Globaler Körper

Globale Körper sind die zentralen Studienobjekte des mathematischen Teilgebietes der algebraischen Zahlentheorie. Sie verallgemeinern den Körper der rationalen Zahlen.

Definition

Als globale Körper bezeichnet man

• einerseits algebraische Zahlkörper, d.h. endliche Erweiterungen des Körpers $\mathbb {Q}$ der rationalen Zahlen
• und andererseits algebraische Funktionenkörper positiver Charakteristik vom Transzendenzgrad 1, d.h. endliche Erweiterungen von $\mathbb {F} _{p}(T)$ für eine Primzahl $p$ und eine Unbestimmte $T$.

Axiomatische Charakterisierung nach Artin

Sei $K$ ein Körper mit einer Menge von Primstellen ${\mathfrak {V}}$, sodass folgende Axiome erfüllt sind.

• Für alle $a\in K^{\times }$ ist $|a|_{v}=1$ für fast alle $v\in {\mathfrak {V}}$ und es gilt $\prod _{v\in {\mathfrak {V}}}|a|_{v}=1$ (Produktformel).
• Es gibt ein $v\in {\mathfrak {V}}$, sodass $K_{v}$ ein lokaler Körper ist.

Dann ist $K$ ein globaler Körper und ${\mathfrak {V}}$ besteht aus allen Primstellen von $K$.