Diskussion:Kongruenzabbildung

Die Definition durch hintereinander ausgeführte Achsenspiegelungen sollte nicht gestrichen werden, da sie exakter ist. Wfstb

Die Achsenspiegelung kann nicht zur Definition verwendet werden, denn sie ist ein Beispiel für eine Kongruenzabbildung. --Robert 20:11, 21. Aug 2004 (CEST)

Doch. Man definiert, dass eine Abbbildung genau dann eine Kongruenzabbildung ist, wenn sie entweder eine Achsenspiegelung ist oder durch die Hintereinanderausführung von Achsenspiegelungen entsteht. -- Digamma 19:41, 25. Sep. 2010 (CEST)

In diesem Fall haben - wie der Artikel hoffentlich inzwischen klarmacht, beide Seiten mit ihren Thesen (nicht mit den Begründungen) recht. Man kann sich auf beide Standpunkte stellen. Der Wortbildung "Kongruenzabbildung" entspricht eher die Definition "kongruenzerhaltende Abbildung", aber die Definition als Verkettung von Spiegelungen ist für die euklidischen Ebenen völlig äquivalent dazu - und in den meisten Fällen wesentlich leichter zu handhaben (nicht exakter).--KleinKlio 18:24, 5. Dez. 2010 (CET)

Abschnitt Schulmathematik

Den Satz Durch den geschilderten experimentellen Ansatz können Schüler sogar noch in der Vorstellung bestärkt werden, dass es auf die Reihenfolge der Punkte bei der Kongruenz nicht ankomme. verstehe ich nicht. Auf die Reihenfolge welcher Punkte kommt es an? -- Digamma 11:19, 1. Apr. 2011 (CEST)

Zwei "Figuren" sind kongruent, wenn ihre "Bestimmungsstücke" umkehrbar eindeutig so aufeinander bezogen werden können, dass alle Streckenlängen und Winkel dabei gleich bleiben. Das ist nach der Literatur der Kern des Kongruenzbegriffs nach Hilbert, wie er heute in der Schule gelehrt wird. Das ist noch etwas verschwurbelter als meine Formulierung. Problem: Es reicht nicht, wenn "irgendwelche" Seiten und "irgendwelche" Winkel bei zwei Vielecken übereinstimmen, sondern diese müssen auch "in gleicher Lage" sein. Aber man muss hier wohl etwas weiter ausholen, um das Problem deutlich zu machen. Vielleicht fällt mir ja noch was ein. KleinKlio 05:19, 24. Jul. 2011 (CEST)

Ich verstehe die Aussage immer noch nicht. Meiner Meinung nach tritt bei dem experimentellen Ansatz das geschilderte Problem gerade nicht auf. Das Problem tritt auf, wenn man Kongruenz dadurch erklärt, dass man sagt, dass Figuren kongruent seien, wenn ihre Winkel und ihre Seitenlängen gleich sind. Dann kommt es auf die Reihenfolge an. Dass Figuren, bei denen die Bestimmungsstücke zwar übereinstimmen, aber in der falschen Reihenfolge, nicht zur Deckung gebracht werden können, ist jedoch offensichtlich. -- Digamma 20:01, 25. Jul. 2011 (CEST)

Ich habe das 2. Beispiel mal rausgenommen, es steht etwas verschwurbelter bei Frank/Padberg, aber hat mich auch nicht wirklich überzeugt. Das systematische Problem liegt hier m. E. darin, dass die Pädagogik keine konsistente Theorie hat, daher wird hier nicht sauber zwischen Ursache-Wirkungs-Zusammenhängen und Koinzidenzen unterschieden. --KleinKlio 00:18, 3. Aug. 2011 (CEST)

Orthogonale Matrizen

(1) Im Text steht

»In der analytischen Geometrie werden Kongruenzabbildungen mit Hilfe orthogonaler Matrizen beschrieben.«

Das suggeriert, dass das für alle Kongruenzabbildungen gilt. Wenn ich aber dort nachschaue, sind für mein Auge die Parallelverschiebungen nicht dabei.

(2) IMHO wäre es schön, die Gruppe explizit zu haben. Ist sie ($=:K$) isomorph (und homöomorph) zu

$K\cong \mathbb {R} ^{2}\rtimes _{\theta }{\rm {O(2)}}$

mit der additiven Gruppe $\mathbb {R} ^{2}$, der orthogonalen Gruppe ${\rm {O(2)\cong \mathbb {S} \times \{1,-1\}}}$, der Kreisgruppe $\mathbb {S}$ und dem semidirekten Produkt $\rtimes _{\theta }$ mit

$\theta \colon \mathbb {S} \to \operatorname {Aut} (\mathbb {R} ^{2});\quad \theta (s)(x,y)=u^{-1}\left(r(s)\cdot u(x,y)\cdot r(s^{-1})\right)$.

Die Orientierung $\in \{1,-1\}$ (Spiegelung) ist leicht herauszubekommen. Das $v\colon K\to \mathbb {S}$ des Splitting-Lemma

$1\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}{\xrightarrow {\ u\ }}K{\xrightarrow {\ v\ }}\mathbb {S} \longrightarrow 1$

mit $v\circ r=\operatorname {id} _{\mathbb {S} }$ ist der Winkel $s$, mit dem bspw. die Strecke $(0,0)\to (1,0)$ aus der Waagrechten herausgedreht ist.
Wenn das stimmt – oder fast stimmt –, muss es auch eine Stelle geben, wo das nachzulesen ist.

Aber (1) ist wichtiger. --Nomen4Omen (Diskussion) 19:30, 10. Sep. 2017 (CEST)

In Bewegung (Mathematik) steht ein bisschen etwas. Hilft das? --Digamma (Diskussion) 19:42, 10. Sep. 2017 (CEST)

Danke, sieht ziemlich passend aus. Mal sehen, wie das zu verbinden ist. --Nomen4Omen (Diskussion) 20:17, 10. Sep. 2017 (CEST)

Überarbeiten - Abschnitt "Der allgemeine Fall"

Die Grafik enthält nicht alle in der Beschreibung erwähnten Bezeichner für Punkte und Strecken. So z. B. $C_{1}'$ und der Punkt Z taucht im Text nicht auf. Außerdem ist überhaupt nicht klargestellt, was da konstruiert werden soll, wenn beide Dreiecke bereits gegeben sind. ÅñŧóñŜûŝî (Ð) 19:53, 12. Apr. 2023 (CEST)

Konstruiert werden sollen offenbar die Spiegelachsen bzw. im Fall einer Drehung das Drehzentrum. --Digamma (Diskussion) 18:49, 13. Apr. 2023 (CEST)

@Digamma: Wozu dann der Aufwand? Wenn du drei Ecken mit ihrer Kongruenzabbildung hast, dann sind bei einer Drehung die Strecken $AA'$, $BB'$ und $CC'$ Sehnen von drei konzentrischen Kreisen und deren Mittelsenkrechten treffen sich im gemeinsamen Mittelpunkt, dem Zentrum der Drehung. ÅñŧóñŜûŝî (Ð) 19:37, 13. Apr. 2023 (CEST)

Nichts anderes wird doch getan. Es muss aber keine Drehung sein. Es kann auch eine Translation sein oder im Falle einer orientierungsumkehrenden Abbildung eine Gleitspiegelung.

Anscheinend möchte man aber auch noch Spiegelachsen für die Spiegelungen aus denen sich die Abbildung zusammensetzen lässt (zwei im Fall einer Drehung oder Translation, drei im Fall einer Gleitspiegelung) konstruieren. --Digamma (Diskussion) 20:58, 13. Apr. 2023 (CEST)

@Digamma: Das könnte hinkommen. Sieht aus, als ob die erste Spiegelachse so platziert wird, dass Punkt $A_{0}$ direkt auf $A_{2}$ gespiegelt wird und dass mit Hilfe der an dieser Achse gespiegelten Ecke $C_{0}$, also Punkt $C_{1}$ und dem Punkt $C_{2}$ die 2. Spiegelachse $a_{2}$ ermittelt wird. Etwas holprig formuliert, finde ich. ÅñŧóñŜûŝî (Ð) 22:58, 13. Apr. 2023 (CEST)