Geschlossene Mannigfaltigkeit

Eine geschlossene Mannigfaltigkeit ist eine kompakte topologische Mannigfaltigkeit ohne Rand. Falls im Kontext eine Mannigfaltigkeit ohne Rand vorgegeben ist, so ist eine kompakte Mannigfaltigkeit automatisch eine geschlossene.

Das einfachste Beispiel ist ein Kreis mit der induzierten kanonischen offenen Topologie des $\mathbb{R}^2$. Dieser kann auch als kompakte eindimensionale Mannigfaltigkeit ohne Rand angesehen werden. Andere Beispiele für geschlossene Mannigfaltigkeiten sind die Kleinsche Flasche und der Torus.

Gegenbeispiel sind die reelle Zahlengerade, da diese nicht kompakt ist und die zweidimensionale Kreisscheibe. Letztere ist zwar kompakt, hat aber einen Rand.

Der Begriff der geschlossenen Mannigfaltigkeit darf nicht mit dem Begriff einer abgeschlossenen Menge verwechselt werden. So ist jede topologische Mannigfaltigkeit auch automatisch abgeschlossen, wie obige Beispiele zeigen, aber nicht notwendigerweise auch geschlossen.

Literatur

• Michael Spivak: A Comprehensive Introduction to Differential Geometry. Volume 1. 3rd edition with corrections. Publish or Perish, Houston TX 2005, ISBN 0-914098-70-5.