Primzahl

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Die Zahl 12 ist keine Primzahl.

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die genau zwei natürliche Zahlen als Teiler hat.[1] Eine Primzahl ist also eine natürliche Zahl größer als eins, die nur durch sich selbst und durch 1 ganzzahlig teilbar ist. Die kleinsten Primzahlen sind:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 …[2]

Eine natürliche Zahl größer als 1 heißt prim, wenn sie eine Primzahl ist, andernfalls heißt sie zusammengesetzt. Die Zahlen 0 und 1 sind weder prim noch zusammengesetzt.

Das Wort „Primzahl“ kommt aus dem Lateinischen (numerus primus) und bedeutet „die erste Zahl“. Die Bedeutung der Primzahlen \mathbb P für viele Bereiche der Mathematik beruht auf drei Folgerungen aus dieser Definition:

  • Existenz und Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung: Jede positive ganze Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben. Diese Produktdarstellung ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig. Zum Beweis dient das
  • Lemma von Euklid: Ist ein Produkt zweier natürlicher Zahlen durch eine Primzahl teilbar, so ist mindestens einer der Faktoren durch sie teilbar.
  • Primzahlen lassen sich nicht als Produkt zweier natürlicher Zahlen, die beide größer als 1 sind, darstellen.

Diese Eigenschaften werden in der Algebra für Verallgemeinerungen des Primzahlbegriffs genutzt.

Bereits die antiken Griechen interessierten sich für die Primzahlen und entdeckten einige ihrer Eigenschaften. Obwohl sie über die Jahrhunderte stets einen großen Reiz auf die Menschen ausübten, sind bis heute viele die Primzahlen betreffende Fragen ungeklärt, darunter solche, die mehr als hundert Jahre alt und leicht verständlich formulierbar sind. Dazu gehören die Goldbachsche Vermutung, wonach außer 2 jede gerade Zahl als Summe zweier Primzahlen darstellbar ist, und die Vermutung, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt (das sind Paare von Primzahlen, deren Differenz gleich 2 ist).

Über 2000 Jahre lang konnte man keinen praktischen Nutzen aus dem Wissen über die Primzahlen ziehen. Dies änderte sich erst mit dem Aufkommen elektronischer Rechenmaschinen, bei denen die Primzahlen beispielsweise in der Kryptographie eine zentrale Rolle spielen.

Primfaktorzerlegung[Bearbeiten]

Hauptartikel: Primfaktorzerlegung

Es gilt der Fundamentalsatz der Arithmetik: Jede positive ganze Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen darstellen, und diese Darstellung ist bis auf die Reihenfolge der Primzahlen eindeutig. Diese Primzahlen nennt man die Primfaktoren der Zahl. Man kennt bisher keine Methode, um die Primfaktorzerlegung einer beliebigen gegebenen Zahl effizient zu bestimmen, d. h. in einer Zeit, die polynomiell mit der Länge der Zahl wächst. Die Faktorisierungsannahme besagt, dass es eine solche Methode auch nicht gibt. Man versucht, die Zeit mit geeigneten Faktorisierungsverfahren zu minimieren.

Aufgrund dieses Satzes, also dass sich jede natürliche Zahl größer 0 durch Multiplikation von Primzahlen eindeutig darstellen lässt, nehmen die Primzahlen eine besondere atomare Stellung in der Mathematik ein. Alexander K. Dewdney bezeichnete diese als den Elementen der Chemie weitgehend ähnlich.

Eigenschaften von Primzahlen[Bearbeiten]

Mit Ausnahme der Zahl 2 sind alle Primzahlen p ungerade, denn alle größeren geraden Zahlen lassen sich außer durch sich selbst und 1 auch noch (mindestens) durch 2 teilen. Damit hat jede Primzahl außer 2 die Form 2k+1 mit einer natürlichen Zahl k.

Jede Primzahl p > 3 lässt sich einer der beiden Klassen „Primzahl der Form 4k+1“ oder „Primzahl der Form 4k+3“ zuordnen, wobei k eine natürliche Zahl ist. Darüber hinaus hat jede Primzahl p > 3 die Form p = 6k+1 oder p = 6k-1, wobei k eine natürliche Zahl ist. Nach dem dirichletschen Primzahlsatz gibt es in jeder dieser vier Klassen unendlich viele Primzahlen.

Jede natürliche Zahl der Form 4m+3 mit einer nichtnegativen ganzen Zahl m enthält mindestens einen Primfaktor der Form 4k+3. Eine entsprechende Aussage über Zahlen der Form 4m+1 oder Primfaktoren der Form 4k+1 ist nicht möglich.

Eine Primzahl p>2 lässt sich genau dann in der Form a^2+b^2 mit ganzen Zahlen a,b schreiben, wenn p die Form 4k+1 hat. In diesem Fall ist die Darstellung im Wesentlichen eindeutig, d.h. bis auf Reihenfolge und Vorzeichen von a,b. Diese Darstellung entspricht der Primfaktorzerlegung

p=(a+b\mathrm i)(a-b\mathrm i)

im Ring der ganzen gaußschen Zahlen.

Die Zahl −1 ist ein quadratischer Rest modulo jeder Primzahl der Form 4k+1 und quadratischer Nichtrest modulo jeder Primzahl der Form 4k+3.

Der kleine Satz von Fermat[Bearbeiten]

Es sei p eine Primzahl. Für jede ganze Zahl a, die nicht durch p teilbar ist, gilt (für die Notation siehe Kongruenz):

a^{p-1} \equiv 1 \mod p.

Für nicht durch p teilbare Zahlen a ist die folgende Formulierung äquivalent:

a^p\equiv a\mod p.

Es gibt Zahlen, die keine Primzahlen sind, sich aber dennoch zu einer Basis a wie Primzahlen verhalten und somit den kleinen Satz von Fermat erfüllen. Solche zusammengesetzten Zahlen nennt man fermatsche Pseudoprimzahlen zur Basis a. Eine fermatsche Pseudoprimzahl n, die pseudoprim bezüglich aller zu ihr teilerfremden Basen a ist, nennt man Carmichael-Zahl.

In diesem Zusammenhang zeigt sich die Problematik fermatscher Pseudoprimzahlen: sie werden von einem Primzahltest, der den kleinen Satz von Fermat nutzt (Fermatscher Primzahltest), fälschlicherweise für Primzahlen gehalten. Wenn allerdings ein Verschlüsselungsverfahren wie RSA eine zusammengesetzte Zahl statt einer Primzahl verwendet, ist die Verschlüsselung nicht mehr sicher. Deshalb müssen bei solchen Verfahren bessere Primzahltests verwendet werden.

Euler und das Legendre-Symbol[Bearbeiten]

Eine einfache Folge aus dem kleinen Satz von Fermat ist die folgende Aussage: Für jede ungerade Primzahl p und jede ganze Zahl a, die nicht durch p teilbar ist, gilt entweder

a^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1 \mod p

oder

a^{\frac{p-1}{2}} \equiv -1 \mod p.

Man kann zeigen, dass der erste Fall genau dann eintritt, wenn es eine Quadratzahl m^2 gibt, die kongruent zu a modulo p ist, siehe Legendre-Symbol.

Binomialkoeffizient[Bearbeiten]

Für Primzahlen p und 1\leq k < p gilt

p\,\Big|{p\choose k};

zusammen mit dem binomischen Satz folgt daraus

(a+b)^p\equiv a^p+b^p\mod p.

Für ganze Zahlen a,b folgt diese Aussage auch direkt aus dem kleinen fermatschen Satz, aber sie ist beispielsweise auch für Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten anwendbar; im allgemeinen Kontext entspricht sie der Tatsache, dass die Abbildung x\mapsto x^p in Ringen der Charakteristik p ein Homomorphismus ist, der so genannte Frobenius-Homomorphismus.

Aus dem Satz von Wilson (p ist genau dann eine Primzahl, wenn (p-1)! \equiv -1 \pmod p ist) folgt, dass für jede Primzahl p und jede natürliche Zahl n die Kongruenz

{{np-1}\choose{p-1}} \equiv 1 \pmod{p}

erfüllt ist.

Charles Babbage bewies 1819, dass für jede Primzahl p > 2 diese Kongruenz gilt:

{{2p-1}\choose{p-1}} \equiv 1 \pmod{p^2}

Der Mathematiker Joseph Wolstenholme (1829–1891) bewies dann 1862, dass für jede Primzahl p > 3 die folgende Kongruenz gilt:

{{2p-1}\choose{p-1}} \equiv 1 \pmod{p^3}

Giuga[Bearbeiten]

Aus dem kleinen Satz von Fermat folgt, dass für eine Primzahl p gilt:

 1^{p-1} + 2^{p-1} + \dotsb + (p-1)^{p-1} \equiv -1 \pmod{p}

Beispiel p = 5:

1^4 + 2^4 + 3^4 + 4^4 = 1 + 16 + 81 + 256 = 354 = 71\cdot 5 - 1\equiv -1 \pmod{5}

Giuseppe Giuga vermutete, dass auch die umgekehrte Schlussrichtung gilt, dass also eine Zahl mit dieser Eigenschaft stets prim ist. Es ist nicht geklärt, ob diese Vermutung richtig ist. Bekannt ist aber, dass ein Gegenbeispiel mehr als 10.000 Dezimalstellen haben müsste. Im Zusammenhang mit Giugas Vermutung werden die Giuga-Zahlen untersucht.

Lineare Rekursionen[Bearbeiten]

Den kleinen fermatschen Satz kann man auch in der Form lesen: In der Folge a^n-a ist das p-te Folgenglied für eine Primzahl p stets durch p teilbar. Ähnliche Eigenschaften besitzen auch andere Folgen von exponentiellem Charakter, wie die Lucas-Folge (p\mid L_p-1) und die Perrin-Folge (p\mid P_p). Für andere lineare Rekursionen gelten analoge, aber kompliziertere Aussagen, beispielsweise für die Fibonacci-Folge (f_n)_{n=0,1,2,\ldots}=0,1,1,2,3,5,\ldots: Ist p eine Primzahl, so ist f_p-\Big(\frac p5\Big) durch p teilbar; dabei ist

\Big(\frac p5\Big)=\begin{cases}1&p\equiv 1,4\mod 5\\-1&p\equiv2,3\mod 5\\0&p=5\end{cases}

das Legendre-Symbol.

Divergenz der Summe der Kehrwerte[Bearbeiten]

Die Reihe der Kehrwerte der Primzahlen ist divergent. Somit gilt:

 \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{p_i} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \cdots = \infty.

Das ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass die Folge \textstyle \left( a_n=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{p_i} \right) keinen endlichen Grenzwert besitzt, was wiederum bedeutet, dass sich für ein genügend groß gewähltes n jede erdenkliche reelle Zahl übertreffen lässt. Dies ist zunächst einmal verblüffend, da die Primzahllücken im Schnitt immer weiter zunehmen. Der Satz von Mertens trifft eine Aussage über das genaue Wachstumsverhalten dieser divergenten Reihe.

Primzahltests[Bearbeiten]

Hauptartikel: Primzahltest

Ob eine Zahl eine Primzahl ist, kann man mit einem Primzahltest entscheiden. Es gibt mehrere solcher Verfahren, deren Grundlagen meist besondere Eigenschaften von Primzahlen sind. In der Praxis wird der Miller-Rabin-Test am häufigsten verwendet, der eine extrem kurze Laufzeit hat, allerdings mit kleiner Wahrscheinlichkeit falsch-positive Ergebnisse liefert. Mit dem AKS-Primzahltest ist es möglich, Zahlen in polynomialer Laufzeit zu testen. Allerdings ist er in der Praxis deutlich langsamer als der Miller-Rabin-Test.

Größte bekannte Primzahl[Bearbeiten]

Der Grieche Euklid hat im vierten Jahrhundert vor Christus logisch geschlussfolgert, dass es unendlich viele Primzahlen gibt; diese Aussage wird als Satz von Euklid bezeichnet. Euklid führte einen Widerspruchsbeweis für die Richtigkeit dieses Satzes (Elemente, Buch IX, § 20): Ausgehend von der Annahme, dass es nur endlich viele Primzahlen gibt, lässt sich eine weitere Zahl konstruieren, die eine bisher nicht bekannte Primzahl als Teiler hat, oder selbst eine Primzahl ist, was einen Widerspruch zur Annahme darstellt. Somit kann eine endliche Menge niemals alle Primzahlen enthalten, also gibt es unendlich viele. Heute kennt man eine ganze Reihe von Beweisen für den Satz von Euklid.[3]

Der Satz von Euklid besagt, dass es keine größte Primzahl gibt. Es ist jedoch kein Verfahren bekannt, das effizient beliebig große Primzahlen generiert – deshalb gab es stets eine jeweils größte bekannte Primzahl, seitdem sich die Menschen mit Primzahlen befassen. Derzeit ist es 2^{57.885.161}-1, eine Zahl mit 17.425.170 (dezimalen) Stellen, die am 25. Januar 2013 mit einem CPU-Cluster der mathematischen Fakultät an der University of Central Missouri berechnet wurde. Für den Entdecker Dr. Curtis Cooper gab es für den Fund 3.000 US-Dollar vom Projekt Great Internet Mersenne Prime Search, das Mersenne-Primzahlen mittels verteiltem Rechnen sucht.[4]

Die größte bekannte Primzahl war fast immer eine Mersenne-Primzahl, also von der Form 2^n-1, da in diesem Spezialfall der Lucas-Lehmer-Test angewendet werden kann, ein im Vergleich zur allgemeinen Situation sehr schneller Primzahltest. Bei der Suche nach großen Primzahlen werden deshalb nur Zahlen dieses oder eines ähnlich geeigneten Typs auf Primalität untersucht.

Liste der Rekordprimzahlen nach Jahren[Bearbeiten]

Zahl Anzahl der
Dezimalziffern
Jahr Entdecker (genutzter Computer)
217−1 6 1588 Cataldi
219−1 6 1588 Cataldi
231−1 10 1772 Euler
(259−1)/179951 13 1867 Landry
2127−1 39 1876 Lucas
(2148+1)/17 44 1951 Ferrier
180·(2127−1)2+1 79 1951 Miller & Wheeler (EDSAC1)
2521−1 157 1952 Robinson (SWAC)
2607−1 183 1952 Robinson (SWAC)
21.279−1 386 1952 Robinson (SWAC)
22.203−1 664 1952 Robinson (SWAC)
22.281−1 687 1952 Robinson (SWAC)
23.217−1 969 1957 Riesel (BESK)
24.423−1 1.332 1961 Hurwitz (IBM7090)
29.689−1 2.917 1963 Gillies (ILLIAC 2)
29.941−1 2.993 1963 Gillies (ILLIAC 2)
211.213−1 3.376 1963 Gillies (ILLIAC 2)
219.937−1 6.002 1971 Tuckerman (IBM360/91)
221.701−1 6.533 1978 Noll & Nickel (CDC Cyber 174)
223.209−1 6.987 1979 Noll (CDC Cyber 174)
244.497−1 13.395 1979 Nelson & Slowinski (Cray 1)
286.243−1 25.962 1982 Slowinski (Cray 1)
2132.049−1 39.751 1983 Slowinski (Cray X-MP)
2216.091−1 65.050 1985 Slowinski (Cray X-MP/24)
391581·2216.193−1 65.087 1989 „Amdahler Sechs“ (Amdahl 1200)
2756.839−1 227.832 1992 Slowinski & Gage (Cray 2)
2859.433−1 258.716 1994 Slowinski & Gage (Cray C90)
21.257.787−1 378.632 1996 Slowinski & Gage (Cray T94)
21.398.269−1 420.921 1996 Armengaud, Woltman (GIMPS, Pentium 90 MHz)
22.976.221−1 895.932 1997 Spence, Woltman (GIMPS, Pentium 100 MHz)
23.021.377−1 909.526 1998 Clarkson, Woltman, Kurowski (GIMPS, Pentium 200 MHz)
26.972.593−1 2.098.960 1999 Hajratwala, Woltman, Kurowski (GIMPS, Pentium 350 MHz)
213466917−1 4.053.946 2001 Cameron, Woltman, Kurowski (GIMPS, Athlon 800 MHz)
220.996.011−1 6.320.430 2003 Shafer (GIMPS, Pentium 4 2 GHz)
224.036.583−1 7.235.733 2004 Findley (GIMPS, Pentium 4 2,4 GHz)
225.964.951−1 7.816.230 2005 Nowak (GIMPS, Pentium 4 2,4 GHz)
230.402.457−1 9.152.052 2005 Cooper, Boone (GIMPS, Pentium 4 3 GHz)
232.582.657−1 9.808.358 2006 Cooper, Boone (GIMPS, Pentium 4 3 GHz)
243.112.609−1 12.978.189 2008 Smith, Woltman, Kurowski et al. (GIMPS, Core 2 Duo 2,4 GHz)
257.885.161−1 17.425.170 2013 Cooper, Woltman, Kurowski et al. (GIMPS)

Verteilung und Wachstum[Bearbeiten]

Pi-Funktion und Primzahlsatz[Bearbeiten]

Hauptartikel: Primzahlsatz
In der Grafik wird die π-Funktion in blau dargestellt. Die Funktion n / ln (n) in grün und das Integrallogarithmus Li(n) in rot sind Approximationen der π-Funktion.

Zur Untersuchung der Verteilung der Primzahlen betrachtet man unter anderem die Funktion

\pi \colon \Bbb N\to \Bbb N,\;n\mapsto\pi(n),

die die Anzahl der Primzahlen \leq n angibt und auch Primzahlzählfunktion genannt wird. Zum Beispiel ist

\pi(1)=0\ ;\ \pi(10) = 4\ ;\ \pi(100) = 25\ ;\ \pi(1000) = 168; \ \pi(1000000)=78498 .

Diese Funktion und ihr Wachstumsverhalten ist ein beliebter Forschungsgegenstand in der Zahlentheorie. Mit der Zeit wurden einige Näherungsformeln entwickelt und verbessert.

Der Primzahlsatz besagt, dass

\pi(x) \sim \frac{x}{\ln x}

gilt, das heißt dass der Quotient von linker und rechter Seite für x\to\infty gegen 1 strebt:

\lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)} {\frac{x}{\ln x}} = 1 (siehe Asymptotische Analyse)

Der dirichletsche Primzahlsatz dagegen schränkt die Betrachtung auf Restklassen ein: Es sei m eine natürliche Zahl. Ist a eine ganze Zahl, die zu m nicht teilerfremd ist, so kann die arithmetische Folge

a,a+m,a+2m,a+3m,\ldots

höchstens eine Primzahl enthalten, weil alle Folgenglieder durch den größten gemeinsamen Teiler von a und m teilbar sind. Ist a aber teilerfremd zu m, so besagt der dirichletsche Primzahlsatz, dass die Folge unendlich viele Primzahlen enthält. Beispielsweise gibt es unendlich viele Primzahlen der Form 4k+1 und unendlich viele der Form 4k+3 (k durchläuft jeweils die nichtnegativen natürlichen Zahlen).

Diese Aussage kann noch in der folgenden Form präzisiert werden: Es gilt

\lim_{x\to\infty}\frac{\#\{p\ \mathrm{prim},\ p\leq x\ \mathrm{und}\ p\equiv a\pmod m\}}{\#\{p\ \mathrm{prim},\ p\leq x\}}=\frac1{\varphi(m)};

dabei ist \varphi(m) die eulersche φ-Funktion. In diesem Sinne liegen also für ein festes m in den Restklassen a+m\mathbb Z mit \mathrm{ggT}(a,m)=1 jeweils „gleich viele“ Primzahlen.

Siehe auch: Ulam-Spirale

Schranken[Bearbeiten]

Nach der (unbewiesenen) Legendreschen Vermutung gibt es stets mindestens eine Primzahl zwischen n^2 und (n+1)^2.

Die (bewiesene) Bonsesche Ungleichung garantiert, dass das Quadrat einer Primzahl kleiner ist als das Produkt aller kleineren Primzahlen (ab der fünften Primzahl).

Nach der (unbewiesenen) Andricaschen Vermutung ist die Differenz der Wurzeln der n-ten und der n+1-ten Primzahl kleiner als 1.

Primzahllücken[Bearbeiten]

Hauptartikel: Primzahllücke

Die Differenz zwischen zwei benachbarten Primzahlen heißt Primzahllücke. Diese Differenz schwankt, und obwohl es unendlich viele Primzahlen gibt, lassen sich Primzahllücken beliebiger Mindestgröße finden.

Generierung von Primzahlen[Bearbeiten]

Hauptartikel: Primzahlgenerator
Veranschaulichung des Algorithmus Sieb des Eratosthenes

Einer der ältesten Algorithmen zur Bestimmung von Primzahlen ist das Sieb des Eratosthenes. Bis heute ist kein effizienter Primzahlgenerator bekannt. Es gibt allerdings Formeln, bei denen eine gewisse Wahrscheinlichkeit besteht, dass die erzeugten Zahlen prim sind. Solche Zahlen müssen nachträglich noch auf ihre Primalität getestet werden.

Spezielle Primzahlen und Primzahlkonstellationen[Bearbeiten]

Weitere spezielle Arten von Primzahlen finden sich in der Kategorie:Primzahl.

Verallgemeinerung[Bearbeiten]

In der Ringtheorie wird das Konzept der Primzahl auf die Elemente eines beliebigen kommutativen unitären Rings verallgemeinert. Die entsprechenden Begriffe sind Primelement und irreduzibles Element.

Die Primzahlen und deren Negative sind dann genau die Primelemente und auch genau die irreduziblen Elemente des Rings der ganzen Zahlen. In faktoriellen Ringen, das sind Ringe mit eindeutiger Primfaktorisierung, fallen die Begriffe Primelement und irreduzibles Element zusammen; im Allgemeinen ist die Menge der Primelemente jedoch nur eine Teilmenge der Menge der irreduziblen Elemente.

Insbesondere im zahlentheoretisch bedeutsamen Fall der Dedekindringe übernehmen Primideale die Rolle der Primzahlen.

Primzahlen in Natur und Technik[Bearbeiten]

In Nordamerika weisen manche Zikadenarten einen besonders langen Fortpflanzungsrhythmus von genau 13 oder 17 Jahren auf, mit dem sie den 2-, 4- und 6-jährigen Entwicklungsrhythmen ihrer Fressfeinde ausweichen.

Schnelldrehende Maschinenteile mit einer Anzahl von Flügeln werden nicht nur durch die Fliehkraft, sondern auch durch Querschwingungen der Flügel stark belastet. Ist die Anzahl der Flügel eine Primzahl, können sich solche Querschwingungen mangels Symmetrie kaum über den ganzen Drehkörper ausdehnen. Vor dem Hauptwerk der Andritz AG ist das Laufrad einer 23-flügeligen Pelton-Turbine aufgestellt.

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Armin Leutbecher: Zahlentheorie: Eine Einführung in die Algebra. Springer, 1996, ISBN 3-540-58791-8, S. 18, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche.
  2. (Folge A000040 in OEIS)
  3. Für Beweise des Satzes von Euklid siehe Beweisarchiv.
  4. GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number, 257665161-1 bei mersenne.org, abgerufen am 6. Februar 2013.

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

 Wiktionary: Primzahl – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
 Wikibooks: Fundamentalsatz der Arithmetik – Lern- und Lehrmaterialien
 Wikibooks: Primzahlen von 2 bis 100.000 – Lern- und Lehrmaterialien
 Commons: Prime numbers – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien