Harshad-Zahl

Eine Harshad-Zahl oder Niven-Zahl ist eine natürliche Zahl, die durch ihre Quersumme, das heißt die Summe ihrer Ziffern (im Dezimalsystem), teilbar ist. Beispielsweise ist 777 durch $7+7+7=21$ teilbar: $777=21\cdot 37$.

Die ersten Harshad-Zahlen sind:

$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,18,20,21,24,27,30,36,40,42,45,48,50,\ldots$

(Folge A005349 in OEIS)

Das oben angegebene Beispiel mit der Zahl 777 lässt sich auf alle 3-stelligen natürlichen Zahlen desselben Typs verallgemeinern:

Jede natürliche Zahl der Form $nnn$, wobei $n$ eine beliebige Ziffer von 1 bis 9 darstellen kann, ist eine Harshad-Zahl, lässt sich also durch ihre Quersumme teilen.

Der Beweis ergibt sich aus folgender Überlegung:

$nnn=n\cdot 10^{2}+n\cdot 10^{1}+n\cdot 10^{0}$

$=n\cdot (100+10+1)$

$=n\cdot 111$

$=n\cdot (3\cdot 37)$

$=(n\cdot 3)\cdot 37$

Nun ist aber die Quersumme von $nnn\colon ~n+n+n=n\cdot 3$. Somit ist jede natürliche Zahl der Form $nnn$ das 37-fache ihrer Quersumme, also eine Harshad-Zahl. q.e.d.

Der Begriff Harshad-Zahl wurde vom indischen Mathematiker D. R. Kaprekar eingeführt und ist vom Sanskrit-Wort harsha ("Freude") abgeleitet, während Niven-Zahl auf den Mathematiker Ivan M. Niven zurückgeht, der diese Zahlen an einem Kongress im Jahre 1997 beschrieb.

Siehe auch

• Fröhliche Zahl
• Glückliche Zahl

Quellen

• H. G. Grundmann, Sequences of consecutive Niven numbers, Fibonacci Quarterly 32 (1994), 174–175
• Jean-Marie De Koninck and Nicolas Doyon, On the number of Niven numbers up to x, Fibonacci Quarterly Volume 41.5 (November 2003), 431–440
• Jean-Marie De Koninck, Nicolas Doyon and I. Katái, On the counting function for the Niven numbers, Acta Arithmetica 106 (2003), 265–275
• Sandro Boscaro, Nivenmorphic Integers, Journal of Recreational Mathematics 28, 3 (1996–1997): 201–205

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Harshad Number. In: MathWorld (englisch).
• Harshad number auf PlanetMath
• Harshad Number in der Internet Encyclopedia of Science