Hölder-Stetigkeit

Die Hölder-Stetigkeit (nach Otto Hölder) ist ein Konzept der Mathematik, das vor allem in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen von zentraler Bedeutung ist. Sie ist eine Verallgemeinerung der Lipschitz-Stetigkeit.

Definition

Sei $U \subset \mathbb{R}$ offen und $0 < \alpha \le 1$. Eine Abbildung $f:U\rightarrow \R$ heißt hölderstetig zum Exponenten $\alpha$ genau dann, wenn eine positive reelle Zahl $C$ existiert, so dass für alle $x,y\in U$ gilt:

$\mid f(x)-f(y)\mid\leq C\mid x-y \mid^\alpha$.

Eine Verallgemeinerung auf metrische Räume ist in natürlicher Weise gegeben.

Eigenschaften hölderstetiger Funktionen

• Für $\alpha=1$ ergibt sich die Lipschitz-Stetigkeit.
• Jede hölderstetige Funktion ist gleichmäßig stetig: Setze für gegebenes $\varepsilon>0$ etwa $\delta:=(\varepsilon/C)^{1/\alpha}$. Dann folgt aus $|x-y|\le\delta$ wie gewünscht $|f(x)-f(y)|\le\varepsilon$.
• Die Umkehrung gilt nicht, wie folgendes Beispiel zeigt: Sei $a\in(0,1)$ eine beliebig gewählte Konstante. Die auf dem Intervall $[0,a]$ gemäß
  $f(x):=\left\{\begin{array}{cl}-1/\ln x&\mbox{für }0<x\le a\\0&\mbox{bei }x=0\end{array}\right.$
  definierte Funktion $f$ ist laut Satz von Heine gleichmäßig stetig. Wäre sie auch hölderstetig, dann gäbe es Konstanten $C>0$ und $\alpha\in(0,1]$ mit $f(x)\le Cx^\alpha$ für alle $x\in(0,a]$, also insbesondere
  $C\ge\lim\limits_{x\downarrow 0}\frac{-x^{-\alpha}}{\ln x}=\lim\limits_{x\downarrow 0}\alpha x^{-\alpha}$
  laut Regel von L’Hospital, was einen Widerspruch ergibt.

Siehe auch

• Hölder-Raum

Literatur

• H.W. Alt: Lineare Funktionalanalysis. Springer-Verlag, 2002