Funktionenkörper

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(Algebraische) Funktionenkörper sind in der Mathematik algebraische Entsprechungen geometrischer Objekte. Funktionenkörper über endlichen Körpern spielen auch in der algebraischen Zahlentheorie eine wichtige Rolle.

Algebraische Definition[Bearbeiten]

Es sei k ein Körper. Dann heißt ein transzendenter Erweiterungskörper K/k von endlichem Transzendenzgrad ein (algebraischer) Funktionenkörper.

Der algebraische Abschluss von k in K heißt Konstantenkörper.

Funktionenkörper im engeren Sinne sind Funktionenkörper vom Transzendenzgrad 1 über einem endlichen Körper. Zusammen mit den algebraischen Zahlkörpern bilden sie die Klasse der globalen Körper.

Geometrische Definition[Bearbeiten]

Ist X ein ganzes algebraisches Schema über einem Körper k, so heißt der Halm der Strukturgarbe im generischen Punkt Funktionenkörper von X. Er ist ein Funktionenkörper über k im algebraischen Sinne.

Beispiel[Bearbeiten]

Die rationalen Funktionen auf einer (irreduziblen) Varietät bilden einen Funktionenkörper.