Diskussion:Kompaktifizierung

Stringtheorie und „Kompaktifizierung“

Wie die Erklärungen zeigen, ist der Sinn von „kompaktifiziert“ in der Stringtheorie ist anscheinend ein anderer als der in der Definition gegebene. Deshalb sollte der Teil an eine geeignete Stelle verschoben werden (evt. eigenes Lemma „kompaktifizierte Dimension“?) und dann ein Link dahin oder eine Disambiguisierungsseite. Als Nicht-Physiker fühle ich mich da nicht zuständig. Ich denke aber, dass es nicht hilfreich ist, nach einer vorangestellten Definition über etwas anderes zu reden. --Mini-floh 16:31, 23. Dez. 2011 (CET)

Vollkommene Zustimmung. Ich werde versuchen, da etwas zu machen --Horv2000 (Diskussion) 18:53, 28. Nov. 2016 (CET)

relativ offen

Was ist eine relativ offene Abbildung? Ich kann hierzu keine Erklärung in Wikipedia finden. Ist damit gemeint, dass die die Abbildung offen bzgl. ihres Bildes ist? --Kajdron (Diskussion) 12:54, 20. Mär. 2012 (CET)

Offene Abbildung: Jede offene Menge wird auf eine offene Menge in $Y$ abgebildet. Relativ offene Abbildung: Jede offene Menge wird auf eine offene Menge bezüglich der Relativtopologie auf $\varphi \left(X\right)\subset Y$ abgebildet. Das heißt (die Injektivität vorausgesetzt) nichts anderes, als dass die Umkehrfunktion $\varphi ^{-1}:\varphi \left(X\right)\to X$ stetig ist. --Chricho ¹ ² 13:00, 20. Mär. 2012 (CET)

Danke für die schnelle Antwort. Ich habe eine erstmal eine passende Definition zu Offene Menge#Offene Abbildung hinzugefügt und verlinkt. --Kajdron (Diskussion) 22:15, 20. Mär. 2012 (CET)

Dicht Drinliegen

Der Satz in der Einleitung trifft zum Beispiel für die Stone-Čech-Kompaktifizierung eines Nicht-Tichonow-Raums nicht zu. Meinungen, was man mit der Formulierung machen sollte? --Chricho ¹ ² 20:53, 25. Apr. 2012 (CEST)

Das Problem ist nicht so sehr, dass ein Nicht-Tychonow-Raum nicht dicht in seiner Stone-Čech-Kompaktifizierung liegt, sondern, dass es keine SCK für ihn gibt. Man kann zwar die übliche Konstruktion für ihn durchführen, aber das ergibt zum Teil nur Unsinn. Ich wollte das eigentlich bei dem Abschnitt "Konstruktion mit Ultrafiltern" im Anschluss an die allgemeine Konstruktion für Tychonoff-Räume (habe ich jetzt endlich gemacht) ergänzen, aber mir ist noch kein schönes Beispiel außer den $\eta _{\alpha }$-Mengen eingefallen, wo man das sieht, und da bin ich noch zu unsicher, wie sie sinnvoll zu erklären sind. Aber wenn Du denkst, dass das nützlich ist, mache ich das. --Mini-floh (Diskussion) 12:45, 26. Apr. 2012 (CEST)

Völliger Unsinn wird die SCK nicht, der Raum ist zwar nicht homöomorph zu seinem Bild, aber die SCK ist immer noch linksadjungiert zur Einbettung der kompakten Hausdorffräume. Ein vollständig regulärer (in dem Sinne, dass er nicht Kolmogorow sein muss) Raum erhält etwa dieselbe SCK wie sein Kolmogorow-Quotient, das ist zumindest kein Unsinn. Was meinst du mit $\eta _{\alpha }$ und wofür willst du ein Beispiel? Für Räume, bei denen Unsinn rauskommt? Naja, wenn du typische nicht Hausdorff-Räume baust, geht schnell alle Information verloren (also wenn keine zwei Punkte durch Umgebungen getrennt sind), betrachte die von den Intervallen $(-\infty ,a)$ erzeugte Topologie auf $\mathbb {R}$, den Sierpinski-Raum oder die kofinite Topologie, und du erhälst sofort den einpunktigen Raum. Ein intrikateres Beispiel, bei dem T₂ noch gegeben ist, fällt mir aber nicht ein, bzw. doch, ich wüsste Beispiele, da die Homöomorphie mit dem Bild gerade Äquivalent zu T₃ₐ ist, aber ich habe keine Lust, von so einem Beispiel die SCK zu konstruieren und mir anzuschauen, was konkret schief geht (du weißt ja, wie Räume aussehen, die T₃ aber nicht T₃ₐ sind o. ä.). --Chricho ¹ ² 15:14, 26. Apr. 2012 (CEST)

Zudem: Wenn man sich in Nicht-Hausdorff-Gefilden bewegt, hat die Dichtheit auch gar nicht so eine besondere Bedeutung, weil dann die Eindeutigkeit von stetigen Fortsetzungen nicht mehr garantiert ist, trotzdem beschränken wir ja zum Beispiel die Alexandroff-Kompaktifizierung nicht nur auf lokalkompakte Hausdorffräume, denn manche Sachen klappen ja sonst auch. --Chricho ¹ ² 15:47, 26. Apr. 2012 (CEST)

Wie wäre es denn mit einer unverbindlicheren Formulierung, die den Begriff nicht als scharf mathematisch sondern als Sammelbegriff darstellt für verschiedene Konstruktionen, die einem topologischen Raum einen kompakten topologischen Raum zuweisen, der irgendwelche strukturellen Eigenschaften des ursprünglichen Raumes übernimmt? --Chricho ¹ ² 15:51, 26. Apr. 2012 (CEST)

Eine Menge M ist $\eta _{\alpha }$-Menge, wenn M vollständig geordnet ist und für beliebige Teilmengen A und B mit Kardinalität kleiner $\aleph _{\alpha }$ und $A<B$ ein Element $v\in M$ existiert mit $A<v<B$.

Dies ist eine Verallgemeinerung von $\mathbb {R}$, das eine $\eta _{1}$-Menge ist. (Für Nicht-Limeszahlen $\alpha$ kann man eine Konstruktion analog zu Dedekind-Schnitten verwenden, um eine entsprechende Menge herzustellen). Für das Problem hier: Ist M eine $\eta _{\alpha }$-Menge mit $\alpha >1$ mit der Ordnungstopologie, dann sind alle stetigen Funktionen nach $\mathbb {R}$ konstant, d.h. die Menge $Z(M)$ wäre leer, obwohl M natürlich Hausdorff-Raum ist.

Die Idee, in der Einleitung noch weniger mathematisch zu formulieren, finde ich gut. Im übrigen glaube ich immer mehr, dass man nur Hausdorff-Räume als "kompakt" bezeichnen sollte und den Artikel "Kompaktheit" (nach entsprechender Diskussion) verändern sollte. Der von mir früher eingefügte Teil zur Alexandroff-Kompaktifizierung sollte dann in ein eigenes Lemma "Alexandroff-Erweiterung" versenkt werden und hier nur kurz der Tychonoff-Fall zusammengefasst werden. Alle Extrem-Fälle, die sowieso die Nichtmathematiker abschrecken, könnte man dann unter "Quasikompaktifizierung" etc. eventuell unter einem eigenen Lemma zusammenfassen, oder hier in das Kapitel "verwandte Begriffe" verbannen. Welches die bessere Lösung ist, hängt auch davon ab, wieviele Beispiele man bieten will und wie weit diese gestreut sind. Wir schreiben ja kein mathematisches Fachbuch.--Mini-floh (Diskussion) 18:24, 26. Apr. 2012 (CEST)