Charakteristisches Polynom

Das charakteristische Polynom (CP) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Dieses Polynom, das für quadratische Matrizen und Endomorphismen von endlichdimensionalen Vektorräumen definiert ist, gibt Auskunft über einige Eigenschaften der Matrix oder linearen Abbildung.

Die Gleichung, in der das charakteristische Polynom null gesetzt wird, wird manchmal Säkulargleichung genannt.

Definition

Das charakteristische Polynom $\chi_A$ einer quadratischen $n \times n$-Matrix $A$ wird definiert durch:

$\!\chi_A(\lambda) = \det(\lambda E_n-A).$

Hierbei bezeichnet $E_n$ die $n$-dimensionale Einheitsmatrix und $\det$ die Determinante.

Ist $V$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum und $\varphi: V \to V$ ein Endomorphismus, dann ist das charakteristische Polynom $\chi_\varphi$ gegeben durch:

$\chi_\varphi(\lambda) = \det(\lambda \cdot \mathrm{id}_V - \varphi)= \chi_A(\lambda),$

wobei $A$ eine Darstellungsmatrix des Endomorphismus $\varphi$ ist.

Das charakteristische Polynom ist ein normiertes Polynom $n$-ten Grades aus $K[\lambda]$. Die Notation für das charakteristische Polynom ist sehr uneinheitlich, andere Varianten sind beispielsweise $\mathrm{CP}_A(\lambda)$ oder bei Bourbaki $\mathrm{Pc}_A(\lambda)$.

Die auch gebräuchliche Definition $\det(A-\lambda E_n)$ ist etwas ungeschickter, da dann der Leitkoeffizient bei ungeradem $n$ zu -1 wird und das Polynom dann nicht mehr normiert ist.

Zusammenhang mit Eigenwerten

Das charakteristische Polynom spielt eine wichtige Rolle bei der Bestimmung der Eigenwerte einer Matrix, denn die Eigenwerte sind genau die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Auch wenn man zum expliziten Berechnen des charakteristischen Polynoms immer eine Basis und damit eine Darstellungsmatrix auswählt, hängt das Polynom wie auch die Determinante nicht von dieser Wahl ab.

Um zu zeigen, dass die Eigenwerte gerade die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind, geht man folgendermaßen vor:

Es sei $\lambda\in\mathbb K$ und $A$ eine $n \times n$-Matrix über $\mathbb K$. Dann gelten die folgenden Äquivalenzen:

$\lambda$ ist ein Eigenwert von $A$.

$\Leftrightarrow$ Es gibt ein $x\in\mathbb K^n,x\ne 0$ mit $Ax=\lambda x$.

$\Leftrightarrow$ Es gibt ein $x\in\mathbb K^n,x\ne 0$ mit $(\lambda E - A) x = 0$.

$\Leftrightarrow \lambda E - A$ ist nicht invertierbar.

$\Leftrightarrow \det (\lambda E - A) = 0$

$\Leftrightarrow$ $\lambda$ ist Nullstelle des charakteristischen Polynoms von $A$.

Formeln und Algorithmen

Schreibt man das charakteristische Polynom in der Form

$\chi_A(\lambda) = \lambda^n - a_1 \lambda^{n-1} + a_2 \lambda^{n-2}\dots + (-1)^n a_n,$

so ist stets $a_1$ die Spur und $a_n$ die Determinante von $A$.

Speziell für 2 x 2-Matrizen hat das charakteristische Polynom also die besonders einfache Form

$\chi_A(\lambda) = \lambda^2 - \operatorname{spur}(A)\cdot\lambda + \det(A).$

Für 3 x 3-Matrizen ergibt sich die Form:

$\chi_A(\lambda) = \lambda^3 - \operatorname{spur}(A)\cdot\lambda^2 + \left( \det(A_1) + \det(A_2) + \det(A_3) \right)\cdot\lambda - \det(A).$

Hierbei ist $A_i$ die $2 \times 2$-Matrix, die man durch Streichen der $i$-ten Zeile und der $i$-ten Spalte erhält (ein Minor).

Die Koeffizienten von $\chi_A \;(\lambda)$ lassen sich mit Hilfe von geeigneten Verfahren, wie z.B. dem Algorithmus von Faddejew-Leverrier oder dem Algorithmus von Samuelson-Berkowitz, auch systematisch ermitteln.

Eigenschaften

• Die charakteristischen Polynome zweier ähnlicher Matrizen sind gleich. Die Umkehrung ist jedoch im Allgemeinen nicht richtig.
• Die Matrix $A$ und ihre Transponierte besitzen das gleiche charakteristische Polynom.
• Nach dem Satz von Cayley-Hamilton ist eine Matrix Nullstelle ihres charakteristischen Polynoms:

  $\chi_A\left(A\right) = 0$.

• Das Minimalpolynom einer linearen Abbildung teilt deren charakteristisches Polynom.
• Ist $A$ eine $m\times n$-Matrix und $B$ eine $n\times m$-Matrix so gilt $\chi_{AB}(\lambda)\, \lambda^n=\chi_{BA}(\lambda)\, \lambda^m$.

Beweis:

Aus den Matrixgleichungen

$\begin{pmatrix} \lambda E_m & -A \\ 0 & E_n \end{pmatrix}\, \begin{pmatrix} E_m & A \\ B & \lambda E_n\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \lambda E_m-AB & 0 \\ B & \lambda E_n\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} \lambda E_m & 0 \\ -B & E_n \end{pmatrix}\, \begin{pmatrix} E_m & A \\ B & \lambda E_n \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \lambda E_m & \lambda A \\ 0 & \lambda E_n-BA \end{pmatrix}$

sowie der Regel

$\det\begin{pmatrix} T & 0 \\ S & W \end{pmatrix} =\det(T)\, \det(W)$

folgt

$\det(\lambda E_m-AB)\, \lambda^n=\det\begin{pmatrix} E_m & A \\ B & \lambda E_n\end{pmatrix}\, \lambda^m=\det(\lambda E_n-BA)\, \lambda^m$.

Beispiel

Gesucht ist das charakteristische Polynom der Matrix

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}.$

Gemäß der obigen Definition rechnet man wie folgt:

$\begin{align} \chi_A(\lambda) &= \det(\lambda E - A)\\ &= \det \begin{vmatrix} \lambda-1 & 0 & -1\\ -2 & \lambda-2 & -1\\ -4 & -2 & \lambda-1 \end{vmatrix}\\ &= \lambda^3 - 4\lambda^2 - \lambda + 4 \\ &= (\lambda - 1)(\lambda + 1)(\lambda - 4). \end{align}$

Damit sind 1, -1 und 4 die Nullstellen des charakteristischen Polynoms $\chi_A(\lambda)$ und somit auch die Eigenwerte der Matrix $A$.

Weblinks

•  Wikiversity: Einführung zum charakteristischen Polynom auf Wikiversity – Kursmaterialien, Forschungsprojekte und wissenschaftlicher Austausch

• Online-Tool zum Berechnen des Charakteristischen Polynoms