Graph des Integralcosinus (grün, untere Kurve) und des Integralsinus (blau, obere Kurve) für Argumente 0 ≤ x ≤ 8π Der Integralkosinus ist eine Funktion , in deren Funktionsvorschrift ein Integral und die Kosinusfunktion auftreten. Diese Integralfunktion kann mit elementaren Methoden nicht ohne Integral dargestellt werden.
Der Integralkosinus ist definiert als:
C
i
(
x
)
:=
γ
+
ln
x
+
∫
0
x
cos
t
−
1
t
d
t
=
−
∫
x
∞
cos
t
t
d
t
{\displaystyle {\rm {Ci}}(x):=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cos t-1}{t}}\,dt\quad =-\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}\,dt}
Dabei ist
γ
=
0,577
215...
{\displaystyle \gamma =0{,}577215...}
Euler-Mascheroni-Konstante
Das in der Definition auftretende Integral wird auch mit
Cin
{\displaystyle \operatorname {Cin} }
Cin
(
x
)
:=
∫
0
x
1
−
cos
t
t
d
t
{\displaystyle \operatorname {Cin} (x):=\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\,dt}
mit der Beziehung:
Cin
(
x
)
=
γ
+
ln
x
−
Ci
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {Cin} (x)=\gamma +\ln x-\operatorname {Ci} (x)\,}
Si
′
(
x
)
=
sin
x
x
{\displaystyle \operatorname {Si} '(x)={\frac {\sin x}{x}}}
gilt:
Ci
′
(
x
)
=
cos
(
x
)
x
{\displaystyle \operatorname {Ci} '(x)={\frac {\cos(x)}{x}}}
Analog der komplexen Eulerformel -Definition des Cosinus
cos
x
=
1
2
(
e
i
x
+
e
−
i
x
)
{\displaystyle \cos x={\frac {1}{2}}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}\right)}
gilt mit der Integralexponentialfunktion
Ei
{\displaystyle \operatorname {Ei} }
Ci
(
x
)
=
1
2
(
Ei
(
i
x
)
+
Ei
(
−
i
x
)
)
{\displaystyle \operatorname {Ci} (x)={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {Ei} (\mathrm {i} \ x)+\operatorname {Ei} (-\mathrm {i} \ x)\right)}
Es lässt sich eine überall konvergente Reihe angeben:
Ci
(
x
)
=
γ
+
ln
x
−
x
2
2
!
⋅
2
+
x
4
4
!
⋅
4
−
⋯
=
γ
+
ln
x
+
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
x
2
k
(
2
k
)
!
⋅
2
k
{\displaystyle \operatorname {Ci} \left(x\right)=\gamma +\ln x-{\frac {x^{2}}{2!\cdot 2}}+{\frac {x^{4}}{4!\cdot 4}}-\cdots \quad =\gamma +\ln x+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k}}{(2k)!\cdot 2k}}}
Folgende unendliche Summe mit Integralkosinuswerten als Summanden ergibt diesen Wert:
∑
n
=
1
∞
Ci
(
2
π
n
)
=
1
4
−
1
2
γ
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {Ci} (2\pi n)={\frac {1}{4}}-{\frac {1}{2}}\gamma }
Denn es gelten folgende Integrale:
∫
0
∞
x
exp
(
−
w
x
)
x
2
+
1
d
x
=
1
2
π
sin
(
w
)
−
Si
(
w
)
sin
(
w
)
−
Ci
(
w
)
cos
(
w
)
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x\exp(-wx)}{x^{2}+1}}dx={\frac {1}{2}}\pi \sin(w)-\operatorname {Si} (w)\sin(w)-\operatorname {Ci} (w)\cos(w)}
∫
0
∞
x
(
x
2
+
1
)
[
exp
(
2
π
x
)
−
1
]
d
x
=
1
2
γ
−
1
4
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x}{(x^{2}+1)[\exp(2\pi x)-1]}}dx={\frac {1}{2}}\gamma -{\frac {1}{4}}}
Anmerkung: In verschiedenen Formelsammlungen wird der Integralkosinus mit umgekehrten Vorzeichen definiert.
Eng verwandt ist der Integralsinus
Si
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {Si} (x)}
Ci
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {Ci} (x)}
Klothoide bildet.
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x}{(x^{2}+1)[\exp(2\pi x)-1]}}dx={\frac {1}{2}}\gamma -{\frac {1}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0241efdd91972c7478be1af98eb19de3a56803e)
