Kompaktifizierung

Kompaktifizierung ist ein Begriff aus der Topologie. Dabei wird ein (nicht kompakter) topologischer Raum so erweitert, dass er kompakt ist und der ursprüngliche Raum im erweiterten dicht liegt. Die letzte Forderung soll dabei unsinnige Erweiterungen ausschließen. So sorgt sie dafür, dass bei einer Kompaktifizierung eines bereits kompakten Raumes nichts hinzu kommt.

Definition

Eine Kompaktifizierung eines topologischen Raumes $X$ ist ein Paar $(Y,\varphi)$ bestehend aus einem kompakten topologischen Raum $Y$ und einer injektiven, stetigen und relativ offenen Abbildung $\varphi\colon X \rightarrow Y$, so dass das Bild $\varphi(X)$ dicht in $Y$ liegt.

Die Forderungen an $\varphi$, dass es injektiv, stetig und relativ offen ist, d. h. offen aufs Bild, bedeuten schlichtweg, dass $\varphi$ ein Homöomorphismus von $X$ auf das Bild $\varphi(X)$ ist. Daher kann man $Y$ als Erweiterung von $X$ bzw. $X$ als Teilmenge von $Y$ ansehen.

Da Teilräume von kompakten (im Sinne von quasikompakt und hausdorffsch) Räumen vollständig regulär sind, können nur solche Räume kompaktifiziert werden.

Beispiele für Kompaktifizierungen

Im Allgemeinen gibt es für einen Raum viele verschiedene Kompaktifizierungen, die sich z.T. dramatisch unterscheiden.

Stone-Čech-Kompaktifizierung

→ Hauptartikel: Stone-Čech-Kompaktifizierung

Jeder vollständig reguläre Raum kann durch die Stone-Čech-Kompaktifizierung kompaktifiziert werden. Dafür gibt eine Reihe verschiedener Konstruktionen und der entstehende Raum $\beta X$ hat viele Eigenschaften, die ihn auszeichnen, z.B.

• $\beta X$ ist maximal im Verband der Kompaktifizierungen
• jede beschränkte Funktion $f: X \to \R$ lässt sich nach $\beta X$ fortsetzen

Einpunktkompaktifizierung (Alexandroff-Kompaktifizierung)

Der russische Mathematiker Paul Alexandroff hat eine Konstruktion angegeben, die für einen beliebigen Topologischen Raum $X$ zu einer quasikompakten Erweiterung führt:

Es wird ein einzelner neuer Punkt $\omega$ zu $X$ hinzugenommen. Die Topologie, also die offenen Teilmengen von ^{$X^* = X \cup \{\omega\}$}, besteht dann aus den gegebenen offenen Teilmengen von $X$ und den Komplementen der abgeschlossenen, kompakten Mengen, die in $X$ liegen.

Die Einbettung $\varphi : X \rightarrow X^*$ wird Alexandroff-Erweiterung oder auch Alexandroff-Kompaktifizierung von $X$ genannt. Sie hat die meisten der oben geforderten Eigenschaften. Dabei gilt aber: $X^*$ ist genau dann ein Hausdorff-Raum, wenn $X$ lokal-kompakt und Hausdorffsch ist. Insbesondere ist $X^*$ für lokal-kompakte Hausdorff-Räume normal (wie jeder kompakte Hausdorff-Raum) und somit nach dem Lemma von Urysohn vollständig regulär, was sich auf den ursprünglichen Raum $X$ überträgt: Jeder lokal-kompakte Hausdorff-Raum ist vollständig regulär.

Konkrete Beispiele

• Die Einpunktkompaktifizierung der reellen Zahlen ^$\R$ entspricht topologisch der Struktur eines Kreises, also einer $S^1$. Die Einpunktkompaktifizierung der komplexen Zahlen ist die Riemannsche Zahlenkugel, deren Struktur der Oberfläche einer Kugel, also einer $S^2$, entspricht. Allgemein ist die Einpunktkompaktifizierung des $\R^n$ homöomorph zur n-dimensionalen Sphäre $S^n$
• Während die Einpunktkompaktifizierung der Menge ^$\N$ der natürlichen Zahlen tatsächlich nur einen weiteren Punkt („Unendlich“) enthält, hat die Stone-Čech-Kompaktifizierung die Mächtigkeit ^{$2^{2^{\aleph_0}}$}.
• Für die erste überabzählbare Ordinalzahl $\omega_1$ mit der Ordnungstopologie ist $\omega_1+1$ zugleich Alexandroff-Kompaktifizierung und Stone-Čech-Kompaktifizierung.

Anwendung der Kompaktifizierungen

Viele Sätze der Topologie werden zunächst für kompakte Räume bewiesen, da hier durch die Endlichkeitsbedingung (in ihren verschiedenen Formulierungen) Beweise leichter zu führen sind. Als ein weiterer Schritt wird dann versucht, für andere Räume eine geeignete Kompaktifizierung zu konstruieren und zu sehen, unter welchen Bedingungen sich Ergebnisse übertragen lassen.

Beispiel für eine Anwendung

Satz von Gelfand-Kolmogoroff

Dieser Satz ist ein schönes Beispiel dafür, dass man direkt mit Hilfe der Stone-Čech-Kompaktifizierung Aussagen über einen Raum erhält.

$\textstyle {\mathcal C}(X)$ sei der Ring der stetigen Funktionen von $X$ nach $\R$ (mit punktweise definierter Addition und Multiplikation) und $\textstyle {\mathcal C}^*(X)$ der Unterring der beschränkten Funktionen.

• (Gelfand-Kolmogoroff): In jedem Tychonoff-Raum $X$ gibt es eine 1-1-Zuordnung zwischen den maximalen Idealen von $\textstyle {\mathcal C}^*(X)$ und von $\textstyle {\mathcal C}(X)$. In beiden Fällen "fixiert" jedes maximale Ideal genau einen Punkt $p \in \beta(X)$.

Genauer gilt: in $\textstyle {\mathcal C}^*(X)$ gibt es für jedes maximale Ideal $\textstyle I_p$ (genau) einen Punkt $p \in \beta(X)$ mit $\textstyle I_p = \left\{f \in {\mathcal C}^*(X)| f^{\beta}(p)=0\right\}$, wobei $f^{\beta}$ die stetige Fortsetzung von $f$ nach $\beta X$ ist.

Für $\textstyle {\mathcal C}(X)$ lautet die entsprechende Beschreibung für maximale Ideale: $\textstyle I_p = \left\{f \in {\mathcal C}(X) | p \in cl_{\beta X} Z_X(f)\right\}$, wobei $Z_X(f) = \left\{x \in X | f(x)=0\right\}$.

Verwandte Begriffe

Analog zur Vorstellung von der Kompaktifizierung kann man auch bei den meisten mit kompakt verwandten Begriffen vorgehen: Den Begriff Pseudokompaktifizierung erhält man beispielsweise, indem man in der Definition kompakt durch pseudokompakt ersetzt.

Literatur

• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9 (Springer-Lehrbuch).
• Paul Alexandroff, Über die Metrisation der im Kleinen kompakten topologischen Räume, in: Math. Ann. Vol 92 (1924), S. 294-301 [[1]]
• L.Gillman, M.Jerison: Rings of Continuous Functions, Van Nostrand Comp, Princeton etc., 1976