Klassisches Runge-Kutta-Verfahren

Das klassische Runge-Kutta-Verfahren (nach Carl Runge und Martin Wilhelm Kutta) ist ein spezielles explizites 4-stufiges Runge-Kutta-Verfahren zur numerischen Lösung von Anfangswertproblemen (Gewöhnliche Differentialgleichungen). Runge hat als erster (1895) ein mehrstufiges Verfahren angegeben und Kutta die allgemeine Form expliziter s-stufiger Verfahren.

Das klassische Runge-Kutta-Verfahren verwendet – wie die weitaus meisten numerischen Lösungsverfahren für Differentialgleichungen – den Ansatz, Ableitungen (Differentialquotienten) durch Differenzenquotienten zu approximieren. Die dabei bei nichtlinearen Funktionen notwendigerweise auftretenden Fehler (es werden sämtliche höheren Glieder der Taylor-Entwicklung vernachlässigt) können durch geeignete Kombinationen verschiedener Differenzquotienten reduziert werden. Das klassische Runge-Kutta-Verfahren ist eine solche Kombination, die Diskretisierungsfehler bis zur dritten Ableitung kompensiert.

Details

Sei

$y'=f(x,y)$

eine gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung mit den Anfangsbedingungen

$y(x_{0})=y_{0}$

und sei weiter h die gewünschte Schrittweite. Dann wird der angenäherte Wert von $y(x_0+h)=y(x_1)$ nach Runge wie folgt errechnet:

$\begin{array}{rclrcl} &&&y'_0 &=& f(x_0,y_0)\\[0.7em] y_A &=& y_0+\frac{h}{2} \cdot y'_0& y'_A &=& f(x_0+\frac{h}{2},y_A)\\[0.3em] y_B &=& y_0+\frac{h}{2} \cdot y'_A& y'_B &=& f(x_0+\frac{h}{2},y_B)\\[0.3em] y_C &=& y_0+h \cdot y'_B& y'_C &=& f(x_0+h,y_C)\\[0.7em] y_1 &=& y_0+h \cdot \frac{1}{6}\left(y'_0+2(y'_A+y'_B)+y'_C\right) \end{array}$

Mit den neuen Werten x₁ und y₁ kann dann der nächste Rungeschritt durchgeführt werden. Die erzielte Genauigkeit liegt – bei genügend glattem $f(x,y)$ – in der Größenordnung von h⁴.

Systeme von Differentialgleichungen

Das obige Schema kann leicht auch auf Systeme von $n$ Differentialgleichungen $y'_i=f(x,y_1,\dots,y_i,\dots,y_n)$ erweitert werden. Es ist nur für jede abhängige Variable eine eigene Spalte $y_i$ bzw. $y_{i}'$ einzurichten und für jede die obigen Schritte auszuführen unter Verwendung der jeweiligen $y_i$ der vorangegangenen Zeile.

Literatur

• E. Hairer, S.P. Norsett, G. Wanner: Solving Ordinary Differential Equations I. Springer Verlag