Endomorphismus

In der universellen Algebra ist ein Endomorphismus (von griechisch ἔνδον endo innen und griechisch μορφή morph Gestalt, Form) ein Homomorphismus $f\colon A \to A$ einer mathematischen Struktur $A$ in sich selbst. Ist $f$ zusätzlich ein Isomorphismus, dann wird $f$ auch Automorphismus genannt.

In der Kategorientheorie heißt jeder Morphismus, dessen Quelle und Ziel übereinstimmen, ein Endomorphismus des fraglichen Objektes.

Die Gesamtheit der Endomorphismen eines Objektes A wird mit End(A) bezeichnet und bildet stets ein Monoid (das Endomorphismenmonoid oder die Endomorphismenhalbgruppe), in additiven Kategorien sogar einen (unitären) Ring.

Definition

Algebraische Strukturen

Sei $(A,(f_i))$ eine algebraische Struktur, also eine Menge $A$ zusammen mit einer endlichen Anzahl an Verknüpfungen $(f_i)$. Eine solche algebraische Struktur könnte beispielsweise ein Vektorraum $(A, (+, \cdot))$, eine Gruppe $(A, *)$ oder ein Ring $(A, ( +, *))$ sein. Dann versteht man in der Algebra unter einem Endomorphismus $\phi \colon A \to A$ eine Abbildung der Menge $A$ auf sich selbst, die ein Homomorphismus ist, das heißt es gilt

$\phi\left(f_i(a_1,\dotsc,a_{\sigma_i})\right) = f_i(\phi(a_1),\dotsc,\phi(a_{\sigma_i}))$

für alle $a_1, \dotsc , a_{\sigma_i} \in A$.

Kategorientheorie

Sei $X$ ein Objekt einer Kategorie. Ein Morphismus $f\colon X\to X$, der auf dem einem Objekt $X$ operiert, heißt Endomorphismus.

Für Kategorien von Homomorphismen zwischen algebraischen Strukturen ist die Definition äquivalent zu der im vorherigen Abschnitt.

Spezielle Strukturen

Vektorräume

Allgemeines

In der linearen Algebra ist ein Endomorphismus beziehungsweise Vektorraumendomorphismus eine lineare Abbildung $f \colon V \to V$. Hier wird mit $V$ ein K-Vektorraum bezeichnet und eine lineare Abbildung meinte eine Abbildung, die

$f\left(ax + y\right) = af\left(x\right) + f\left(y\right)$

für alle $a \in K$ und alle $x, y \in V$ erfüllt. Zusammen mit der Komposition als Multiplikation bildet die Menge aller Endomorphismen einen Ring, welchen man den Endomorphismenring nennt. Ist der zugrundeliegende Vektorraum ein topologischer Vektorraum und betrachtet man den Vektorraum der stetigen Endomorphismen, der im Fall unendlichdimensionaler Vektorräume im Allgemeinen ein echter Unterraum des Endomorphismenraums ist, so kann man auf diesem Vektorraum aller stetiger Endomorphismen eine Topologie induzieren, so dass die Addition und die Multiplikation des Rings stetig sind. Somit ist der Endomorphismenring ein topologischer Ring.

Beispiel

Das Differential $\textstyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}$ ist auf dem Vektorraum der Polynome $R[x]_3$ maximal dritten Grades mit reellen Koeffizienten ein Endomorphismus. Als Basis von V wählt man die monomiale Basis $\textstyle \left\{1, x, x^2, x^3\right\}$. Diese kann man isomorph auf die kanonische Basis des $K^4$ abbilden, durch $\Phi\left(x^i\right) = (0,\dotsc, 1 , \dotsc, 0)^t \in K^4$. Die 1 steht dabei an der i-ten Stelle des 4-Tupels. Also kann man jedes Polynom aus $R[x]_3$ als 4-Tupel darstellen, so ist zum Beispiel $\Phi\left(4x^3 + 2x + 5\right) = (4,0,2,5)^t$. Nun kann man $\Phi$ mit $\textstyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}$ verketten und erhält für das Differential eine Matrixschreibweise:

$\Phi \circ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \circ \Phi^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$.

Wendet man diese Matrix auf obiges Beispiel $(4,0,2,5)^t$ an, so erhält man $(0,12,0,2)^t$, was dem Polynom $12x^2 + 2$ entspricht; das hätte man auch durch direktes Anwenden der Ableitung erhalten können.

Gruppen

Ein Endomorphismus auf einer Gruppe $G$ ist ein Gruppenhomomorphismus $\phi$ von $G$ nach $G$, das heißt für $\phi \colon G \to G$ gilt $\phi(gh)=\phi(g)\phi(h)$ für alle $g,h\in G$.

Siehe auch

• Monomorphismus
• Epimorphismus

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra, ISBN 3-528-03217-0.
•  M. Sh. Tsalenko: Endomorphism. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 (Online).