Fatou-Bieberbach-Gebiet

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Ein Fatou-Bieberbach-Gebiet ist ein echtes Teilgebiet von \C^n, welches biholomorph äquivalent ist zu \C^n, d.h. ein offenes \Omega \subset \C^n \; (\Omega \neq \C^n) heißt Fatou-Bieberbach-Gebiet, falls es eine bijektive holomorphe Funktion f:\Omega \rightarrow \C^n und eine holomorphe Umkehrfunktion f^{-1}:\C^n \rightarrow \Omega gibt.

Geschichte[Bearbeiten]

Als Konsequenz des Riemannschen Abbildungssatzes gibt es im Falle n = 1 keine Fatou-Bieberbach-Gebiete. In höheren Dimensionen wurden Fatou-Bieberbach-Gebiete erstmals in den 1920er-Jahren von Pierre Fatou und Ludwig Bieberbach entdeckt und später nach ihren Entdeckern benannt. Seit den 1980er-Jahren sind Fatou-Bieberbach-Gebiete wieder Gegenstand der mathematischen Forschung.

Quellen[Bearbeiten]

  • Pierre Fatou: Sur les fonctions méromorphes de deux variables, Sur certaines fonctions uniformes de deux variables. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, Band 175 (1922), S. 862-865, 1030-1033.
  • Ludwig Bieberbach: Beispiel zweier ganzer Funktionen zweier komplexer Variablen, welche eine schlichte volumtreue Abbildung des \mathcal{R}_4 auf einen Teil seiner selbst vermitteln. Preussische Akademie der Wissenschaften. Sitzungsberichte, 1933, S. 476-479.
  • J.-P. Rosay, W. Rudin: Holomorphic maps from \C^n to \C^n. Transactions of the American Mathematical Society, Band 310 (1988), Heft 1, S. 47–86.