Duffing-Oszillator

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Poincaré-Abbildung eines getriebenen Duffing-Oszillators

Der Duffing-Oszillator ist ein nichtlinearer Oszillator. Er kann als Erweiterung des harmonischen Oszillators, dessen Potential das lineare hookesche Gesetz zu Grunde liegt, um eine kubische Rückstellkraft betrachtet werden. Sein Verhalten wird durch folgende Differentialgleichung mit den zeitlichen Ableitungen von x beschrieben:

\ddot{x}+\delta\dot{x}+\alpha x+\beta x^3=\gamma\cos(\omega_0 t)

\delta ist die Dämpfung, \gamma, \omega_0 sind die Amplitude und Frequenz der Anregung, \alpha, \beta sind systemspezifische Parameter, welche die nichtlineare, rücktreibende Kraft charakterisieren.

Duffing-Oszillator ohne Anregung[Bearbeiten]

Die Zustandsraumdarstellung des ungetriebenen Duffing-Oszillators \ddot{x}+\delta\dot{x}+\alpha x+\beta x^3= 0 ist


\begin{bmatrix}
 \dot x_1 \\ \dot x_2 \\
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
 x_2 \\ -\delta x_2 -\alpha x_1 -\beta x_1^3 \\
\end{bmatrix}

Für den stationären Fall gilt


\begin{bmatrix}
 0 \\ 0 \\
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
 x_2 \\ -\delta x_2 -\alpha x_1 -\beta x_1^3 \\
\end{bmatrix}

und damit

x_2 = 0\, und \alpha x_1 +\beta x_1^3 = 0.

Die Gleichung liefert für x_1\; drei stationäre Lösungen

x_{1_0} = 0, x_{1_{1,2}} = \pm \sqrt{-\frac{\alpha}{\beta}}

Diese sind nur dann reell, wenn \frac{\alpha}{\beta} < 0 ist. Zur Beurteilung, welche dieser stationären Lösungen stabil sind, wird das Differentialgleichungssystem um diese Punkte linearisiert. Die Jacobi-Matrix des Systems


\textbf{J}=
\begin{bmatrix}
 0&  1 \\ -\alpha -3\beta x_1^2& -\delta \\
\end{bmatrix}

hat für x_{1_0}\; die Eigenwerte

\lambda_0 = \frac{-\delta \pm \sqrt{\delta ^2-4\alpha}}{2}

und für x_{1_{1,2}}\; die Eigenwerte

\lambda_1 = \frac{-\delta \pm \sqrt{\delta ^2+8\alpha}}{2}.

Die Bedingung \frac{\alpha}{\beta} < 0 liefert zwei Fälle.

Fall 1: \alpha > 0\; und  \beta < 0\;

\lambda_0\; hat negative Realteile, d.h. dieser Punkt ist stabil.
\lambda_1\; hat einen positiven Realteil, d.h. diese Punkte sind instabil.

Fall 2: \alpha < 0\; und  \beta > 0\;

\lambda_0\; hat einen positiven Realteil, d.h. dieser Punkt ist instabil.
\lambda_1\; hat negative Realteile, d.h. diese Punkte sind stabil.

Die Differenzialgleichung

\ddot{x}+\delta\dot{x}-a x+b x^3= 0

mit \delta >0, a>0, b> 0\; beschreibt den stabilen Duffing-Oszillator.

Siehe Auch[Bearbeiten]

Duffing-Oszillator bei Scholarpedia