Integralkosinus

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Verlauf des Integralcosinus (in grün) im Bereich 0 ≤ x ≤ 8π (untere Kurve).
Zum Vergleich in blau der Integralsinus (obere Kurve)

Der Integralkosinus ist eine Funktion, in deren Funktionsvorschrift ein Integral und die Kosinusfunktion auftreten. Diese Integralfunktion kann mit elementaren Methoden nicht ohne Integral dargestellt werden.

Der Integralkosinus ist definiert als:

{\rm Ci}(x) := \gamma + \ln x + \int_0^x\frac{\cos t-1}{t}\,dt \quad = -\int_x^\infty\frac{\cos t}{t}\,dt

Dabei ist \gamma=0{,}577215... die Euler-Mascheroni-Konstante

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Das in der Definition auftretende Integral wird auch mit \operatorname{Cin} bezeichnet:
{\rm Cin}(x) := \int_0^x\frac{1-\cos t}{t}\,dt
mit der Beziehung:
{\rm Cin}(x)=\gamma+\ln x-{\rm Ci}(x)\,
\mathrm{Si}'(x) = \frac{\sin x}{x}
gilt:
\mathrm{Ci}'(x) = \frac{\cos (x)}{x}
  • Analog der komplexen Eulerformel-Definition des Cosinus:
\cos x = \frac{1}{2} \left( \mathrm{e}^{\mathrm{i} x} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x} \right)
gilt:
\mathrm{Ci}(x) = \frac{1}{2} \left( \mathrm{Ei}(\mathrm{i}\ x) + \mathrm{Ei}(-\mathrm{i}\ x) \right)
  • Es lässt sich eine überall konvergente Reihe angeben:
\mathrm{Ci}\left(x\right)=\gamma+\ln x-\frac{x^2}{2!\cdot2}+\frac{x^4}{4! \cdot4}-\cdots \quad =\gamma+\ln x+\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!\cdot 2k}.

Anmerkung: In verschiedenen Formelsammlungen wird der Integralkosinus mit umgekehrten Vorzeichen definiert.

Eng verwandt ist der Integralsinus Si(x), der zusammen mit dem Integralcosinus Ci(x) in parametrischer Darstellung eine Klothoide bildet.

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]