Jacobi-Matrix

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Die Jacobi-Matrix (benannt nach Carl Gustav Jacob Jacobi; auch Funktionalmatrix, Ableitungsmatrix oder Jacobische genannt) einer differenzierbaren Funktion f\colon {\mathbb{R}^n}  \to {\mathbb{R}^m} \,\! ist die m \times n-Matrix sämtlicher erster partieller Ableitungen. Im Falle der totalen Differenzierbarkeit bildet sie die Matrix-Darstellung der als lineare Abbildung aufgefassten ersten Ableitung der Funktion f bezüglich der Standardbasen des \R^n und des \R^m. Sie wird mit J_f , Df, \textstyle\frac{\partial f}{\partial x} oder \textstyle\frac{\partial(f_1, \ldots, f_m)}{\partial(x_1, \ldots, x_n)} bezeichnet.

Genutzt wird die Jacobi-Matrix zum Beispiel zur annähernden Berechnung (Approximation) oder Minimierung mehrdimensionaler Funktionen in der Mathematik.

Definition[Bearbeiten]

Sei f : U \subset \R^n \to \R^m eine Funktion, deren partielle Ableitungen alle existieren, mit den Komponentenfunktionen f := (f_1 , \ldots, f_m). Außerdem werden mit x := (x_1, \dots, x_n) die Koordinaten im Urbildraum \R^n bezeichnet. Für a \in U ist die Jacobi-Matrix im Punkt a dann durch

J_f(a) := \frac{\partial {f}}{\partial {x}}(a) :=  \frac{\partial(f_1, \ldots, f_m)}{\partial(x_1, \ldots, x_n)}(a) := \left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a)\right)_{i=1,\ldots,m;\ j=1,\ldots,n} ,

beziehungsweise ausführlich durch

J_f(a) :=  \begin{pmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(a) & \ldots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(a) \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial f_m}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial f_m}{\partial x_2}(a) & \ldots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} (a)
\end{pmatrix}

definiert.

In den Zeilen der Jacobi-Matrix stehen also gerade die (transponierten) Gradienten der Komponentenfunktion von f.

Beispiel[Bearbeiten]

Die Funktion 
 f: \R^3 \to \R^2
sei gegeben durch


 f(x,y,z) = \binom{x^2 + y^2 + z \cdot \sin x}{z^2 + z \cdot \sin y}

Dann ist

\begin{align}
\frac{\partial}{\partial x} f(x,y,z) 
&= \binom{2x + z \cdot \cos x}{0} \\

\frac{\partial}{\partial y} f(x,y,z)
&= \binom{2y}{z \cdot \cos y} \\

\frac{\partial}{\partial z} f(x,y,z) 
&=  \binom{\sin x}{2z + \sin y}
\end{align}

und damit die Jacobi-Matrix

 
J_f(x,y,z) = \left ( \begin{array}{ccc}
         2x + z \!\cdot\! \cos x & 2y  & \sin x \\
         0 &\; z \cdot \cos y \; & \;2z + \sin y 
\end{array} \right )

Anwendungen[Bearbeiten]

  • Ist die Funktion f : U \subset \R^n \to \R^m total differenzierbar, so ist die Jacobi-Matrix eine Koordinatendarstellung der Ableitung von f.
  • Für m = 1 entspricht die Jacobi-Matrix dem transponierten Gradienten von f. Manchmal wird der Gradient auch als Zeilenvektor definiert. In diesem Fall sind Gradient und Jacobi-Matrix gleich.

Determinante der Jacobi-Matrix[Bearbeiten]

Hauptartikel: Jacobi-Determinante

Sei m=n, es wird also eine differenzierbare Funktion f \colon U \subset \R^n \to \R^n betrachtet. Dann ist deren Jacobi-Matrix J_f(a) am Punkt a \in U eine quadratische n \times n-Matrix. In diesem Fall kann man die Determinante der Jacobi-Matrix \det(J_f(a)) bestimmen. Die Determinante der Jacobi-Matrix wird Jacobi-Determinante oder Funktionaldeterminante genannt. Ist die Jacobi-Determinante im Punkt a ungleich null, so ist die Funktion f in einer Umgebung von a invertierbar. Dies besagt der Satz von der Umkehrabbildung. Außerdem spielt die Jacobi-Determinante eine wichtige Rolle beim Transformationssatz für Integrale. Ist m \neq n, so kann man natürlich keine Determinante der m \times n-Jacobi-Matrix bilden. Jedoch gibt es in diesem Fall ein ähnliches Konzept. Dieses wird Gramsche Determinante genannt.

Jacobi-Matrix einer holomorphen Funktion[Bearbeiten]

Neben Funktionen f : U \subset \R^n \to \R^m kann man auch Funktionen h : V \subset \C^n \to \C^m auf (komplexe) Differenzierbarkeit untersuchen. Funktionen, die komplex differenzierbar sind, werden holomorph genannt, denn sie haben andere Eigenschaften als die (reell) differenzierbaren Funktionen. Auch für die holomorphe Funktion h := (h_1, \ldots , h_m) : V \subset \C^n \to \C^m kann man Jacobi-Matrizen bestimmen. Hier gibt es zwei unterschiedliche Varianten. Zum einen eine m \times n mit komplexwertigen Einträgen und zum anderen eine 2m \times 2n -Matrix mit reellwertigen Einträgen. Die m \times n-Jacobi-Matrix J_h^\C(z) am Punkt z := (z_1, \ldots , z_n) \in V \subset \C^n ist durch

J_h^\C(z) := \begin{pmatrix}
\frac{\partial h_1(z)}{\partial z_1} & \cdots & \frac{\partial h_1(z)}{\partial z_n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\ 
\frac{\partial h_m(z)}{\partial z_1} & \cdots & \frac{\partial h_m(z)}{\partial z_n}
\end{pmatrix}

definiert.

Jede komplexwertige Funktion kann in zwei reellwertige Funktionen aufgespalten werden. Das heißt, es existieren Funktionen u,v \colon \R^n \to \R^m, sodass h = u + i v gilt. Die Funktionen u und v kann man nun wieder gewöhnlich partiell differenzieren und in einer Matrix anordnen. Seien z := (z_1, \ldots , z_n) die Koordinaten in \C^n und setze z_j := x_j + i y_j für alle j. Die 2m \times 2n -Jacobi-Matrix J_h^\R(z) der holomorphen Funktion h am Punkt z \in V ist dann definiert durch

J_h^\R(z) := \begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1 (z)}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial u_1 (z)}{\partial x_n} & \frac{\partial u_1 (z)}{\partial y_1} & \cdots & \frac{\partial u_1(z)}{\partial y_n}\\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial u_m (z)}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial u_m (z)}{\partial x_n} & \frac{\partial u_m (z)}{\partial y_1} & \cdots & \frac{\partial u_m(z)}{\partial y_n}\\
\frac{\partial v_1 (z)}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial v_1 (z)}{\partial x_n} & \frac{\partial v_1 (z)}{\partial y_1} & \cdots & \frac{\partial v_1(z)}{\partial y_n}\\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial v_m (z)}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial v_m (z)}{\partial x_n} & \frac{\partial v_m (z)}{\partial y_1} & \cdots & \frac{\partial v_m(z)}{\partial y_n}
\end{pmatrix}.

Gilt bei den Jacobi-Matrizen für holomorphe Funktionen m = n, so kann man natürlich die Determinanten der beiden Matrizen betrachten. Diese beiden Determinanten stehen in Beziehung zueinander. Es gilt nämlich

\det\left(J_h^\R(z)\right) = \left|\det(J_h^\C(z))\right|^2.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]