Torus

Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig. Weitere Bedeutungen sind unter Torus (Begriffsklärung) aufgeführt.

Torus

Ein Torus (Plural Tori; von lateinisch torus ‚Wulst‘) ist ein wulstartig geformtes geometrisches Gebilde, das mit der Form eines Rettungsringes, Schwimmreifens oder Donuts verglichen werden kann. Genauer werden drei verwandte Begriffe unterschieden:

Eingebetteter Torus: Eine Fläche, nämlich die Oberfläche eines Volltorus (siehe unten) (beispielsweise eines Reifens oder Donuts) als Teilmenge des dreidimensionalen Raumes.
Flacher Torus: Aus topologischer Sicht das Gleiche wie ein eingebetteter Torus, jedoch nicht gekrümmt und deshalb nicht als Teilmenge des dreidimensionalen Raumes beschreibbar, sondern als Quotientenraum der Ebene oder als kartesisches Produkt zweier Kreise.
Volltorus: Ein Körper, nämlich ein gefüllter eingebetteter Torus (siehe oben) (beispielsweise ein Reifen) als Teilmenge des dreidimensionalen Raumes.

Eingebettete Tori [Bearbeiten]

Ein eingebetteter Torus kann als Menge der Punkte beschrieben werden, die von einer Kreislinie mit Radius $R$ den festen Abstand r haben, wobei $r<R$ ist.

Toruskoordinaten [Bearbeiten]

Man kann in der Torusoberfläche, die topologisch eine Fläche von Geschlecht 1 ist (d. h. sie besitzt ein Loch), eine toroidale Koordinate $t$ und eine dazu senkrechte poloidale Koordinate $p$ einführen. Die Oberfläche kann man sich vorstellen als durch einen Kreis entstanden, der um eine Achse rotiert wird, die in der Kreisebene liegt. Den Radius des ursprünglichen Kreises nennen wir $r$ , dieser Kreis bildet auch gleichzeitig eine Koordinatenlinie von $p$ . Der Abstand des Kreismittelpunkts von der Achse wird hier $R$ genannt, die Koordinatenlinien von $t$ sind Kreise um die Drehachse. Beide Koordinaten sind Winkel und laufen von 0 bis $2\pi$ .

Eine mögliche Umrechnung in kartesische (dreidimensionale) Koordinaten ist ( $\vec X$ ist hier der Ortsvektor)

$\vec X(t,p) = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = R \cdot \begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} \cos(t) \cdot \cos(p) \\ \sin(t) \cdot \cos(p) \\ \sin(p) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} (R + r \cdot \cos(p)) \cos(t) \\ (R + r \cdot \cos(p)) \sin(t) \\ r \cdot \sin(p) \end{pmatrix}$

Man gewinnt diese Darstellung z. B. aus den Parametrisierungen des Ortsvektors in der x-y-Ebene und x-z-Ebene.

Volumen und Oberfläche [Bearbeiten]

Da der Torus ein Rotationskörper ist, kann man Volumen und Oberfläche mittels der guldinschen Regel berechnen. Ganz simpel gesehen ist ein Torus ein vollständig gekrümmter Kreiszylinder. Dessen Mantelfläche und Volumen verändern sich während des „knickfreien Biegens“ nicht, denn die Innenseite wird dabei um den gleichen Faktor linear gestaucht, um den die Außenseite gedehnt wird – entsprechend den Abständen der rechteckigen Zylinderquerschnitte zum großen Zylinderquerschnitt, der durch die Schwerpunkte der Zylinderkreise verläuft und parallel zur Torusachse ist (siehe Prinzip von Cavalieri).

Die nach außen zeigende Flächennormale ist in kartesischen Koordinaten

$\vec n \ = \ \frac{\mathrm d\vec X}{\mathrm dt} \ \times \ \frac{\mathrm d\vec X}{\mathrm dp} \ = \ \begin{pmatrix} \cos(t) \cdot \cos(p) \\ \sin(t) \cdot \cos(p) \\ \sin(p) \end{pmatrix} \cdot r \cdot(r \cdot \cos(p) + R)$

Das Flächenelement ist

$\mathrm dA = |\vec n| \cdot \mathrm dt \cdot \mathrm dp = r \cdot \ (r \cdot \cos(p) + R) \cdot \mathrm dt \cdot \mathrm dp$

Durch Integration erhält man die Oberfläche des Torus:

$A_O = \int_{t=0}^{2\pi} \int_{p=0}^{2\pi} \mathrm dA = 4\pi^2 \cdot R \cdot r { \color{OliveGreen} \ = \frac{\mathrm dV}{\mathrm dr} }$

Eine Teilfläche des Torus erhält man durch Integration in den Grenzen $t_1$ bis $t_2$ (horizontal) und $p_1$ bis $p_2$ (vertikal):

$A_O = \int_{t_1}^{t_2} \int_{p_1}^{p_2} r \cdot \ (r \cdot \cos(p) + R) \cdot \mathrm dp \cdot \mathrm dt$

ergibt

$A_O = (t_2 - t_1) \cdot \left[r^2 \cdot(\sin(p_2) - \sin(p_1)) + r \cdot R \cdot (p_2 - p_1)\right]$

Zur Berechnung des Volumens des Volltorus setzt man statt r die Variable r' ein und lässt sie von 0 (zu Kreis entarteter Torus, kein Volumen) bis r variieren:

$V = \int_{r'=0}^r A_O(r') \mathrm dr' = 4\pi^2 \cdot R \cdot \int_{r'=0}^r r' \mathrm dr' = 2\pi^2 \cdot R \cdot r^2$

Das Torusvolumen ist das Integral der Oberfläche (über $r$ ).

Trägheitsmoment eines Volltorus [Bearbeiten]

Das Trägheitsmoment um die z-Achse (also die Symmetrieachse) kann durch

$I = \int_{T} (x^2+y^2) \mathrm d^3 x$

berechnet werden. Nun kann man die Transformation auf Toruskoordinaten durchführen. Dabei kommt zusätzlich die Jacobi-Determinante ins Integral.

$I = \int_{t=0}^{2\pi} \int_{p=0}^{2\pi} \int_{r'=0}^{r} |\det J_\text{Torus} | \cdot (R+r' \cdot \cos(p))^2 \mathrm dr' = \int_{t=0}^{2\pi} \int_{p=0}^{2\pi} \int_{r'=0}^{r} r' \cdot (R+r' \cdot \cos(p))^3 \mathrm dr' \cdot \mathrm dp \cdot \mathrm dt$

Mit partiellem Integrieren erhält man:

$I = 2 \pi^2 \cdot R \cdot r^2 \left (\frac{3}{4} \cdot r^2+R^2 \right)$

Algebraische Gleichung [Bearbeiten]

Der Rotationstorus lässt sich auch durch die folgende Gleichung in den Koordinaten $x,y,z$ beschreiben:

$(R^2-r^2)^2+2R^2(z^2-x^2-y^2)-2r^2(x^2+y^2+z^2)+(x^2+y^2+z^2)^2=0$

oder

$(x^2+y^2+z^2+R^2-r^2)^2-4R^2(x^2+y^2)=0.$

Sie lässt sich beispielsweise aus der Gleichung

$\left(\sqrt{x^2+y^2}-R \right)^2+z^2 = r^2$

herleiten, die sich aus dem Satz des Pythagoras ergibt.

Typen von Tori [Bearbeiten]

Die drei verschiedenen Typen von Tori: Spindeltorus, Horntorus und Ringtorus

Flache Tori [Bearbeiten]

Modell eines flachen Torus: das Papier muss nur gebogen, nicht gestreckt werden.

Ein flacher Torus kann beschrieben werden durch ein Parallelogramm, dessen gegenüberliegende Seiten zusammengeklebt werden. Äquivalent dazu können flache Tori als topologische Faktorgruppen $\mathbb R^2/(\mathbb Z\cdot v+\mathbb Z\cdot w)$ für zwei linear unabhängige Vektoren $v,w\in\mathbb R^2$ beschrieben werden. Im Spezialfall $v=(1,0)$ und $w=(0,1)$ erhält man den Quotienten $\mathbb R^2/\mathbb Z^2\cong(\mathbb R/\mathbb Z)^2$ .

Diese Tori heißen flach, weil ihre Metrik lokal der Metrik der Ebene entspricht und ihre Schnittkrümmung deshalb verschwindet.

Elliptische Kurven über den komplexen Zahlen sind (mit einer translationsinvarianten Metrik) Beispiele für flache Tori.

Torustopologie [Bearbeiten]

Im Gegensatz zur Oberfläche einer Kugel kann der Torus ohne Singularitäten auf einer ebenen, rechteckigen Fläche abgebildet werden.

Dabei wird die rechte Kante des Rechtecks oder Quadrates mit seiner linken Kante verheftet und seine untere Kante wird mit seiner oberen Kante verheftet. Diese Topologie besitzen auch viele Computerspiele, zum Beispiel Pacman oder das Game of Life.

Volltori [Bearbeiten]

Eingebettete Volltori lassen sich wie eingebettete Tori beschreiben, in der oben angegebenen Parameterdarstellung ist lediglich $r$ durch einen Parameter $\rho$ mit Wertebereich $0\leq\rho\leq r$ zu ersetzen. Topologisch ist ein Volltorus homöomorph zum Produkt $D^2\times S^1$ der Kreisscheibe mit der Kreislinie.

Die 3-Sphäre, also der dreidimensionale Raum zusammen mit einem unendlich fernen Punkt, lässt sich als Vereinigung zweier Volltori darstellen, die sich lediglich in ihrer Oberfläche überlappen. Man erhält sie beispielsweise aus der Hopf-Faserung, indem man den Basisraum $S^2$ als Vereinigung von Nord- und Südhalbkugel auffasst; über beiden Hälften ist die Faserung trivial. Die Zerlegung der 3-Sphäre in zwei Volltori wird beispielsweise bei der Konstruktion der Reeb-Blätterung ausgenutzt.

Eigenschaften des 3-Torus

Höherdimensionale Tori [Bearbeiten]

Beim dreidimensionalen Torus oder 3-Torus handelt es sich um einen Quader oder Würfel, dessen sechs gegenüberliegende Flächen paarweise miteinander verheftet sind.

Beim vierdimensionalen Torus oder 4-Torus handelt es sich um einen Tesserakt, dessen acht gegenüber liegende Würfel paarweise miteinander verheftet sind.

Allgemein ist der $n$ -dimensionale Torus ein n-dimensionaler Würfel $[0,1]^n$ , dessen gegenüberliegende (n-1)-Hyperwürfel paarweise miteinander identifiziert sind. Man kann ihn auch als $\mathbb R^n/\mathbb Z^n$ darstellen.