Torus

Torus

Ein Torus (lat. torus, „Wulst“, Plural: Tori) ist ein wulstartig geformtes geometrisches Gebilde, das mit der Form eines Rettungsringes, Schwimmreifens oder Donuts verglichen werden kann. Genauer werden drei verwandte Begriffe unterschieden:

Eingebetteter Torus

Eine Fläche, nämlich die Oberfläche eines Volltorus (s. u.) (beispielsweise eines Reifens oder Donuts) als Teilmenge des dreidimensionalen Raumes.

Flacher Torus

Aus topologischer Sicht das Gleiche wie ein eingebetteter Torus, jedoch nicht gekrümmt und deshalb nicht als Teilmenge des dreidimensionalen Raumes beschreibbar, sondern als Quotientenraum der Ebene oder als kartesisches Produkt zweier Kreise.

Volltorus

Ein Körper, nämlich ein gefüllter eingebetter Torus (s. o.) (beispielsweise ein Reifen) als Teilmenge des dreidimensionalen Raumes.

Eingebettete Tori

Ein eingebetteter Torus kann als Menge der Punkte beschrieben werden, die von einer Kreislinie mit Radius R den Abstand r < R haben.

Toruskoordinaten

Man kann in der Torusoberfläche, die topologisch eine Fläche von Geschlecht 1 ist (d. h. sie besitzt ein Loch), eine toroidale Koordinate t und eine dazu senkrechte poloidale Koordinate p einführen. Man kann sich die Oberfläche durch einen Kreis entstanden vorstellen, der um eine Achse, die in der Kreisebene liegt, rotiert wird. Den Radius des ursprünglichen Kreises nennen wir r, dieser Kreis bildet auch gleichzeitig eine Koordinatenlinie von p. Der Abstand des Kreismittelpunkts von der Achse wird hier R genannt, die Koordinatenlinien von t sind Kreise um die Drehachse. Beide Koordinaten sind Winkel und laufen von 0 bis 2π.

Eine mögliche Umrechnung in kartesische (dreidimensionale) Koordinaten ist ($\vec X$ ist hier der Ortsvektor)

$\vec X(t,p) = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = R \cdot \begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} \cos(t) \cdot \cos(p) \\ \sin(t) \cdot \cos(p) \\ \sin(p) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} (R + r \cdot \cos(p)) \cos(t) \\ (R + r \cdot \cos(p)) \sin(t) \\ r \cdot \sin(p) \end{pmatrix}$

Man gewinnt diese Darstellung z.B. aus den Parametrisierungen des Ortsvektors in der x-y-Ebene und x-z-Ebene.

Volumen, Oberfläche und Trägheitsmoment

Da der Torus ein Rotationskörper ist, kann man Volumen und Oberfläche mittels der guldinschen Regel berechnen. Ganz simpel gesehen ist ein Torus ein vollständig gekrümmter Kreiszylinder. Dessen Mantelfläche und Volumen verändern sich während des „knickfreien Biegens“ nicht, denn die Innenseite wird dabei um den gleichen Faktor linear gestaucht, um den die Außenseite gedehnt wird – entsprechend den Abständen der rechteckigen Zylinderquerschnitte zum großen Zylinderquerschnitt, der durch die Schwerpunkte der Zylinderkreise verläuft und parallel zur Torusachse ist (siehe: Prinzip von Cavalieri).

Die nach außen zeigende Flächennormale ist in kartesischen Koordinaten

$\vec n \ = \ \frac{\mathrm d\vec X}{\mathrm dt} \ \times \ \frac{\mathrm d\vec X}{\mathrm dp} \ = \ \begin{pmatrix} \cos(t) \cdot \cos(p) \\ \sin(t) \cdot \cos(p) \\ \sin(p) \end{pmatrix} \cdot r \cdot(r \cdot \cos(p) + R)$

Das Flächenelement ist

$\mathrm dA = |\vec n| \cdot \mathrm dt \cdot \mathrm dp = r \cdot \ (r \cdot \cos(p) + R) \cdot \mathrm dt \cdot \mathrm dp$

Durch Integration erhält man die Oberfläche des Torus:

$A_O = \int_{t=0}^{2\pi} \int_{p=0}^{2\pi} \mathrm dA = 4\pi^2 \cdot R \cdot r { \color{OliveGreen} \ = \frac{\mathrm dV}{\mathrm dr} }$

Eine Teilfläche des Torus erhält man durch Integration in den Grenzen t₁ bis t₂ (horizontal) und p₁ bis p₂ (vertikal):

$A_O = \int_{t_1}^{t_2} \int_{p_1}^{p_2} r \cdot \ (r \cdot \cos(p) + R) \cdot \mathrm dp \cdot \mathrm dt$

ergibt

$A_O = (t_2 - t_1) \cdot [r^2 \cdot(\sin(p_2) - \sin(p_1)) + r \cdot R \cdot (p_2 - p_1)]$

Zur Berechnung des Volumens des Volltorus setzt man statt r die Variable r' ein und lässt sie von 0 (zu Kreis entarteter Torus, kein Volumen) bis r variieren:

$V = \int_{r'=0}^r A_O(r') \mathrm dr' = 4\pi^2 \cdot R \cdot \int_{r'=0}^r r' \mathrm dr' = 2\pi^2 \cdot R \cdot r^2$

Das Torusvolumen ist das Integral der Oberfläche (über r).

Trägheitsmoment eines Volltorus

Das Trägheitsmoment um die z-Achse (also die Symmetrieachse) kann durch

I =	∫	(x2 + y2)d3x
	T

berechnet werden. Nun kann man die Transformation auf Toruskoordinaten durchführen. Dabei kommt zusätzlich die Jacobi Determinante ins Integral.

$I = \int_{t=0}^{2\pi} \int_{p=0}^{2\pi} \int_{r'=0}^{r} |\det J_{Torus} | \cdot (R+r' \cdot \cos(p))^2 \mathrm dr' = \int_{t=0}^{2\pi} \int_{p=0}^{2\pi} \int_{r'=0}^{r} r' \cdot (R+r' \cdot \cos(p))^3 \mathrm dr' \cdot \mathrm dp \cdot \mathrm dt$

Mit partiellem Integrieren erhält man:

$I = 2 \pi^2 \cdot R \cdot r^2 \left (\frac{3}{4} \cdot r^2+R^2 \right)$

Algebraische Gleichung

Der Rotationstorus lässt sich auch durch die folgende Gleichung in den Koordinaten x,y,z beschreiben:

(R² − r²)² + 2R²(z² − x² − y²) − 2r²(x² + y² + z²) + (x² + y² + z²)² = 0

oder

(x² + y² + z² + R² − r²)² − 4R²(x² + y²) = 0.

Sie lässt sich beispielsweise aus der Gleichung

$\left(\sqrt{x^2+y^2}-R \right)^2+z^2 = r^2$

herleiten, die sich aus dem Satz des Pythagoras ergibt.

Typen von Tori

Die drei verschiedenen Typen von Tori: Spindeltorus, Horntorus, Ringtorus.

Flache Tori

Modell eines flachen Torus: das Papier muss nur gebogen, nicht gestreckt werden

Ein flacher Torus kann beschrieben werden durch ein Parallelogramm, dessen gegenüberliegende Seiten zusammengeklebt werden. Äquivalent dazu können flache Tori als topologische Faktorgruppen $\mathbb R^2/(\mathbb Z\cdot v+\mathbb Z\cdot w)$ für zwei linear unabhängige Vektoren $v,w\in\mathbb R^2$ beschrieben werden. Im Spezialfall v = (1,0) und w = (0,1) erhält man den Quotienten $\mathbb R^2/\mathbb Z^2\cong(\mathbb R/\mathbb Z)^2$.

Diese Tori heißen flach, weil ihre Metrik lokal der Metrik der Ebene entspricht und ihre Schnittkrümmung deshalb verschwindet.

Elliptische Kurven über den komplexen Zahlen sind (mit einer translationsinvarianten Metrik) Beispiele für flache Tori.

Torustopologie

Im Gegensatz zur Oberfläche einer Kugel kann der Torus ohne Singularitäten auf einer ebenen, rechteckigen Fläche abgebildet werden.

Dabei wird die rechte Kante des Rechtecks oder Quadrates mit seiner linken Kante verheftet, und seine untere Kante wird mit seiner oberen Kante verheftet. Diese Topologie besitzen auch viele Computerspiele, zum Beispiel Pacman oder das Game of Life.

Volltori

Eingebettete Volltori lassen sich wie eingebettete Tori beschreiben, in der oben angegebenen Parameterdarstellung ist lediglich r durch einen Parameter ρ mit Wertebereich $0\leq\rho\leq r$ zu ersetzen. Topologisch ist ein Volltorus homöomorph zum kartesischen Produkt $D^2\times S^1$ der Kreisscheibe mit der Kreislinie.

Die 3-Sphäre, also der dreidimensionale Raum zusammen mit einem unendlich fernen Punkt, lässt sich als Vereinigung zweier Volltori, die sich lediglich in ihrer Oberfläche überlappen, darstellen. Man erhält sie beispielsweise aus der Hopf-Faserung, indem man den Basisraum S² als Vereinigung von Nord- und Südhalbkugel auffasst; über beiden Hälften ist die Faserung trivial. Die Zerlegung der 3-Sphäre in zwei Volltori wird beispielsweise bei der Konstruktion der Reeb-Blätterung ausgenutzt.

Eigenschaften des 3-Torus

Höherdimensionale Tori

Beim dreidimensionalen Torus oder 3-Torus handelt es sich um einen Quader oder Würfel, dessen sechs gegenüberliegende Flächen paarweise miteinander verheftet sind.

Beim vierdimensionalen Torus oder 4-Torus handelt es sich um einen Tesserakt, dessen acht gegenüber liegende Würfel paarweise miteinander verheftet sind.

Allgemein ist der n-dimensionale Torus ein n-dimensionaler Würfel [0,1]ⁿ, dessen gegenüberliegende (n-1)-Hyperwürfel paarweise miteinander identifiziert sind. Man kann ihn auch als $\mathbb R^n/\mathbb Z^n$ darstellen.

Das (n+1)-dimensionale „Volumen“ eines n-Torus ist

$2 \cdot R \cdot r^n \frac{\pi^{\frac{n}{2}+1}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}$,

die n-dimensionale „Oberfläche“

$2 \cdot n \cdot R \cdot r^{n-1} \frac{\pi^{\frac{n}{2}+1}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}$.

Weblinks

 Wiktionary: Torus – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Animierter Torus bei EXOPAS