Projektiver Raum

Der projektive Raum ist in der Mathematik ein grundlegender Begriff sowohl der Differentialgeometrie als auch der algebraischen Geometrie. Geometrisch kann man den projektiven Raum als projektive Erweiterung des affinen Raumes auffassen. Bei dieser Erweiterung fügt man zu den Punkten des Raumes für jede Schar paralleler Geraden im affinen Raum jeweils ihre Richtung als neuen Punkt (Fernpunkt) hinzu. Damit entfallen in Sätzen und Beweisen viele Fallunterscheidungen, die in der affinen Formulierung aufgrund der Parallelität nötig sind. In der Koordinatendarstellung geschieht diese Erweiterung, indem im affinen Raum homogene Koordinaten eingeführt werden und die Einschränkung, dass die dabei zusätzlich eingeführte Koordinate nicht 0 sein darf, fallengelassen wird. So gelangt man zu einem projektiven Koordinatensystem des projektiven Raumes.

Für projektive Räume gilt ein Dualitätsprinzip.

Definition

Der reell-projektive Raum $\R P^n$ ist die Menge aller Geraden durch den Nullpunkt im $\R^{n+1}$. Formal definiert man dies wie folgt.

Auf $\R^{n+1}\setminus\{0\}$ sei die Äquivalenzrelation

$x \sim y \Leftrightarrow \exists \lambda \in \R\setminus\{0\}\colon x = \lambda y$

definiert. In Worten heißt dies, dass $x$ genau dann äquivalent zu $y$ ist, wenn es ein $\lambda \in \R\setminus\{0\}$ gibt, so dass $x = \lambda y$ gilt. Alle Punkte auf einer Geraden durch den Ursprung – der Ursprung ist nicht enthalten – werden also miteinander identifiziert und nicht mehr unterschieden. Der Quotientenraum $\left(\R^{n+1}\setminus\{0\}\right)/\sim$ wird reeller, $n$-dimensionaler projektiver Raum genannt und mit $\R P^{n}$ notiert.

Im Fall $n=1$ spricht man von der projektiven Gerade (auch: projektive Linie) und im Fall $n=2$ von einer projektiven Ebene.

Wählt man statt $\R^{n+1}$ den komplexen Vektorraum $\C^{n+1}$, so erhält man mit der analogen Definition mit $\lambda \in \C\setminus\{0\}$ den komplex projektiven Raum der (komplexen) Dimenson $n$ als den Raum der komplex 1-dimensionalen Unterräume des $\C^{n+1}$.

Die Koordinaten der Punkte des Projektiven Raums, welche ja Äquivalenzklassen von Punkten $(x_0,\ldots,x_n)\in\R^{n+1}$ sind, werden durch $[x_0 : \ldots : x_n] \in \R P^n$ notiert und heißen homogene Koordinaten. (Entsprechend für den komplex-projektiven Raum.) Für n=1 definiert die Abbildung $[x_0:x_1]\rightarrow \frac{x_0}{x_1}$ eine Bijektion zwischen $\R P^1$ und $\R\cup\left\{\infty\right\}$.

Allgemeiner können auch projektive Räume über beliebigen anderen Körpern (an Stelle von $\R$ bzw. $\C$) konstruiert werden.

Ein allgemeinerer Begriff des projektiven Raumes wird in der synthetischen Geometrie verwendet, vor allem für den Fall $n=2$ die projektive Ebene. Die Axiomatik dieses allgemeineren Begriffes wird im Hauptartikel Projektive Geometrie dargestellt.

Projektive lineare Gruppe (Kollineationen)

→ Hauptartikel: Projektive Abbildung

Die Projektive Lineare Gruppe PGL(n+1,R) ist die Gruppe der invertierbaren projektiven Abbildungen, sie ist definiert als Quotient von GL(n+1,R) unter der Äquivalenzrelation

$A \sim B \Leftrightarrow \exists \lambda \in \R\setminus\{0\}\colon A = \lambda B$.

Die Wirkung von GL(n+1,R) auf $\left(\R^{n+1}\setminus\{0\}\right)$ gibt eine wohl-definierte Wirkung von PGL(n+1,R) auf $\R P^n$. Die den Elementen $A\in PGL(n+1,\mathbb R)$ entsprechenden Abbildungen $A:\R P^n\rightarrow\R P^n$ sind Kollineationen, d.h. sie bilden Geraden in Geraden ab und erhalten die Inzidenzstruktur.

Analog definiert man eine Wirkung von PGL(n+1,C) auf $\C P^n$.

Im Fall der projektiven Gerade wirkt PGL(2,R) auf $\R P^1$ durch gebrochen-lineare Transformationen. Nach der Identifikation von $\R P^1$ mit $\R\cup\left\{\infty\right\}$ (bzw. $\C P^1$ mit $\C\cup\left\{\infty\right\}$) wirkt PGL(2,R) bzw. PGL(2,C) durch $\left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) z = \frac{az+b}{cz+d}$.

Beispiel: Riemann'sche Zahlenkugel

Stereographische Rückprojektionen der komplexen Zahlen $A$ und $B$ auf die Punkte $\alpha$ und $\beta$ der Riemann'schen Zahlenkugel

Die komplex-projektive Gerade ist nach obiger Definition gerade die Menge der komplexen Geraden in $\mathbb C^2$, welche durch den Ursprung $(0, 0) \in \mathbb C^2$ gehen.

Die komplex-projektive Gerade kann man auch als die reell-zweidimensionale Sphäre beziehungsweise Riemann'sche Zahlenkugel

$S^2=\{(x, y, z) \in \mathbb R^3, x^2+y^2+z^2=1 \}$

auffassen. Die Übereinstimmung mit obigen Begriffen ergibt sich wie folgt: Bezeichne mit $N := (0, 0, 1) \in S^2$ den "Nordpol". Betrachte die stereographische Projektion

$f : S^2 \setminus \{ N \} \rightarrow \mathbb R^2 \cong \mathbb C,$

welche durch $\textstyle (x, y, z) \mapsto \left(\frac{x}{1-z}, \frac{y}{1-z} \right) = \frac{x + iy}{1-z}$ gegeben ist. Anschaulich legt man durch $(x, y, z)$ und den Nordpol eine (reelle) Gerade und wählt den Schnittpunkt dieser Geraden mit der Äquatorebene als Bildpunkt der Abbildung, wobei der Nordpol mit $\infty$ identifiziert wird. Die Korrespondenz zwischen $S^2$ und $\mathbb C P^1$ in homogenen Koordinaten ist dann $(x, y, z) \mapsto \left[1 : \frac{x+iy}{1-z}\right] = [1-z : x + iy]$.

Eigenschaften

• Die reellen und komplexen projektiven Räume sind kompakte Mannigfaltigkeiten. Die oben erwähnten Abbildungen sind Abbildungen von Mannigfaltigkeiten.
• Der projektive Raum ist ein Beispiel für eine nicht affine algebraische Varietät bzw. ein nicht affines Schema. Im algebraisch-geometrischen Kontext kann man anstelle der reellen oder komplexen Zahlen jeden beliebigen Körper einsetzen.
• Untermannigfaltigkeiten bzw. -varietäten des projektiven Raums werden als projektive Mannigfaltigkeiten bzw. projektive Varietäten bezeichnet.

Topologie

Die Projektive Gerade $\R P^1$ ist homöomorph zum Kreis $S^1$. Für $n>1$ ist die Fundamentalgruppe des projektiven Raums $\R P^n$ die Gruppe Z/2Z, die 2-fache Überlagerung des $\R P^n$ ist die Sphäre $\mathbb{S}^n$.

Für ungerade n ist der $\R P^n$ orientierbar, für gerade n ist er nicht orientierbar.

Die Projektive Ebene $\R P^2$ ist eine nicht-orientierbare Fläche, die sich nicht in den $\R^3$ einbetten läßt. Es gibt aber Immersionen des $\R P^2$ in den $\R^3$, zum Beispiel die sogenannte Boysche Fläche.

Die komplex-projektive Gerade $\C P^1$ ist homöomorph zur Sphäre $S^2$, die quaternionisch-projektive Gerade $\H P^1$ ist homöomorph zur $S^4$, die Cayley-projektive Gerade $Ca P^1$ homöomorph zur $S^8$..

Alle komplex- oder quaternionisch-projektiven Räume sind einfach zusammenhängend.

Die Hopf-Faserungen bilden (für $\mathbb K=\C, \H, Ca$) jeweils die Einheitssphäre in $\mathbb K^2$ auf $\mathbb KP^1$ ab, die Faser ist die Einheitssphäre in $\mathbb K^1$. Man erhält auf diese Weise Faserungen

$S^1\rightarrow S^3\rightarrow S^2, S^3\rightarrow S^7\rightarrow S^4, S^7\rightarrow S^{15}\rightarrow S^8$.

Diese Faserungen haben Hopf-Invariante 1.

Projektive Teilräume und abgeleitete Räume

In diesem Abschnitt wird im Sinne der obigen allgemeineren Definition von einem $n-$ dimensionalen projektiven Raum $KP^n$ über einem beliebigen Körper $K$ ausgegangen, die Punkte des Raumes können also als eindimensionale Untervektorräume von $K^{n+1}$ angesehen werden.

• Jedem $k+1$-dimensionalen Unterraum $(-1\leq k\leq n)$ von $K^{n+1}$ ist ein $k$-dimensionaler projektiver Teilraum $S^k$ von $KP^n$ zugeordnet. Man nennt $S^k$ auch eine (verallgemeinerte, projektive) Ebene, für $k=n-1$ Hyperebene, für $k=1$ Gerade in $KP^n$. Auch die leere Menge wird hier als projektiver Teilraum betrachtet, dem der Nullraum von $K^{n+1}$ und als Dimension $-1$ zugeordnet wird.
• Die Schnittmenge von zwei projektiven Teilräumen ist wiederum ein projektiver Teilraum.
• Bildet man zu den Unterräumen, die zwei projektiven Räumen $S_1$ und $S_2$ zugeordnet sind, die lineare Hülle ihrer Vereinigungsmenge in $K^{n+1}$, so gehört zu diesem Untervektorraum wieder ein projektiver Teilraum, der Verbindungsraum $S_1\vee S_2$ (auch als Summe $S_1+ S_2$ notiert) von $S_1$ und $S_2$.
• Für Schnitt und Verbindung von projektiven Teilräumen gilt die projektive Dimensionsformel:

$\operatorname{dim}(S_1)+\operatorname{dim}(S_2)=\operatorname{dim}(S_1\vee S_2)+\operatorname{dim}(S_1\cap S_2)$.

• Die Menge $\mathcal{P}^n$ aller Teilräume des projektiven Raumes $KP^n$ bildet bezüglich der Verknüpfungen "Schnitt" $\cap$ und "Verbindung" $\vee$ einen längenendlichen, modularen, komplementären Verband.
• Jedem projektiven Punkt kann über seine Koordinaten eine homogene Koordinatengleichung zugeordnet werden, deren Lösungsmenge eine Hyperebene beschreibt. Durch die so definierten Hyperebenenkoordinaten bilden die Hyperebenen in $KP^n$ wiederum Punkte eines projektiven Raumes, des Dualraums $(KP^n)^D$.(→ siehe dazu Projektives Koordinatensystem#Koordinatengleichungen und Hyperebenenkoordinaten).
• Allgemeiner bildet die Menge der Hyperebenen, die einen festen $k$-dimensionalen Teilraum $S$ enthalten, einen projektiven Raum, den man als Bündel, im Spezialfall $k=n-2$ als Büschel von Hyperebenen bezeichnet. $S$ heißt Träger des Bündels oder Büschels.

Literatur

• Albrecht Beutelspacher, Ute Rosenbaum: Projective geometry: from foundations to applications, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-48277-6
• Hermann Schaal: Lineare Algebra und analytische Geometrie, Band II, Vieweg 1980, ISBN 3-528-13057-1

Weblinks

• projective space in der Encyclopaedia of Mathematics