Freie Wahrscheinlichkeitstheorie

Die freie Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das 1985 von Dan Voiculescu begründet wurde. Die Theorie entsprang der Suche nach einem besseren Verständnis von gewissen Algebren von Operatoren auf Hilberträumen. Voiculescu isolierte dabei das Konzept „freeness“ oder „freie Unabhängigkeit“ als wesentliche Struktur und initiierte die freie Wahrscheinlichkeitstheorie als die Untersuchung dieser Struktur, losgelöst von ihrem konkreten Auftreten bei Operatoralgebren. Eine grundlegende Idee dabei ist, die freie Unabhängigkeit in Analogie zum Konzept der Unabhängigkeit von stochastischen Zufallsvariablen zu sehen und die Theorie in diesem Sinne als eine Art von Wahrscheinlichkeitstheorie für nicht-kommutierende Variable zu entwickeln. Die Entdeckung von Voiculescu (1991), dass auch große Klassen von Zufallsmatrizen asymptotisch frei werden, markierte den Übergang der freien Wahrscheinlichkeitstheorie von einer hochspezialierten Theorie für gewisse Operatoralgebren zu einer fundamentalen Theorie mit weitem Anwendungskreis. Insbesondere liefert die freie Wahrscheinlichkeitstheorie neue Methoden zur Berechnung von Eigenwertverteilungen von Zufallsmatrizen, welche auch von Interesse in angewandten Gebieten, wie z. B. der drahtlosen Kommunikation sind.

Notation: nicht-kommutativer Wahrscheinlichkeitsraum und Zufallsvariable

Ein nicht-kommutativer Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Tupel $(A,\varphi)$ bestehend aus einer unitären $\mathbb{C}$-Algebra $A$ und einem linearen Funktional $\varphi:A \rightarrow \mathbb{C}$ mit $\varphi(1)=1$.

Man spricht die Elemente in der Algebra $A$ als verallgemeinerte (oder nicht-kommutative) Zufallsvariablen an.

Definition: Freeness oder freie Unabhängigkeit

An die Stelle der stochastischen Unabhängigkeit tritt in der freien Wahrscheinlichkeitstheorie der Begriff der Freeness oder freien Unabhängigkeit, der wie folgt definiert ist:

Sei $I$ eine beliebige Indexmenge.

1) Sei $\left(A_i\right)_{i\in I}$ eine Familie von unitären Unteralgebren von $A$. Dann heißen die $A_i$ frei (oder frei unabhängig), falls gilt:

$\varphi(a_1a_2...a_k)=0$

für alle $k \in \mathbb{N}$ und alle $a_j\in A_{i(j)}$ wobei der Index $j$ von $1$ bis $k$ läuft und zusätzlich $\varphi(a_j)=0$ und $i(1)\ne i(2) \ne ...\ne i(k)$ gelten muss. Dies bedeutet, dass benachbarte Elemente nicht aus der gleichen Unteralgebra stammen und dass die Elemente jeweils zentriert sind.

2) Zufallsvariablen $b_i\in A$ für $i\in I$ heißen frei, falls die von ihnen erzeugten unitären Unteralgebren frei sind.

3) Hat man eine Folge von Unteralgebren oder Zufallsvariable, und gelten die obigen Relationen nur asymptotisch, so spricht man von asymptotischer freier Unabhängigkeit.

Freeness als Regel zur Berechnung gemischter Momente

Man beweist nun leicht durch Induktion folgende fundamentale Beobachtung: Sind die Unteralgebren $A_i$ frei bzgl. $\varphi$, dann sind die Werte von $\varphi$ auf der von den $A_i$ erzeugten Algebra eindeutig bestimmt durch die Werte aller Einschränkungen von $\varphi$ auf die $A_i$ und durch die freeness Bedingung. In diesem Sinne sind die gemischten Momente von freien Zufallsvariablen durch die Momente der einzelnen Zufallsvariablen bestimmt. Falls $A$ und $B$ frei sind, so hat man z. B. für $a_1,a_2\in A$ und $b,b_1,b_2\in B$ dass

$\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$

$\varphi(a_1ba_2)=\varphi(a_1a_2)\varphi(b)$

$\varphi(a_1b_1a_2b_2)=\varphi(a_1a_2)\varphi(b_1)\varphi(b_2)+\varphi(a_1)\varphi(a_2)\varphi(b_1b_2)-\varphi(a_1)\varphi(b_1)\varphi(a_2)\varphi(b_2)$

Diese Beispiele zeigen, dass die freie Unabhängigkeit wie die klassische Unabhängigkeit als eine Regel zur Berechnung von gemischten Momenten angesehen werden kann; allerdings ist diese Regel anders als die klassische. Die freie Unabhängigkeit ist also analog zur klassischen Unabhängigkeit zu sehen, sie ist aber keine Verallgemeinerung davon. Insbesondere können klassische Zufallsvariable nur frei sein, wenn mindestens eine der Zufallsvariablen konstant ist. Die freie Unabhängigkeit ist ein intrinsisch nicht-kommutatives Konzept.

Der freie zentrale Grenzwertsatz

Sei $(A,\varphi)$ ein nicht-kommutativer Wahrscheinlichkeitsraum und $a_1,a_2, \dots \in A$ eine Folge von identisch verteilten und freien Zufallsvariablen, mit Mittelwert $\varphi(a_i)=0$ und Varianz $\varphi(a_i^2)=1$. Dann konvergiert

$S_N:=\frac{a_1+\cdots +a_N}{\sqrt N}$

in Verteilung gegen ein Halbkreiselement, d.h. für all natürlichen $n$ gilt:

$\lim_{N\to\infty}\varphi(S_N^n)=\frac 1{2\pi}\int_{-2}^{+2}t^n \sqrt{4-t^2}dt$.

Weitere freie stochastische Resultate

Der freie zentrale Grenzwertsatz ist nur ein Beispiel einer sehr reichhaltigen freien Wahrscheinlichkeitstheorie, parallel zur klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie. So hat man die binäre Operation $\boxplus$ der freien Faltung auf den reellen Wahrscheinlichkeitsmassen; diese entspricht der Addition von freien Zufallsvariablen. Die R-Transformation ist die Entsprechung des Logarithmus der Fouriertransformation und erlaubt eine systematische und effektive Berechnung der freien Faltung von Wahrscheinlichkeitsmassen. Die entsprechenden multiplikativen Versionen sind gegeben durch die multiplikative freie Faltung $\boxtimes$ (welche dem Produkt von freien Zufallsvariablen entspricht) und die S-Transformation.

Die Koeffizienten der R-Transformation, die sogenannten freien Kumulanten haben eine kombinatorische Interpretation in nicht-kreuzenden Partitionen. Letztere erlauben einen kombinatorischen Zugang zur freien Wahrscheinlichkeitstheorie.

Zusammenhang mit Zufallsmatrizen

Die Tatsache, dass die Halbkreisverteilung nicht nur als Grenzwert im freien zentralen Grenzwertsatz auftaucht, sondern auch in Wigners Halbkreisgesetz als die asymptotische Verteilung der Eigenwerte von Gaußschen Zufallsmatrizen, deutete auf einen tieferen Zusammenhang zwischen freier Wahrscheinlichkeitstheorie und Zufallsmatrizen. Voiculescu verfolgte diesen Zusammenhang weiter und konnte 1991 zeigen, dass freie Unabhängigkeit bei großen Klassen von Zufallsmatrizen asymptotisch auftritt:

Seien $A_N$ und $B_N$ zwei Folgen von $N\times N$-Matrizen in den nicht-kommutativen Wahrscheinlichkeitsräumen $(M_N(\mathbb{C}),tr_N)$, mit jeweils existierender Grenzwertverteilung, d.h. für alle natürlichen $n$ existieren die Grenzwerte $\lim_{N\to\infty}\varphi(A_N^n)$ und $\lim_{N\to\infty}\varphi(B_N^n).$ Sei $U_N$ eine unitäre Zufallsmatriz, verteilt gemäß dem normierten Haar Mass auf den unitären Matrizen. Dann sind $A_N$ und $U_NB_NU_N^*$ fast sicher asymptotisch frei.

Literatur

• Alexandru Nica, Roland Speicher: Lectures on the Combinatorics of Free Probability (= London Mathematical Society Lecture Note Series. Bd. 335). Cambridge University Press, Cambridge u. a. 2006, ISBN 0-521-85852-6.
• Fumio Hiai, Dénes Petz: The Semicircle Law, Free Random Variables, and Entropy (= Mathematical Surveys and Monographs. Bd. 77). American Mathematical Society, Providence RI 2000, ISBN 0-8218-2081-8.
• D. V. Voiculescu, K. J. Dykema, A. Nica: Free random variables. A noncommutative probability approach to free products with applications to random matrices, operator algebras and harmonic analysis on free groups (= CRM Monograph Series. Bd. 1). American Mathematical Society, Providence RI 1992, ISBN 0-8218-6999-X.

Weblinks

• Voiculescu receives NAS award in mathematics (PDF-Datei; 45 kB)
• RMTool – A MATLAB based free probability calculator.
• Übersichtsartikel von Roland Speicher