Hauptraum

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Der Hauptraum ist ein Begriff aus der linearen Algebra und eine Verallgemeinerung des Eigenraums. Haupträume spielen eine große Rolle beim Aufstellen der jordanschen Normalform und der Berechnung einer zugehörigen Basis.

Definition des Hauptraums[Bearbeiten]

Ist F \colon V \to V eine lineare Abbildung aus einem endlichdimensionalen Vektorraum V in sich selbst, \lambda ein Eigenwert von F und bezeichnet r die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes \lambda, dann nennt man den Kern der r-fachen Hintereinanderausführung von (F - \lambda\,\mathrm{id}) Hauptraum zum Eigenwert \lambda, d. h.

\operatorname{Hau} (F, \lambda) := \{v \in V \mid (F - \lambda\,\mathrm{id})^r (v) = 0\}.

Der Hauptraum wird also von genau den Vektoren v aufgespannt, für die (F - \lambda\,\mathrm{id})^r (v) = 0 gilt. Insbesondere ist der Eigenraum zu einem Eigenwert ein Untervektorraum des Hauptraums zu diesem Eigenwert.

Hauptvektor[Bearbeiten]

Die Elemente des Hauptraums werden manchmal auch Hauptvektoren genannt. Diesen Hauptvektoren kann man eine Stufe oder einen Level zuordnen. Sei F ein Endomorphismus und \lambda ein Eigenwert des Endomorphismus. Ein Vektor v heißt Hauptvektor der Stufe p, wenn

(F-\lambda\,\mathrm{id})^p(v) = 0

aber

(F-\lambda\,\mathrm{id})^{p-1}(v) \neq 0

gilt. Alle Eigenvektoren sind somit Hauptvektoren der Stufe 1.

Sei v_{p-1} ein Hauptvektor der Stufe p-1, so kann man einen Hauptvektor der Stufe p berechnen, indem man das lineare Gleichungssystem

(F-\lambda\,\mathrm{id})(v_p) = v_{p-1}

löst.

Satz über die Hauptraumzerlegung[Bearbeiten]

Es sei F ein Endomorphismus, und sein charakteristisches Polynom

\chi_F(t) = \pm \prod_{j=1}^k(t-\lambda_j)^{r_j}

zerfalle vollständig in Linearfaktoren mit paarweise verschiedenen \lambda_1 \ldots \lambda_k \in K. Dann gilt:

  1. Der Hauptraum ist F-invariant, das heißt F\left(\operatorname{Hau}(F,\lambda_i)\right) \subset \operatorname{Hau}(F,\lambda_i) .
  2. Die Dimensionen der Haupträume stimmen mit den Vielfachheiten der Nullstellen des charakteristischen Polynoms überein, also \dim\left(\operatorname{Hau}(F,\lambda_i)\right) = r_i.
  3. Die Haupträume bilden eine direkte Zerlegung (innere direkte Summe) von V. Es gilt also V = \operatorname{Hau}(F,\lambda_1) \oplus \cdots \oplus \operatorname{Hau}(F,\lambda_k).
  4. Der Endomorphismus F besitzt eine Zerlegung F = F_D + F_N. Darin ist F_D diagonalisierbar, F_N ist nilpotent, und es gilt F_D \circ F_N = F_N \circ F_D.

Beispiel[Bearbeiten]

Sei eine Matrix A\in\mathbb{R}^{6\times6} gegeben, deren charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt:

\det\left(A-\lambda I\right)=(\lambda-2)^{3}(\lambda-4)^{3}.

Außerdem soll gelten:

\begin{align}
\dim\operatorname{Ker}\left(A-2I\right) & =2\,,\quad\dim\operatorname{Ker}\left(A-2I\right)^{2}=3\,,\quad\dim\operatorname{Ker}\left(A-2I\right)^{3}=3\\
\dim\operatorname{Ker}\left(A-4I\right) & =1\,,\quad\dim\operatorname{Ker}\left(A-4I\right)^{2}=2\,,\quad\dim\operatorname{Ker}\left(A-4I\right)^{3}=3\\
\end{align}

Die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts 2 beträgt 3 und die des Eigenwerts 4 beträgt 3. Die Eigenräume haben die Dimension 2 bzw. 1, also kleiner als die jeweilige algebraische Vielfachheit, weshalb die Matrix nicht diagonalisierbar ist. Es lässt sich aber die Jordansche Normalform J konstruieren

J=\begin{bmatrix}
2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 4 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4
\end{bmatrix}

über eine Ähnlichkeitstransformation mit der Transformationsmatrix P

P^{-1}AP=J\quad\Longleftrightarrow\quad AP=PJ,

wobei die Spaltenvektoren von P den Hauptvektoren p_i entsprechen:

P=\begin{bmatrix}p_{1} & p_{2} & p_{3} & p_{4} & p_{5}& p_{6}\end{bmatrix}

Die Transformation AP=PJ lautet mit Hilfe der Hauptvektoren:

A\begin{bmatrix}p_{1} & p_{2} & p_{3} & p_{4} & p_{5} & p_{6}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}p_{1} & p_{2} & p_{3} & p_{4} & p_{5} & p_{6}\end{bmatrix}J=\begin{bmatrix}2p_{1}&2p_{2} & 2p_{3}+p_{2} & 4p_{4} & 4p_{5}+p_{4} & 4p_{6}+p_{5}\end{bmatrix}

Somit folgt:

\begin{align}
\left(A-2I\right)p_{1} & =0\\
\left(A-2I\right)p_{2} & =0\\
\left(A-2I\right)p_{3} & =p_{2}\quad\Rightarrow\quad\left(A-2I\right)^{2}p_{3}=\left(A-2I\right)p_{2}=0\\
\left(A-4I\right)p_{4} & =0\\
\left(A-4I\right)p_{5} & =p_{4}\quad\Rightarrow\quad\left(A-4I\right)^{2}p_{5}=\left(A-4I\right)p_{4}=0\\
\left(A-4I\right)p_{6} & =p_{5}\quad\Rightarrow\quad\left(A-4I\right)^{3}p_{6}=\left(A-4I\right)^{2}p_{5}=\left(A-4I\right)p_{4}=0
\end{align}

p_1, p_2 und p_4 sind Hauptvektoren erster Stufe (also Eigenvektoren), p_3 und p_5 Hauptvektoren zweiter Stufe und p_6 ist ein Hauptvektor dritter Stufe.

Damit werden die Kerne der Abbildungen A-\lambda E wie folgt von den Hauptvektoren aufgespannt:

\begin{align}
\operatorname{Ker}\left(A-2I\right) & =\left\langle p_{1},p_{2}\right\rangle \,,\quad\operatorname{Ker}\left(A-2I\right)^{n}=\left\langle p_{1},p_{2},p_{3}\right\rangle \ \text{mit}\ n\geq 2 \,,\\
\operatorname{Ker}\left(A-4I\right) & =\left\langle p_{4}\right\rangle \,,\quad\operatorname{Ker}\left(A-4I\right)^{2}=\left\langle p_{4},p_{5}\right\rangle \,,\quad\operatorname{Ker}\left(A-4I\right)^{n}=\left\langle p_{4},p_{5},p_{6}\right\rangle \ \text{mit}\ n\geq 3  \end{align}

Die Haupträume und Eigenräume zu den beiden Eigenwerten lauten damit, wobei die Eigenräume Unterräume der jeweiligen Haupträume sind:


\begin{align}
\operatorname{Hau}(A,2) =\operatorname{Ker}(A-2I)^{2}=\left\langle p_{1},p_{2},p_{3}\right\rangle & \supset \operatorname{E}(A,2) =\operatorname{Ker}(A-2I)=\left\langle p_{1},p_{2}\right\rangle \\
\operatorname{Hau}(A,4) =\operatorname{Ker}(A-4I)^{3}=\left\langle p_{4},p_{5},p_{6}\right\rangle & \supset \operatorname{E}(A,4) =\operatorname{Ker}(A-4I)=\left\langle p_{4}\right\rangle \end{align}

Die Dimensionen der Haupträume stimmen mit den Vielfachheiten der Nullstellen des charakteristischen Polynoms überein, also \dim\left(\operatorname{Hau}(A,2)\right) = 3 und \dim\left(\operatorname{Hau}(A,4)\right) = 3. Die Haupträume bilden eine direkte Zerlegung von V=\mathbb{R}^{6}, d.h. V = \operatorname{Hau}(A,2) \oplus \operatorname{Hau}(A,4).

Die Matrix A besitzt eine Zerlegung A = A_{D}+A_{N}, wobei A_D diagonalisierbar und A_N nilpotent ist: P^{-1}(A_{D}+A_{N})P=J_{D}+J_{N} mit

J_{D}=\begin{bmatrix}
2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4\end{bmatrix}
\ ,\quad J_{N}=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}

Literatur[Bearbeiten]