshalb wiederherstellen. --Wilfried Neumaier 22:16, 22. Jan. 2008 (CET)

Historisch bin ich nicht sehr bewandert. Ich kenne nicht „viele“ Logiken mit echten Klassen. Ich kann mir vorstellen, dass sich das Konzept „Mengen vs. echte Klassen“ erst allmählich herausgebildet hat. Eine allgemeinere Erklärung dafür wäre also sehr zu begrüßen. Nur ist das, was jetzt nach deinem Revert da steht, gar keine Erklärung, sondern macht das ganze Konzept hinfällig, denn „: die klasse aller klassen hat dieselben probleme, wie die menge aller mengen (Russellsche Antinomie) -- Claviceps purpurea“.

Deine Bezugnahme auf Quine konnte ich leider noch nicht nachvollziehen: Das zitierte Werk gibt es an der Uni Frankfurt nur bei den Philosophen, nicht bei den Mathematikern. Vorläufig scheint mir aber die Darstellung nicht recht Wikipedia-geeignet: Was eine „virtuelle metalogische Schreibweise“ ist, bleibt genauso dunkel wie der Begriff „virtuelle Klasse“, uvam.

Lass uns doch gemeinsam den Versuch machen, hier etwas zu formulieren, womit der mathematisch interessierte Laie etwas anfangen kann.

-- Peter Steinberg 01:47, 23. Jan. 2008 (CET)

Genau das will ich auch. Wir in Tübingen sind offenbar bibliotheksmäßig besser ausgerüstet, ich konnte in viele Bücher direkt einsehen und habe daher einigermaßen einen historisch-systematischen Überblick. Es ist auch ganz zutreffend, dass sich der präzisere Klassenbegriff erst allmählich herausgebildet hat. NBG hat eine sehr eingeschränkte Sicht und benützt nicht den Klassenbegriff, wie er in der Mathematikpraxis gehandhabt wird. Deswegen würde ich auch NBG ganz oben im Artikel aus dem Spiel lassen. Den besten Überblick, den ich bisher kenne, bietet Arnold Oberschelp. Habt ihr Bücher von ihm an der Uni Frankfurt? Falls nicht, kann man seine „Allgemeine Mengenlehre“ (BI-Verlag 1994) fast geschenkt (<10€) übers Internet beziehen. Er hat die erste echte allgemeine Klassenlogik entwickelt, in der jede Klasse {x|A(x)} ein korrekter, widerspruchsfrei benützbarer Term (!) ist. Bei NBG und anderen früheren Logiken mit echten Klassen oder Mengen ist das nicht der Fall. Präzise: Sie haben keine Axiome für die Klassenformel {x|A(x)}; diese Formel ist kein Term der Sprache von NBG oder ZF und ist auch dort nicht definierbar! NBG partizipiert also genau genommen überhaupt nicht am in der Definition angegebenen Klassenbegriff. Daher die Charakterisierung „metalogisch“. Denn in der Praxis, auf den die Definition abhebt, auch in der NBG-Praxis und ZF-Praxis, wird {x|A(x)} ständig intuitiv benützt als nützliche metalogische Schreibweise, auch in den Wikipedia-Artikeln. Dort wird keine Klasse {x|A(x)} ordentlich definiert, sondern als metalogische Darstellung eingeführt (das ist hoffentlich klar). Es gibt aber auch Mengenlehren, die die Klassenformel {x|A(x)} in Axiome einbauen, aber nur kontextabhängig nach dem Vorbild von Quine, der dann von „virtuellen Klassen“ redet. Ich hoffe, damit werden jetzt einige Punkte klarer. Der Artikel nennt diese Dinge alle schon, vielleicht muss man manches deutlicher herausstellen.

Zur Klasse aller Klassen. „Hinfällig“ ist der Artikel keineswegs wegen der Klasse aller Klassen, sondern er ist völlig korrekt. Die Klasse aller Klassen, die Allklasse, ist definiert als $\,\{x|x=x\}$ und hat definitiv nicht dieselben Probleme wie die Russelsche Klasse $\,\{x|x\notin x\}$. Beide Klassen sind zwar echte Klassen (klar), aber die Russelsche Klasse ist stets ein Nichtelement (klar), was für die Allklasse nicht unbedingt gilt (weniger geläufig). Zwar fallen in NBG beide Klassen zusammen wegen der dort geltenden Sonderbedingungen, aber in anderen Klassenlogiken kann die Allklasse ein Element einer echten Klasse sein, nachzulesen bei Oberschelp. Beide Klassen machen in NBG keine Probleme und sind erst recht in der Oberschelp-Klassenlogik völlig ungefährliche korrekte Terme. Beide Klassen sind nachweislich keine Mengen und daher von der naiven Menge aller Mengen zu unterscheiden. Nochmals etwas anderes ist die Klasse aller Mengen, die aber auch unproblematisch ist. Ich gebe zu, die Materie ist abstrakt und nicht sehr geläufig. Die Spezialartikel weisen auch schon darauf hin, deshalb müsste man hier nicht alles ausbreiten.--Wilfried Neumaier 10:02, 23. Jan. 2008 (CET)

Ich habe eine neue Version formuliert, in der ich alles zu berücksichtigen versuche. Ich hoffe, dass Du mit ihr mehr einverstanden bist.--Wilfried Neumaier 11:48, 23. Jan. 2008 (CET)

Mehr einverstanden bin ich schon. Aber zufrieden…? – Du hast einen großen Informationsvorsprung, und ich zwinge dich durch meine Einwände, immer mehr davon in den Artikelraum zu bringen. Dadurch wird der Artikel für Kenner immer informativer (sehr gut!) – aber wird er auch zugänglicher?? –Recht hast du, wenn du meinst, dass man im Artikelraum nicht alles ausbreiten kann.

Ok., soll es erstmal so bleiben. Ich besorge mir dann mal den Quine und vielleicht auch den Oberschelp (aber wie relevant ist der in Grundlagenfragen? – Das geht ja möglicherweise aus seinem Buch hervor; aus seiner vita jedenfalls nicht.) - Kann sein, das ich nächstens schlauer bin und mehr Verbesserungsvorschläge machen kann.

Inzwischen stören mich noch zwei Sachen:

• Äquivalenzklassen sind nur ein Beispiel für einen „spezielleren“ (ich würde mal sagen: ganz anderen! – Klassen sind hier ja nichts allgemeineres, sonders etwas spezielleres als Mengen!) Klassenbegriff. Wer nur diesen Begriff und keine Grundlagenproblematik sucht, muss schneller auf auf den richtigen Pfad geschickt werden!
• ZF und NBG kann man in diesem Artikel nicht einfach gleichberechtigt nebeneinander setzen. Dieses verwendet den Begriff ausdrücklich, jedes versucht ohne ihn auszukommen.

Die diskutierte Sache hängt wohl an der Pragmatik, die meiner Erfahrung nach in der Mathematik herrscht. Kaum ein Mathematiker kümmert sich um die axiomatische Grundlage; er setzt eben irgendeine korrekte Mengenlehre voraus und weiß, dass er bei Bedarf auch echte Klassen bilden kann, aufgrund der Erfahrung, dass ZF sich in verschiedene Klassenlogiken einbetten lässt. NBG vereinigt die älteren Versuche, Oberschelp ist der neuere, allgemeinere und flexiblere Ansatz. Oberschelp ist praxisorientiert, aber mathematisch nicht elegant und müsste vereinfacht werden. Ich kenne eben keinen besseren, auf den man sich momentan berufen könnte. Jedenfalls benützt er nur ZF und kein anderes Axiomensystem, daher gibt es auch ZF mit Klassen. Er hat gezeigt, dass es nur am äußeren syntaktischen Rahmen liegt; seine Klassenlogik ist eine verallgemeinerte Prädikatenlogik, also lediglich ein anderer Rahmen. Er setzt damit die Intention der Mathematikpraxis um. Insgesamt scheint mir das Thema „Klassenlogik“ noch im Fluss zu sein. Das letzte Wort ist mit Oberschelp sicher nicht gesprochen. Ergänzend muss auch gesagt werden, dass Zermelo selbst die Peano-Klassenlogik benützte und voraussetzte, also den damaligen klassenlogischen Rahmen, so dass das originale ZF-System einen klassenlogischen Rahmen hat, der nur in den heute gängigen Axiomensystemen nicht berücksigt wird. Etwas salopp: NBG hat die Klassenlogik nicht gepachtet.

Zur Zugänglichkeit: Ich bin auch dafür, dass der Artikel leicht zugänglich wird. Man könnte die virtuellen Klassen, denen man in verschiedenen Mengenlehren tatsächlich begegnet, auslagern, das sie eine Form der metalogischen Schreibweise sind. Man müsste dazu einen Artikel über die Quine-Mengenlehre (+New Foundations) schreiben und dorthin verweisen. Ich bin hier aber nicht genügend bewandert und könnte nur einen oberflächlichen Artikel verfassen. Jedenfalls bewerte ich seine virtuellen Klassen eher als Auslaufmodell, als eine Vorstufe von Oberschelp, der von Quine inspiriert war (seine Frau übersetzte Quine). Für eine Zugänglichkeit für interessierte Anwender scheint mir wichtig zu sein, dass man Klassen beliebig definieren darf unabhängig vom Axiomensystem, dass man aber bei der Einstufung als Mengen vorsichtig sein muss und geeignete Mengenaxiome berücksichtigen muss. Das enthält der Artikel bereits. Es fragt sich aber, ob Komprehensionsaxiome hierher gehören, wie Du weiter oben sagst. Sie würden den Artikel dann wirklich kompliziert machen. Denn sie sind ein Gegenstand mit allerlei Problemen (variantenreich, syntaktisch schwierig), so dass es mich auch nicht wundert, dass noch niemand einen Spezialartikel geschrieben hat. --Wilfried Neumaier 11:02, 25. Jan. 2008 (CET)

Ich habe versucht, mehr Praxisbezug zu erreichen und habe zum Beispiel Quines virtuelle Klassen hintangestellt. Ich denke es wird so verständlicher. Es fehlt aber noch eine Formulierung der Abstraktion für NBG, die anders aussehen muss, da hier auch über echte Klassen quantifiziert wird.--Wilfried Neumaier 22:54, 25. Jan. 2008 (CET)

Notation A(x) statt A_x

Hallo, ich möchte in den Formeln gerne die Notation $A_{x}$ durch A(x) ersetzen, da dies m. E. die übliche Schreibweise für eine Aussage mit einer freien Variablen x ist. Gibt es Gegenargumente? Wasseralm 21:19, 25. Jan. 2008 (CET)

Ich kenne beide Versionen. Ich hatte früher auch die Klammern. Habe nichts dagegen, ist nur aufwendiger.--Wilfried Neumaier 21:22, 25. Jan. 2008 (CET)

Danke! Wasseralm 21:29, 25. Jan. 2008 (CET)

Explizitheit

Ich rechne mich zur Zielgruppe der Wikipedia: interessierter Laie mit Vorbildung, der auch mal über den Zaun gucken möchte, aber nicht gleich ein Aufbaustudium beginnen. - Unter diesem Blickwinkel erscheint mir der Beitrag noch verbesserungsbedürftig: insbes. wüßte ich immer noch nicht zu sagen, wann ich weiß, daß ich es mit einer Menge zu tun habe, und was ich darf/nicht darf, wenn dem nicht so ist. Eine Diskussion der mengentheoretischen Axiome in Hinblick auf ihre "Klasseneignung" wäre da wohl nützlich. - Die "Klasse aller Klassen" ist für Mathematiker vielleicht ein Lacher, aber der schlichte&naive Endverbraucher fragt sich natürlich, ob hier nicht eine unendliche Hierarchie zur Tür hereinquillt: wenn die Akkumulation aller Klassen keine Klasse ist, was dann? Ein X? Und die X aller Xe? Und wenn sie eine Klasse ist, ist dann nicht jede Klasse als Element dieser Klasse eine Menge? Diese Fragen mögen dem Fachmann vielleicht blöd erscheinen, aber das blöde Ich sucht eben gerade in der Wikipedia auch nach Antworten auf blöde Fragen (das ist ja einer der großen Vorteile gegenüber den Enzyklopädien). - Ich hatte gerade bei wissenschaftlichen Beiträgen in der Wikipedia oft den Eindruck, daß es nicht schlecht wäre, die Artikel deutlich sichtbar zweistufig aufzubauen: zuerst, was der kleine Moritz wissen und kapieren können sollte, und dann die Vertiefung für diejenigen, die es genau wissen wollen. B.-J. Fischer

Klasse in der modernen Ontologie

Vor einiger Zeit wurde folgender Text ganz oben in der Begriffserklärung eingefügt: In der modernen Ontologie werden Klassen auch als Mengen nicht-mathematischer Objekte bzw. deren Repräsentationen verwendet. Diese Klassenauffassung gehört damit nicht in die Mengenlehre und in diesen Artikel, weil er ja gerade 'Klasse (Mengenlehre)' heißt. Wahrscheinlich wurde der Einschub provoziert durch das in der Erklärung zuvor stehende einschränkende Adjektiv, das nur "mathetmatische" Objekte zulässt. Auch dieses Wort kann gestrichen werden, da in der Mengenlehre auch Urelemente möglich sind, mit denen Zermelo gerade Cantors "Objekte unsrer Anschauung" erfassen wollte. Ich entferne daher beide unpassenden Zusätze.--Wilfried Neumaier 09:05, 27. Sep. 2008 (CEST)

Abstraktionsprinzip ?

Man wird auf diese Seite von Abstraktionsprinzip (Mengenlehre) geleitet und findet hier nichts auf den ersten Blick. --Hans-Jürgen Streicher 20:57, 6. Mär. 2010 (CET)

Im Abschnitt Definitionen ist das Abstraktionsprinzip mit Formel angegeben.--Wilfried Neumaier 18:59, 10. Mär. 2010 (CET) Der einzige Link auf die genannte Seite kommt von der Seite "Russellsche Antinomie". Deshalb verlinke ich direkt hierher in den richtigen Abschnitt, der auf die Fregesche Vorform Bezug nimmt. Dann könnte man die genannte Seite löschen.--Wilfried Neumaier 19:09, 10. Mär. 2010 (CET)--Wilfried Neumaier 18:23, 16. Mär. 2010 (CET)

Definition?

Unter der Überschrift Definition hätte ich jetzt die Defition des Begriffs Klasse erwartet. Stattdessen finde ich dort nur eine Schreibweise {x|A(x)}. Der Klassen-Begriff ist mir noch genauso unklar wie vorher! Oder war vielleicht folgendes gemeint: "Ist $A(x)$ eine beliebige logisch korrekt gebildete Aussage mit der Variablen $x$, so wird die Gesamtheit aller Objekte $x$, die diese Aussage erfüllen als Klasse bezeichnet. In Kurzschreibweise auch $\{x|A(x)\}$."? -- 141.89.75.15 18:24, 10. Jul. 2010 (CEST) 18:23, 10. Jul 2010 (CET)

Ja, das ist gemeint. Das Objekt {x|A(x)} ist natürlich die Klasse, insofern war es auch vorher richtig, aber Dein Vorschlag ist intuitiv besser verständlich. Jetzt steht es so ähnlich im Artikel.--Wilfried Neumaier 08:30, 11. Jul. 2010 (CEST)

Das "Objekt", genauer die Zeichenkette, ist wohl eher eine Repräsentation für den Begriff Klasse und ist nicht die Klasse, oder? Insofern war der Satz zuvor auch nicht richtig, denn dort stand ein Mischmasch aus Schreibweisendefinition und Begriffskärung. Ich will hier nicht Korinthen kacken; ich war nur verwundert! Als Laie habe ich wohl erwartet, dass die Begrifflichkeiten in der Mathematik und Logik etwas sauberer benutzt werden -- aber vielleicht überlässt man das besser den Philosphen ;) -- 141.89.75.20 16:08, 12. Jul. 2010 (CEST)

Natürlich ist es eine Repräsentation: {x|A(x)} ist eine Klasse (nicht die Klasse). Über dieses sprachliche Objekt wird diese konkrete Klasse erst verfügbar in der mathematischen Sprache, so wie in der verbalen Sprache über den gleichbedeutenden Ausdruck "die Klasse aller x, die die Aussage A(x)erfüllen". Wenn ich "Klasse" durch "Gesamtheit" ersetzen, benütze ich nur ein verständlicheres Synonym. Ob man das erste als Formalisierung (Schreibweise) des zweiten betrachtet, oder das zweite als Verbalisierung des ersten, ist egal. Beides stimmt. Aber auch ich ziehe den verbalen Zugang vor. Es gibt jedenfalls keine elementareres Objekt, durch das ich eine konkrete Klasse definieren könnte. In der Klassenlogik ist eben der Klassenbegriff elementar, und man braucht einen Sprachbaustein als Ausgangspunkt. Dass man auf Sprachobjekte (Zeichenketten) zurückgreifen muss, ist eine Eigenart der Logik; in ihr gibt es nur logische Objekte, also Sprachobjekte. Da kommen auch wir Philosophen nicht drum herum, selbst wenn wir die verbale Sprache vorziehen.--Wilfried Neumaier 19:03, 12. Jul. 2010 (CEST)

Wenn ich schon weiß, was eine Klasse ist, dann habe ich mit der Bennenung (oder dem Hinschreiben) als Bezeichnung für einen konkreten Repräsentaten z.B in der Form "{x|A(x)}" gar kein Problem. In diesem Falle sind wohl auch die formale und verbale Benennung gleichwertig und Gesamtheit kann als Synonym für Klasse gesehen werden. Aber ;) das setzt ein Verständnis des Klassen-Begriffs schon voraus. Schreibe ich jemandem die Zeichenkette "{x|A(x)}" hin und sage ihm, das sei eine Klasse, dann wird derjenige mit den Schultern zucken und in Zukunft vieleicht diese Zeichenkette mit dem Wort "Klasse" verbinden -- die Bedeutung fehlt. Das gleiche Problem hat die verbale Beschreibung. Im Falle einer Definition/Erklärung scheint es mir so, als wolle man einen Begriff, den man mit dem Wort "Klasse" benennt, mit Hilfe desselben Wortes definieren, das aber noch garnichts bezeichnet. Insofern ist der Begriff Gesamtheit auch nicht synonym zu Klasse, wenn man eine Definition oder Begriffsklärung versucht, denn der Begriff Klasse ist noch unbekannt (im Gegensatz zu Gesammtheit). Ich tue mich mit solchen Verwirrungen immer etwas schwer, aber vielleicht habe ich auch einfach noch nicht begriffen, was es mit Logik/Klassenlogik auf sich hat. -- 141.89.75.12 10:49, 16. Jul. 2010 (CEST)

Ich versuche es klar zu machen. In der Logik muss man bei irgendwelchen undefinierten Grundbegriffen anfangen mit der Definition. Man legt sich hier auf eine formale Sprache fest mit undefinierten Texten und dann legt man mit Definitionen los. Anders geht es nun mal nicht. In der Klassenlogik ist {x|A(x)} ein solcher undefinierter Textbaustein. Mit ihm kann man jede spezielle Klasse definieren. Der Begriff "Gesamtheit" ist hier am Anfang genauso unbekannt wie der Begriff "Klasse". Die Worte werden nur benützt, um eine Assoziation zu intuitiv bekannten Begriffen herzustellen. "Gesamtheit" ist hier sicher der bessere Zugang und knüpft an ein intutives Vorverständnis an. Das ist hilfreich für alle, die kein Vorverständnis für "Klasse" haben. Beide Verbalisierungen können dann über korrekte Definitionen eingeführt werden und verknüpfen dann das Vorverständnis mit der Formel:

die Gesamtheit aller x mit der Eigenschaft A(x) := {x|A(x)}

die Klasse aller x mit der Eigenschaft A(x) := {x|A(x)}

Man könnte aber genauso "die Gesamtheit aller x mit der Eigenschaft A(x)" als intuitiv bekannten Text an den Anfang einer formalen Sprache setzen und dann durch ihn die Schreibweise {x|A(x)} definieren, wie es jetzt der Artikel macht.--Wilfried Neumaier 12:42, 30. Jul. 2010 (CEST)

Virtuelle Klassen

„Abschnittsverschiebung“ von Benutzer Diskussion Wilfried Neumaier, weil hierhergehörig und für weitere Leser aufschlussreich -- Room 608 (Diskussion) 18:00, 7. Feb. 2013 (CET)

Hallo Wilfried! Du hast ja maßgeblich den Artikel Klasse (Mengenlehre) geschrieben. Ich frage mich, wie da der Abschnitt „virtuelle Klassen“ zu verstehen ist. Zunächst einmal: Das ist doch ein Begriff Arnold Oberschelps, der nicht sehr verbreitet ist? Was hat er genau zu bedeuten? Heißt er etwas anderes als „echte Klasse“? Zudem kann ich den Satz „Gleiches gilt auch für die Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre NBG, in der echte Klassen existieren, aber ohne offizielle Klassenschreibsweise.“ nicht nachvollziehen. NBG verfügt über ein Komprehensionalitätsaxiomenschema. Ob man in der Formulierung von NBG auf die Schreibweise $\left\{x\mid \varphi (x)\right\}$ verzichtet oder nicht, ist doch völlig egal. Wenn man es in seiner formalen Sprache nicht drin hat, lässt es sich einfach durch Definition ergänzen. Jeder Satz in NBG ohne solche Terme lässt sich problemlos in einen Satz mit solchen Termen übersetzen (genauso, wie man in minimalistischen Darstellungen von Mengenlehre eben auf ein Symbol $\emptyset$ verzichtet, die Sprache dann aber durch Definition um ein solches ergänzt). Was hat es mit dieser Behauptung also auf sich? Beste Grüße --Chricho ¹ ² ³ 01:55, 4. Feb. 2013 (CET)

Virtuelle Klasse ist ein Terminus von Quine. Er hatte starken einen Einfluss auf viele Mengentheoretiker. Seine pragmatische Art, die Klassennotation in die Mengenlehre einzuführen, hat sich allgemein verbreitet. Virtuelle Klassen werden nicht definiert durch eine offizielle Nominaldefinition, sondern als Schreibweise, die auf den Kontext einer Formel verweist. Das zeigen gerade die Artikel ZF und NBG. Keine einzige Klassenformel wird dort durch einen explizite Gleichung eingeführt. Die Klassenschreibweise gehört daher nicht zur formalen Sprache. Quine hat daher versucht, durch zusätzliche Axiome für verschiedene Kontexte die Klassenschreibweise zu regeln. Oberschelp hat ausgehend von Quine und anderen eine Klassenlogik entwickelt, in der der Klassenbaustein von vornherein zur formalen Sprache gehört. Das ist der entscheidende Unterschied. Man muss bei diesen Grundlagen Fragen schon die strengen Methoden der formalen Sprache beachten. Für die Praxis macht das nachher keinen Unterschied. Es nur für die exakte theoretische Basis wichtig. Hilft das weiter?--Wilfried Neumaier (Diskussion) 07:21, 4. Feb. 2013 (CET)

Was du minimalistische Darstellung nennst, das ist genau die formale Sprache, die ZF zugrunde liegt: Eine Prädikatenlogik mit Gleichheit und Elementprädikat. In ihr kann man schon kein Symbol für leere Menge definieren. Man muss die formale Sprache erweitern! Der einfachste Weg ist es, hier der Sprache das Symbol $\emptyset$ hinzuzufügen, dann kann das Leermengenaxiom einfacher formuliert werden. Das müsste dann für alle anderen Abkürzungen gemacht werden. Schließlich aber braucht man für alle Axiomenschemata doch Klassenbausteine partiell. Dann ist es am besten, gleich mit einer richtigen Klassenlogik einzusteigen. Das hat Oberschelp gemacht (leider sehr unelegant).--Wilfried Neumaier (Diskussion) 07:33, 4. Feb. 2013 (CET)

Deine Korrektur im Artikel Klasse ist natürlich nicht adäquat. Überall braucht man die Klassennotation, weil ja Mengen spezielle Klassen sind. Zeige mir ein einziges Buch, das alle Mengen in der Prädikatenlogischen Sprache ausdrückt! Das gibt es nicht, denn es wäre entsetzlich zu lesen. Man hätte keinen zugriff auf eine Menge, weil sie immer durch eine gebundene Variable im Kontext einer Formel ausgedrückt werden müsste. Eine Verwechslung von Klassen mit echten Klassen hat dich wohl zur Korrektur bewogen.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 07:47, 4. Feb. 2013 (CET)

Und was ist daran wichtig, ob es zur formalen Sprache gehört, oder ob man diese dafür durch Definitionen erweitern muss? Erweiterung durch Definition hat noch nie jemandem „geschadet“. Es gehört zum Standardhandwerkszeug eines jeden Logikers, davon zu abstrahieren, welche Kurzschreibweisen man nun gerade zulässt. Wer in aller Kürze etwas über ZF beweisen will, lässt vielleicht nur $\exists ,\bot ,\rightarrow ,\in ,=$ in seiner Sprache zu, für andere Zwecke erlaubt man eben weitergehende Notationen, die sich aber problemlos dahin übersetzen lassen. Oder hast du etwa schon einmal jemanden sagen gehört, es würde sich um verschiedene „Prädikatenlogiken 1. Stufe“ handeln, je nachdem, welche Quantoren und Junktoren man zulässt? Jegliche Fundierungen der Mathematik werden zunächst mehr oder minder minimalistisch formuliert und dann um Definitionen erweitert. Das ändert am Wesen einer solchen doch nichts, welche Dinge erst nachträglich hinzukommen, und welche man von vorneherein annimmt. Zu meiner Korrektur: In vielen Teilen der Mathematik braucht man eben nur Notationen der Art $\left\{x\in X\mid \varphi (x)\right\}$, was sich eben einfach in „minimalistische“ ZF-Sprache übersetzen lässt. Schreibweisen hingegen, in denen über beliebige Klassen quantifiziert wird o. ä., wie es in NBG geht, lassen sich nicht formal in ZF schreiben. Und das ist doch der wesentliche Punkt. --Chricho ¹ ² ³ 10:41, 4. Feb. 2013 (CET)

Zumindest ist ein System, mit weitreichenden Möglichkeiten zum Gebrauch echter Klassen Overkill für viele Teile der Mathematik. --Chricho ¹ ² ³ 11:50, 4. Feb. 2013 (CET)

Die Klassenschreibweise ist eben keine Erweiterung per expliziter Definition. Das ist ja der springende Punkt. Deswegen hat ja Quine virtuelle Klassen eingeführt. Gerade die Übersetzbarkeit der ZF-üblichen Mengen-Klassen in Minimalformeln macht von ihnen Gebrauch. Wo liegt das Problem?--Wilfried Neumaier (Diskussion) 17:52, 4. Feb. 2013 (CET) Ich habe aber ein Problem, dessen Lösung ich gerne einmal sehen wollte: Wie lässt sich dein Beispielterm $\left\{x\in X\mid \varphi (x)\right\}$ in der minimalen ZF-Sprache übersetzen. Bitte führ es mir vor, wenn das so einfach ist!--Wilfried Neumaier (Diskussion) 00:15, 5. Feb. 2013 (CET)

Sorry, konnte gestern nicht antworten. Auf die Weise: Eine beliebige Aussage $\psi$, die diesen Term enthält, ersetzt du durch:

$\exists \left\{x\in X\mid \varphi (x)\right\}(\forall xx\in \left\{x\in X\mid \varphi (x)\right\}\leftrightarrow x\in X\wedge \varphi (x))\wedge \psi$ (wobei dieser Term jetzt ein (etwas sperriger) Variablenname ist) oder alternativ:

$\forall \left\{x\in X\mid \varphi (x)\right\}(\forall xx\in \left\{x\in X\mid \varphi (x)\right\}\leftrightarrow x\in X\wedge \varphi (x))\rightarrow \psi$

Per Aussonderungs- und Extensionalitätsaxiom folgt, dass man damit wie gewohnt umgehen kann. Grüße --Chricho ¹ ² ³ 18:08, 6. Feb. 2013 (CET)

Macht nichts, wenn die Antworten etwas Zeit brauchen. Deine zwei Formeln sind zwei Aussagen und kein Term. Daran sieht man die Problematik: Die Prädikatenlogik mit beliebigen Prädikaten stellt ausschließlich Aussagen zur Verfügung und keinen einzigen Term! Man kann immer nur Aussagen definieren, aber nie einen Term. Das ist das große Manko der ZF-Sprache und NBG-Sprache. Mit logisch legalen Mitteln kann man sich aus diesem Zwang nicht befreien. Man springt daher in der Praxis überall, wo man Terme als Formeln gebraucht, stillschweigend in eine klassenlogische Sprache, natürlich auch beim Verknüpfen von Term-Formeln. Die Klassenlogik schafft hier den Sprachrahmen, wo man das legal machen darf, was man überall stillschweigend praktiziert. Und die virtuellen Klassen sind eine Vorstufe dieser Legalisierung.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 23:44, 6. Feb. 2013 (CET)

Ja, natürlich können in der Prädikatenlogik (wenn man das rein relational macht) nicht aus dem Nichts Terme auftreten. Aber was ist daran so wichtig, dass man für irgend etwas einen Term hat? Was willst du mit dem Verbreitetsein „eine[r] teilweise[n] Aufstockung zu einer Klassenlogik“ denn ausdrücken? Wer macht das? Die meisten Leute beziehen sich heutzutage ja wohl auf ZFC, NBG oder ZFC+Grothendieck-Universen. Und dafür müssen sie eben ihre Aussagen so auffassen, dass formal solche Verwendungen eben wie oben übersetzt werden. Ob man einen eigenen Term übersetzen kann, ist recht egal. Vllt. bin ich blind, aber Berufung auf klassenlogische Grundlagen der Mathematik sind mir noch nicht untergekommen in „normalen Mathematikbüchern“. Die Aufstockung zu NBG ist aus mathematischen Gründen in manchen Gebieten unerlässlich, damit die Aussagen irgendwie einen formalisierbaren Sinn erhalten. In vielen Teilen der Mathematik reicht allerdings auch ein Arbeiten in ZFC, und da müssen keine allgemeinen klassenlogischen Prinzipien verwandt werden, sondern diese Schlussmöglichkeiten ergeben sich einfach daraus, wie man das in ZFC formalisieren würde (nämlich so, wie oben beschrieben) und den prädikatenlogischen Schlussregeln. Siehst du mein Problem in der Aussage über den „ständigen Gebrauch“? --Chricho ¹ ² ³ 15:58, 7. Feb. 2013 (CET) PS: Sorry, der Beitrag ist etwas wirr, also ich bezieh mich erst auf den Satz „Verbreitet ist in beiden Fällen aber eine teilweise Aufstockung zu einer Klassenlogik…“ (Frage: Wo ist das verbreitet?) und dann auf den von mir entfernten Satz über die Prinzipien weiter oben („Diese Schemata werden in der mathematischen Praxis ständig gebraucht“). Floss irgendwie alles ineinander.

Ich verstehe Dich schon. Damit Du mich auch verstehst, muss ich etwas ausholen. Ich hoffe, es bringt Dir was. Natürlich beziehen sich alle Praktiker auf ZF o.ä, interessieren sich aber nicht für die präzise Grundlegung. Das ist auch verständlich und gut so. Der Artikel 'Klassenlogik' geht aber selbstverständlich auf die Logik ein, ohne aber mit einem unnötigen Formalismus daher zu kommen. Daher berücksichtige ich dort maßgebliche Lehrbücher der Mengenlehre und Logik, dazu gehören eben Peano, Russell, Zermelo, Fraenkel, Hilbert, Ackermann, Neumann, Bernays, Gödel, Quine, Oberschelp u.a., die ich natürlich sehr genau studiert habe. Die wollen alle die grundlegenden Sprachprobleme kalkülmäßig lösen. Alle Anwender interessiert das wenig. Ich gebe aber Kalküle bewusst äußerst selektiv wieder: nur von Oberschelp die entscheidenden drei Prinizipien, die man tatsächlich braucht, und zwar stillschweigend überall in der Praxis. Sie sind einfacher als Deine genannten Formeln. Ich würde auch niemanden raten, Bücher der genannten Logiker zu lesen, die sind allesamt formalistisch eine brutale Zumutung. Oberschelps drei Formeln sind das kompakte, leicht verständliche Endergebnis einer etwa über fast hundert Jahre erstreckenden Versuchsreihe von Kalkülen mit Klassentermen. Er hatte den besten Überblick über die Geschichte. Leider hört er in seinem Buch dort auf, wo man anfangen sollte, wenn man bei Praktikern ankommen wollte. Man kann seine Formeln als Axiome für virtuelle Klassen im Sinn von Quine benützen. Diese drei Formeln erweitern ZF so, dass man die übliche Klassenschreibweise für Mengen wirklich korrekt benützen kann. Die Klassenschreibweise ist wirklich überall verbreitet. Und die drei Formeln bilden die einfachste "teilweise Aufstockung" zu einer Klassenlogik. Ich habe den Eindruck, dass Du den Terminus Klassenlogik missverstehst. Er hat mit echten Klassen nichts zu tun! Die Klassenlogik erarbeitet nur die Grundregeln für den üblichen Umgang mit Klassentermen. Welche Mengenaxiome man dazunimmt, ist egal. Oberschelp zielt auf eine ZFC-Klassenlogik als bequemerer Ersatz für eine ZFC-Prädikatenlogik. Dort gibt es keine echten Klassen. Ich hoffe, dass ich mich jetzt klar genug ausgedrückt habe.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 17:12, 7. Feb. 2013 (CET)

Würdest Du es hilfreich finden, wenn man als Beispiele einige Standardanwendungen der drei Klassenlogischen Prinzipien in den Artikel einbaut?--Wilfried Neumaier (Diskussion) 17:26, 7. Feb. 2013 (CET)

Ok. Ich denke, wir kommen uns näher. Vermutlich war es ein Missverständnis, anzunehmen, dass Klassenlogik den Umgang mit „großen Objekten“ (und das ist der Punkt, der bestimmte Grundlegungen der Mathematik stark voneinander Unterscheidet und für die Praxis sehr relevant ist) vereinfacht. Im Artikel Klasse (Mengenlehre) stoßen also wohl verschiedene Dinge zusammen (Handhabung „großer Objekte“ bei der Grundlegung, Schlussweisen aus der Praxis (die sich auf verschiedene formale Prinzipien zurückführen lassen mögen), verschiedene formale Systeme, die ebensolches Schließen auf grundlegender logischer Stufe enthalten), die dort für Verwirrung sorgen.

Also Beispiele dort hätten mir auch nicht geholfen, für Allgemeinverständlichkeit kann es vielleicht helfen. Wichtiger fände ich, deutlicher zu machen, ob man jetzt von Axiomatisierung/formal-logischen Grundlagen spricht, oder nur von allgemeinen Schlussweisen. Übrigens (hat jetzt nichts mit dem Artikel zu tun, aber da du von deiner bewussten Selektion sprachst) fände ich es schön, wenn sich hier in der Wikipedia auch eine ausführliche formale Darstellung finden würde, was Klassenlogik im Oberschelp’schen Sinne ist, das würde glaube ich zu mehr führen als die ganzen Andeutungen, die hier überall verteilt sind. Und Informationen darüber sind online schwer zu haben.

Was meinst du mit „formalistisch eine brutale Zumutung“? Und was wäre es denn, was er den „Praktikern“ hätte vermitteln können? Gruß

--Chricho ¹ ² ³ 17:33, 7. Feb. 2013 (CET)

Ich habe mal angefangen, aus der Diskussion Konsequenzen zu ziehen und den Artikel zu bearbeiten. Bitte verfolge die Sache und merke ggf weitere Anregungen oder Wünsche an. --Wilfried Neumaier (Diskussion) 18:49, 7. Feb. 2013 (CET)

Mit „in der ZF-Sprache virtuell notieren“ meinst du „in einer Erweiterung der Sprache ZFs notieren, sodass es sich auch in gleichwertige Aussagen in reinem ZF übersetzen lässt“? Mir erscheint der Absatz immer noch problematisch, da nicht explizit gesagt wird, was „virtuell“ heißen soll. --Chricho ¹ ² ³ 18:52, 7. Feb. 2013 (CET)

Doch es wird gesagt: es sind Teilterme im Kontext von Formeln (wie den drei Prinzipen). Genügt das nicht?(nicht signierter Beitrag von Wilfried Neumaier (Diskussion | Beiträge) 19:59, 7. Feb. 2013 (CET))

Bei „Teilterm“ denkt man an „Term, der zu einem anderen Term gehört“. Das ist wohl nicht gemeint. Außerdem macht der Satz nicht klar, dass „virtuelle Klassen“ genau diese symbolische Verwendung bedeutet. --Chricho ¹ ² ³ 19:13, 7. Feb. 2013 (CET)

Ich habe eine Neuformulierung vorgenommen. Vielleicht befriedigt diese jetzt mehr.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 19:38, 7. Feb. 2013 (CET)

Das klingt jetzt so, als würde das NBG obsolet machen, macht es aber doch nicht, weil man dort über Klassen quantifizieren kann und das Auswahlaxiom für Klassen hat. --Chricho ¹ ² ³ 19:46, 7. Feb. 2013 (CET)

Es gibt auch ZF-Mengenlehren mit globalem Auswahlaxiom für alle Klassen (Skolems zweiter ZF-Kalkül 1929). Man braucht Quantifizierungen über echte Klassen in der Praxis nicht, sagt Oberschelp, der sich auskennt. Ich wüsste nicht, wo man sie braucht. Aber ich modifiziere den Text nochmal.

Ja, kenn ich, ist aber eben auch nicht ZF und bringt auch Ballast. Ich bin auf jeden Fall dagegen, in dem Text diesen Satz stehen zu lassen, der suggeriert „die Klassenlogik ist ganz toll und NBG überflüssig“, kann sein, dass Oberschelp das so sieht, ist aber POV und NBG ist weit verbreitet. --Chricho ¹ ² ³ 20:16, 7. Feb. 2013 (CET)

Ok--Wilfried Neumaier (Diskussion) 20:21, 7. Feb. 2013 (CET)

Danke. Kannst du mir noch sagen, was du mit „formalistisch eine brutale Zumutung“ meinst? Grüße --Chricho ¹ ² ³ 19:40, 9. Feb. 2013 (CET)

Ja. Jeder der oben genannten Logiker (außer ZF) hat seine extra formale Sprache, die nicht Standard war oder ist, dazu komplizierte, eigenwillige Axiomensysteme, so dass man jedes Mal eine Fremdsprache studieren muss, die selbst geübten Lesern lästig ist. Ich kenne Matheprofs, die deswegen Logiker hassen. Aus diesem Grund kann man auch hier nicht Oberschelps Klassen-Axiome referieren. Sein Axiomensystem ist ungenießbar, viel zu aufwendig, zu umständlich, vieles kropfunnötig. Das wäre Overkill. Auch ein Quine-Kalkül mit geregelter Syntax wäre hässlich. Man könnte die Klassenlogik m. E. viel einfacher aufziehen, aber man soll ja hier keine Theoriebildung betreiben.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 23:56, 9. Feb. 2013 (CET)

Einleitung

Es wäre schön, wenn wenigstens in der Einleitung stünde, was denn eine "Klasse" ist, und was der Unterschied zwischen "Klasse" und "Menge" ist. Sinnvollerweise erklärt an unterscheidenenden verständlichen Beispielen aus dem Alltag. Danke, --Markus (Diskussion) 07:05, 8. Jul. 2014 (CEST)

Mit Beispielen aus dem Alltag wird das schwierig. Alle Klassen (im Sinn dieses Artikels), die im Alltag auftauchen, sind automatisch Mengen. --Digamma (Diskussion) 18:19, 8. Jul. 2014 (CEST)

Siehe Abschnitt Echte Klassen, Beispiele. Nicht direkt aus dem Alltag, aber das einfachste Beispiel ist und bleibt die (echte) Klasse aller Mengen.--Ernsts (Diskussion) 18:44, 29. Dez. 2017 (CET)

Bin gleicher Meinung. Kritik an der informellen Erstdefinition ist aber verständlich. Erst der zweite einleitende Satz ist eine substantielle verbale Definition. Er gehört also unbedingt in die Ersterklärung hinein. Ich ändere das entsprechend.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 09:01, 30. Dez. 2017 (CET)

Potenz von Klassen

Im Abschnitt Definition wird behauptet, dass der Begriff Potenz auf Klassen anwendbar ist. Das impliziert, dass man Teilkassen einer echten Klasse A, darunter auch diese selbst, zu einer Klasse zusammenfassen kann. Eine Klasse als Element einer Menge ist unzulässig, wie steht es mit einer echten Klasse als Element einer Klasse? Kann man echte Klassen zu Klassen zusammenfassen? Ist das - und damit die Potenz einer echten Klasse nicht ebenfalls unzulässig? Ein Ausweg wäre die folgende Definition:

Die Potenzklasse einer Klasse A ist die Klasse aller Teil*mengen* von A

Falls A eine Menge ist, stimmt diese Definition mit der üblichen Potenzmengendefinition überein, insbesondere ist A selbt ein Element seiner Potenzklasse. Für echte Klassen A gilt letzteres dann naturlich nicht!--Moyalingde (Diskussion) 09:01, 10. Dez. 2017 (CET)

Zur Begriffsklärung: Eine echte Klasse $\ A$ ist nie Element einer Klasse und erfüllt stets $A\notin X$. Man kann daher echte Klassen nicht zu anderen Klassen zusammenfassen. Man kann aber Teilklassen beliebiger Klassen wie üblich definieren durch $B\subseteq A:\Longleftrightarrow \forall x\in B\colon x\in A$. Dabei ist $\ B$ eine Klasse. Nur als Element der Potenz ${\mathcal {P}}(A):=\{x\mid x\subseteq A\}$ muss sie eine Menge sein. Es gelten die üblichen Definitionen. Die Verbalisierung wird an die Klassensprache angepasst, indem man konsequent Menge durch Klasse ersetzt. In diesem Fall: Die Klasse aller Teilklassen von $A:={\mathcal {P}}(A)$. Es ergibt sich, dass sie mit der Klasse aller Teilmengen von $\ A$ identisch ist. $A\in P(A)$ ist nur für Mengen gültig, aber nie für echte Klassen. Gleiches gilt natürlich auch für alle anderen Klassenkonstruktionen.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 15:10, 10. Dez. 2017 (CET)

Klassen die Klassen enthalten

Der englischen Wikipedia und eingeschränkt dieser Diskussionsseite entnehme ich, dass ein entscheidender Punkt von Klassen ist, dass sie ihrerseits keine Klassen enthalten können. Für mein Verständnis warum Klassen die Probleme von Mengen vermeiden ist genau das der entscheidende Punkt, ohne den nicht klar wird warum Klassen nicht genau so zum Opfer von Russells Paradox werden. Kann Jemand der sich (im Gegensatz zu mir) mit dem Thema auskennt das bitte in den Artikel einbauen? Ich würde mir hier sowas vorstellen wie „Klassen sind von diesen Problemen nicht betroffen, da sie ihrerseits keine echten Klassen enthalten können; dies ergibt sich je nach Axiomensystem entweder implizit (ZFC) oder explizit (von-Neumann-Bernays-Gödel [keine Ahnung ob das stimmt!])“. --Florian Weber 00:36, 21. Mai 2020 (CEST)

Klassen können wohl Klassen enthalten, nämlich Mengen, die ja auch Klassen sind.

Echte Klassen können keine Elemente sein! Daher können Mengen oder Klassen keine echten Klassen enthalten.

Die Russellsche Klasse ist eine echte Klasse. Sie kann sich nicht selbst enthalten.

Diese Russellsche Antinomie ist in einem Spezialartikel behandelt; sie entsteht mit Freges Abstraktionsprinzip, das heute keine Mengenlehre mehr voraussetzt.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 23:34, 8. Aug. 2022 (CEST)

Klasse vs. Menge

Es wäre angebracht zu erwähnen, welches die Eigenschaften von Mengen sind, die von Klassen nicht erfüllt werden müssen. In Menge (Mathematik) kommt Klasse gar nicht vor. --Bleckneuhaus (Diskussion) 04:30, 20. Jul. 2022 (CEST)

Im Artikel Menge(Mathematik) kommt zwar der Begriff 'Klasse' nicht vor, aber die Klassenschreibweise für Mengen. Mengen müssen die Mengenaxiome erfüllen (etwa Zermelo-Fraenkel), Klassen nicht. Das steht im Artikel mehrfach.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 22:48, 8. Aug. 2022 (CEST)