Taylor-Formel

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Dieser Artikel behandelt die Taylorformel, also die Darstellung von Funktionen durch ein endliches Taylorpolynom und ein Restglied. Für die Darstellung von Funktionen durch den Grenzwert der Taylorpolynome siehe Taylorreihe.

Die Taylor-Formel (auch Satz von Taylor) ist ein Resultat aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis. Sie ist benannt nach dem Mathematiker Brook Taylor. Man kann diese Formel verwenden, um Funktionen in der Umgebung eines Punktes durch Polynome, die sogenannten Taylorpolynome, anzunähern. Man spricht auch von der Taylor-Näherung. Die Taylor-Formel ist aufgrund ihrer relativ einfachen Anwendbarkeit und Nützlichkeit ein Hilfsmittel in vielen Ingenieur- und Naturwissenschaften geworden. So kann ein komplizierter analytischer Ausdruck durch ein Taylorpolynom geringen Grades (oftmals gut) angenähert werden, z. B. in der Physik oder bei der Ausgleichung geodätischer Netze: So ist die oft verwendete Kleinwinkelnäherung des Sinus eine nach dem ersten Glied abgebrochene Taylorreihe dieser Funktion.

Eng verwandt mit der Taylor-Formel ist die sogenannte Taylorreihe (Taylor-Entwicklung).

Motivation[Bearbeiten]

Annäherung durch Tangente[Bearbeiten]

Eine Näherung für eine differenzierbare Funktion f an einer Stelle a durch eine Gerade, also durch ein Polynom 1. Grades, ist gegeben durch die Tangente mit der Gleichung

T_1 f(x; a) = f(a) + f'(a)(x-a).

Sie lässt sich dadurch charakterisieren, dass an der Stelle x=a die Funktionswerte und die Werte der 1. Ableitung (= Steigung) von f(x) und T_1 f(x; a) übereinstimmen: f(a) = T_1 f(a; a), f'(a) = T_1' f(a; a).

Wenn man den Rest R_1 f(x; a) := f(x) - T_1 f(x; a) definiert, so gilt f(x) = T_1 f(x; a) + R_1 f(x; a). Die Funktion T_1 f(x; a) approximiert f in der Nähe der Stelle x=a in dem Sinne, dass für den Rest gilt

(1) ~ \lim_{x \to a} \frac{R_1 f(x; a)}{x-a} = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - T_1 f(x; a)}{x - a}= \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} - f'(a) = 0 (siehe bei der Definition der Ableitung).

Eine interessante Eigenschaft ist folgende: Da R_1 f(a; a) = 0, zeigt die Rechnung

(R_1 f)'(a; a) = \lim_{x \to a} \frac{R_1 f(x; a) - R_1 f(a; a)}{x-a} = \lim_{x \to a} \frac{R_1 f(x; a)}{x-a},

kombiniert mit (1), dass die Ableitung des Rests in a null ist.

Annäherung durch Schmiegparabel[Bearbeiten]

Man kann vermuten, dass man für zweimal differenzierbares f eine noch bessere Näherung erhält, wenn man dazu ein quadratisches Polynom T_2 f(x; a) verwendet, von dem man verlangt, dass zusätzlich noch T_2'' f(a; a) = f''(a) gilt. Der Ansatz T_2 f(x; a) = a_0 + a_1 (x-a) + a_2 (x-a)^2 führt durch Berechnung der Ableitungen auf a_0 = f(a), a_1 = f'(a) und a_2 = \frac{1}{2} f''(a), also T_2 f(x; a) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{1}{2} f''(a)(x-a)^2.

Diese Näherungsfunktion bezeichnet man auch als Schmiegparabel.

Man definiert nun dazu den passenden Rest R_2 f(x; a) := f(x) - T_2 f(x; a), sodass wieder f(x) = T_2 f(x; a) + R_2 f(x; a). Dann erhält man, dass die Schmiegparabel die gegebene Funktion bei x=a in der Tat besser approximiert, da nun (mit der Regel von L’Hospital):

\lim_{x \to a} \frac{R_2 f(x; a)}{(x-a)^2} = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a) - f'(a)(x - a)}{(x - a)^2} - \frac{1}{2}f''(a) = \lim_{x \to a} \frac{f'(x) - f'(a)}{2(x - a)} - \frac{1}{2}f''(a) = 0

gilt.

Annäherung durch Polynome vom Grad n[Bearbeiten]

Dieses Vorgehen lässt sich nun leicht auf Polynome n-ten Grades T_n(x) verallgemeinern: Hier soll gelten

T_n f(a; a) = f(a), T_n'f(x;a) = f'(a), \ldots, T_n^{(n)}f(x; a) = f^{(n)}(a).

Es ergibt sich T_n f(x;a) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n.

Mit der Regel von L’Hospital finden wir außerdem:

\lim_{x \to a} \frac{f(x) - T_n f(x; a)}{(x - a)^n} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x) - T_{n-1} f'(x; a)}{n (x - a)^{n-1}}

Daher ergibt sich mit vollständiger Induktion über n, dass für R_n(x; a) = f(x) - T_n(x; a) gilt:

\lim_{x \to a} \frac{R_n f(x; a)}{(x-a)^n} = 0

Qualitative Taylorformel[Bearbeiten]

Ist f n-mal differenzierbar, so folgt sofort aus der obigen Betrachtung, dass

f(x) = T_n f(x; a) + R_n f(x; a) = T_n f(x; a) + o(|x - a|^n), \quad x\rightarrow a,

wobei o für die Landau-Notation steht. Diese Formel nennt man „qualitative Taylorformel“.

Je näher x bei a liegt, desto besser approximiert also T_n f(x; a) (das sog. Taylorpolynom, siehe unten) an der Stelle x die Funktion f.

Definitionen und Satz[Bearbeiten]

Im Folgenden wird die Taylor-Formel mit Integralrestglied vorgestellt. Die Taylor-Formel existiert auch in Varianten mit anderem Restglied; diese Formeln folgen jedoch aus der Taylor-Formel mit Integralrestglied. Sie stehen unten im Abschnitt Restgliedformeln.

Sei I \subset \R ein Intervall und f\colon I\to\R eine (n + 1)-mal stetig differenzierbare Funktion. In den folgenden Formeln stehen  f', f'', \dots, f^{(k)} für die erste, zweite, …, k-te Ableitung der Funktion f.

Taylorpolynom[Bearbeiten]

Das n-te Taylorpolynom an der Entwicklungsstelle a \in I ist definiert durch:

\begin{align} T_n f(x; a) = & \sum_{k=0}^n {f^{(k)}(a) \over k!}(x-a)^k \\
= & f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \end{align}

Integralrestglied[Bearbeiten]

Das n-te Integralrestglied ist definiert durch:

R_{n} f(x; a) = \int\limits_a^x \frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t) \,\mathrm{d}t

Satz (Taylorformel mit Integralrestglied)[Bearbeiten]

Für alle a und x aus I gilt:

\begin{align} f(x) = & T_n f(x; a) + R_n f(x; a)\\
= & \sum_{k=0}^n {f^{(k)}(a) \over k!}(x-a)^k +\int\limits_a^x \frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t) \, \mathrm{d}t
\end{align}

Beweis[Bearbeiten]

Der Beweis der Taylor-Formel mit Integralrestglied erfolgt durch vollständige Induktion über n.

Der Induktionsanfang n=0 entspricht dabei genau dem Fundamentalsatz der Analysis angewendet auf die einmal stetig differenzierbare Funktion f:

 f(x) = f(a) + \int\limits_a^x f'(t) \mathrm{d}t = T_0 f(x;a) + R_0 f(x; a)

Der Induktionsschritt n \rightarrow n+1 (es ist zu zeigen, dass die Formel stets auch für n+1 gilt, falls sie für ein n gilt) erfolgt durch partielle Integration. Für (n+2)-mal stetig differenzierbares f ergibt sich:

\begin{align} 
&\frac{f^{(n+1)}(a)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} + R_{n+1} f(x; a)\\ 
=&\frac{f^{(n+1)}(a)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} + \int\limits_a^x\frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+2)}(t)\mathrm{d} t \\
=& \frac{f^{(n+1)}(a)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} + 
\left[\frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(t)\right]_{t=a}^{t=x} - \int\limits_a^x \frac{-(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)\mathrm{d} t\\
= & \frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(a)-\frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(a) + R_nf(x;a)\\
= & R_n f(x; a)\end{align}

und somit

T_{n+1} f(x; a) + R_{n+1} f(x; a) = T_n f(x; a) + R_n f(x; a) = f(x).

Restgliedformeln[Bearbeiten]

Es gibt außer der Integralformel noch andere Darstellungen des Restgliedes.

Schlömilch-Restglied und dessen Herleitung[Bearbeiten]

Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung ergibt sich für jede natürliche Zahl p mit 1\le p\le n+1, dass es ein \xi zwischen a und x gibt, sodass:

\int\limits_{a}^{x}{f^{(n+1)}(t) \frac{(x-t)^{n+1-p}}{n!} \cdot (x - t)^{p-1} dt} = \frac{f^{(n+1)}(\xi)(x - \xi)^{n+1-p}}{n!} \cdot \underbrace{\int\limits_{a}^{x}{(x - t)^{p-1}dt}}_{=\frac{(x - a)^p}{p}}

Damit folgt die Schlömilchsche Restgliedform:

R_n f(x; a) = \int\limits_a^x \frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t) \mathrm{d}t = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{p\cdot n!}(x-\xi)^{n+1-p}(x-a)^p

für ein \xi zwischen a und x.

Spezialfälle des Schlömilch-Restglieds[Bearbeiten]

Ein Spezialfall, nämlich der mit p=1, ist die Form nach Cauchy:

R_n f(x; a) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-\xi)^{n}(x-a)

für ein \xi zwischen a und x.

Im Spezialfall p = n+1 erhalten wir das Lagrangesche Restglied:

R_n f(x; a) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}

für ein \xi zwischen a und x. Bei dieser Darstellung braucht die (n+1)-te Ableitung von f nicht stetig zu sein.

Peano-Restglied[Bearbeiten]

Mit der Taylorformel mit Lagrange-Restglied erhält man für n-mal stetig differenzierbares f außerdem:

f(x) = T_{n-1} f(x; a) + \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}(x-a)^n = T_n f(x; a) + \frac{f^{(n)}(\xi) - f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

Darum kann man als Restglied auch

R_n f(x;a) = \frac{f^{(n)}(\xi) - f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

verwenden, wobei f hier nur n-mal stetig differenzierbar sein muss. Dieses Restglied nennt man Peano-Restglied.

Weitere Darstellung[Bearbeiten]

Setzt man \Theta = \tfrac{\xi - a}{x-a}, das heißt \xi = a + \Theta (x - a), so erhält die Lagrangesche Darstellung die Form

R_n f(x; a) = \frac{f^{(n+1)}(a + \Theta (x - a))}{(n+1)!}(x-a)^{n+1},

die Schlömilchsche

R_n f(x; a) = \frac{f^{(n+1)}(a + \Theta (x - a))}{p\cdot n!}(1-\Theta)^{n+1-p}(x-a)^{n+1},

und die Cauchysche

R_n f(x; a) = \frac{f^{(n+1)}(a + \Theta (x - a))}{n!}(1-\Theta)^{n}(x-a)^{n+1}

jeweils für ein \Theta zwischen 0 und 1.

Restgliedabschätzung[Bearbeiten]

Liegt das Intervall (a-r,a+r) in I (der Definitionsbereich von f), kann man mit dem Restglied von Lagrange (siehe im Abschnitt Restgliedformeln) für alle x \in (a - r, a + r) und ein \xi zwischen a und x (und somit auch \xi \in (a - r, a + r)) folgende Abschätzung herleiten:

|R_{n} f(x; a)| = \left| \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \right| \le \sup_{\xi \in (a - r, a + r)} \left| \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \right|

Gilt |f^{(n+1)}(x)| \le M_n für alle x \in (a-r,a+r), so gilt daher für das Restglied die Abschätzung

\forall x \in (a-r,a+r) : |R_n f(x; a)| \le M_n \frac{|x-a|^{n+1}}{(n+1)!} \le M_n \frac{r^{n+1}}{(n+1)!}.

Näherungsformeln für Sinus und Kosinus[Bearbeiten]

Eine Anwendung der Taylorformel sind Näherungsformeln, hier vorgestellt am Beispiel Sinus und Kosinus (wobei das Argument im Bogenmaß angegeben wird).

Für f(x) = \sin(x) gilt f'(x) = \cos (x),\, f''(x) = -\sin(x),\, f'''(x) = -\cos(x), f''''(x) = \sin (x), also lautet das 4. Taylorpolynom der Sinusfunktion an der Entwicklungsstelle 0

T_4 \sin(x; 0) = f(0) + f'(0)x + \frac{1}{2}f''(0)x^2 + \frac{1}{6}f'''(0)x^3 + \frac{1}{24}f''''(0)x^4 = x - \frac{x^3}{6}.

Aus f^{(5)}(x) = \cos(x) ergibt sich für das Restglied von Lagrange R_4 \sin(x; 0) = \frac{f^{(5)}(\xi)}{5!} x^5 = \frac{\sin(\xi)}{120}x^5 mit \xi zwischen 0 und x. Wegen |\sin(\xi)| \leq 1 folgt die Restgliedabschätzung |T_4\sin(x; 0)-\sin(x)| \leq \frac{|x|^5}{120}.

Liegt x zwischen -\frac{\pi}{4} und \frac{\pi}{4}, dann liegt die relative Abweichung \left|\frac{T_4 \sin(x; 0)-\sin(x)}{\sin(x)}\right| von T_3 \sin(x; 0) zu \sin(x) bei unter 0,5%.

Tatsächlich genügt für die Annäherung des Sinus auf diese Genauigkeit sogar schon das Taylorpolynom 3. Ordnung, da f''''(0) = 0 für f(x) = \sin(x), und daher T_3 \sin(x; 0) = T_4 \sin(x; 0). Daraus ergibt sich auch folgende weitere Abschätzung für drittes und viertes Taylorpolynom, die bei sehr großen x genauer ist:

|T_4\sin(x; 0)-\sin(x)| \leq \frac{x^4}{24}

Die folgende Abbildung zeigt die Graphen einiger Taylorpolynome des Sinus um Entwicklungsstelle 0 für n =1, 3, 5, 15. Der Graph zu n = \infty gehört zur Taylorreihe, die mit der Sinusfunktion übereinstimmt.

Approximation des Sinus durch Taylorpolynome
Approximation des Sinus durch Taylorpolynome T_1 \sin(x; 0) bis T_{41} \sin(x; 0)

Das vierte Taylorpolynom T_4 \cos(x; 0) der Kosinusfunktion an der Entwicklungsstelle 0 hat im Horner-Schema diese Gestalt:

 \cos(x) \approx T_4 \cos(x; 0) = \left( \frac{x^2}{12} - 1 \right) \cdot \frac{x^2}{2} + 1

Liegt x zwischen -\frac{\pi}{4} und \frac{\pi}{4}, dann liegt die relative Abweichung \left|\frac{T_4\cos(x; 0)-\cos(x)}{\cos(x)}\right| bei unter 0,05 %.

Auch für Kotangens und Tangens kann man diese Formeln nutzen, denn es ist

 \tan(x)\sim t(x)=\frac{T_3 \sin(x; 0)}{T_4 \cos(x; 0)}

mit einer relativen Abweichung von unter 0,5 % für \left|x\right| < \frac{\pi}{4}, und \cot(x) \sim 1/t(x) mit derselben relativen Abweichung (dabei ist t kein Taylorpolynom des Tangens).

Braucht man eine noch höhere Genauigkeit für seine Näherungsformeln, dann kann man auf höhere Taylorpolynome zurückgreifen, die die Funktionen noch besser approximieren.

Taylor-Formel im Mehrdimensionalen[Bearbeiten]

Sei nun im Folgenden f: \R^d \to \R eine n+1-mal stetig differenzierbare Funktion und x, a = (x_1, \ldots, x_d), (a_1, \ldots, a_d) \in \R^d. Sei ferner F: \R \to \R, F(t) = f(a + th), wobei h = x - a.

Sei ferner wie in der Multiindex-Notation D^\alpha = \frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x_1^{\alpha_1} \cdots \partial x_d^{\alpha_d}}. Im folgenden Abschnitt wird die Multiindex-Notation verwendet, damit man sofort sieht, dass der mehrdimensionale Fall für d=1 tatsächlich dieselben Formeln ergibt wie der eindimensionale Fall.

Mehrdimensionales Taylorpolynom[Bearbeiten]

Mit der mehrdimensionalen Kettenregel und Induktion erhält man, dass

F^{(n)}(t) = \sum_{|\alpha| = n} \left(\begin{matrix}n \\ \alpha\end{matrix}\right) (x - a)^\alpha D^\alpha f(a + th),

wobei \left(\begin{matrix}n \\ \alpha\end{matrix}\right) der Multinomialkoeffizient ist, siehe Multinomialtheorem.

Stellt man F im Punkt 1 durch ein Taylorpolynom mit Entwicklungsstelle 0 dar, so erhält man durch diese Formel die Definition des mehrdimensionalen Taylorpolynoms von f an der Entwicklungsstelle a:

T_n f(x; a) := T_n F(1; 0) = \sum_{|\alpha| = 0}^{n}\frac{(x-a)^{\alpha}}{\alpha !} D^{\alpha}f(a)

Hierbei hat man verwendet, dass \left(\begin{matrix}n \\ \alpha\end{matrix}\right) \cdot \frac{1}{n!} = \frac{1}{\alpha!}.

Schmiegquadrik[Bearbeiten]

Das zweite Taylorpolynom einer skalarwertigen Funktion in mehr als einer Variable kann bis zur zweiten Ordnung kompakter geschrieben werden als:

T_2 f(x; a) = f(a) + (x - a)^T\,\nabla f(a)  + \frac{1}{2!} (x - a)^T \operatorname{H}_f(a) (x - a)

Dabei ist \nabla f(a) der Gradient und \operatorname{H}_f(a) die Hesse-Matrix von f jeweils an der Stelle a.

Das zweite Taylorpolynom nennt man auch Schmiegquadrik.

Mehrdimensionales Integralrestglied[Bearbeiten]

Ebenso definiert man das mehrdimensionale Restglied mithilfe der Multiindex-Notation:

\begin{align}R_n f(x; a) := & R_n F(1; 0) = \int\limits_0^1 \frac{(1-t)^n}{n!} F^{(n+1)}(t) \mathrm{d}t\\
= & (n+1) \int\limits_0^1 \sum_{|\alpha| = n + 1} \frac{(1 - t)^n (x - a)^\alpha}{\alpha !} D^{\alpha}f(a + th) dt\end{align}

Mehrdimensionale Taylor-Formel[Bearbeiten]

Aus der eindimensionalen Taylor-Formel folgt, dass

F(1) = T_n F(1; 0) + R_n F(1; 0)

Nach der obigen Definition von F(t) erhält man daher:

f(x) = T_n f(x; a) + R_n f(x; a)

Mehrdimensionale Restgliedformeln[Bearbeiten]

Man kann auch die eindimensionalen Nicht-Integral-Restgliedformeln mithilfe der Formel für F^{(n)}(t) für den mehrdimensionalen Fall verallgemeinern.

Das Schlömilch-Restglied wird so zu

R_n f(x; a) = \frac{(n+1)(1 - \theta)^{n + 1 - p}}{p} \sum_{|\alpha| = n + 1}  \frac{(x - a)^\alpha D^\alpha f(a + \theta h)}{\alpha!},

das Lagrange-Restglied zu

R_n f(x; a) = \sum_{|\alpha| = n + 1} \frac{(x - a)^\alpha D^\alpha f(a + \theta h)}{\alpha!},

und das Cauchy-Restglied zu

R_n f(x; a) = (n+1)(1 - \theta)^n \sum_{|\alpha| = n + 1} \frac{(x - a)^\alpha D^\alpha f(a + \theta h)}{\alpha!}

für jeweils ein \theta \in [0, 1].

Qualitative Taylorformel[Bearbeiten]

Nach der mehrdimensionalen Taylorformel ergibt sich mit dem Lagrange-Restglied:

f(x) - T_{n+1} f(x; a) = (n+1) \left( \sum_{|\alpha| = n + 1} \frac{(x - a)^\alpha D^\alpha f(a + \theta h)}{\alpha!} - \sum_{|\alpha| = n+1} \frac{(x-a)^{\alpha} D^{\alpha}f(a)}{\alpha!} \right)

Wegen |x_i - a_i| \le \|x - a\| erhalten wir ferner:

\begin{align} & (n+1) \left| \sum_{|\alpha| = n + 1} \frac{(x - a)^\alpha D^\alpha f(a + \theta h)}{\alpha!} - \sum_{|\alpha| = n+1} \frac{(x-a)^{\alpha} D^{\alpha}f(a)}{\alpha!} \right| \\
\le & (n+1) \frac{\|x - a\|^{n+1}}{\alpha!} \cdot \underbrace{\left| \sum_{|\alpha| = n + 1} \frac{D^\alpha f(a + \theta h) - D^{\alpha}f(a)}{\alpha!} \right|}_{\to 0\text{, } x \to a}
\end{align}

Der letzte Teil geht gegen null, da die partiellen Ableitungen vom Grad n+1 nach Voraussetzung alle stetig sind und a + \theta h sich zwischen x und a befindet und somit auch nach a konvergiert, falls x \to a.

Wir erhalten folgende Abschätzung, welche „(mehrdimensionale) qualitative Taylorformel“ genannt wird:

f(x) = T_{n+1} f(x; a) + \mathcal{O}(\|x - a\|^{n+1})

für x \to a, wobei \mathcal{O} für die Landau-Notation steht. [1]

Beispiel[Bearbeiten]

Es soll die Funktion

f : \{(x_1,x_2)\in\R^2,\ x_2<1\} \to \R,~(x_1,x_2) \mapsto \exp(x_1 - x_2) \cdot \log(1-x_2)

um den Punkt a = ( a_1, a_2) = ( 1, 0 ) \in \R^2 entwickelt werden.

Funktion (rot) und Taylorentwicklung (grün)

In diesem Beispiel soll die Funktion bis zum zweiten Grad entwickelt werden, d. h. man will ein Taylorpolynom zweiter Ordnung berechnen, also die sog. Schmiegquadrik. Es gilt also n=2. Wegen |\alpha| \le n müssen, gemäß der Multiindexschreibweise, die Tupel (0,0), (1,0), (0,1), (2,0), (1,1) und (0,2) berücksichtigt werden. Dabei gilt wegen des Satzes von Schwarz, dass

\frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} (a) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} (a).

Die partiellen Ableitungen der Funktion lauten:

\frac{\partial f}{\partial x_1} (a) = \left[ \exp(x_1-x_2) \cdot \log(1-x_2) \right]_{x=(1,0)} = 0
 \frac{\partial f}{\partial x_2} (a) = \left[ -\exp(x_1-x_2) \cdot \left( \log(1-x_2) + \frac{1}{1-x_2} \right) \right]_{x=(1,0)} = -e
 \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} (a) = \left[ \exp(x_1-x_2) \cdot \log(1-x_2) \right]_{x=(1,0)} = 0
 \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} (a) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} (a) = \left[ -\exp(x_1-x_2) \cdot \left( \log(1-x_2) + \frac{1}{1-x_2} \right) \right]_{x=(1,0)} = -e
\frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} (a) = \left[ \exp(x_1-x_2) \left( \log(1-x_2) + \frac{2}{1-x_2} - \frac{1}{(1-x_2)^2} \right) \right]_{x=(1,0)} = e

Es folgt mit der mehrdimensionalen Taylor-Formel:


\begin{align}
f(x) \approx & f(a) + \frac{1}{1!} \frac{\partial f}{\partial x_1}(a)~ (x_1-a_1) + \frac{1}{1!}  \frac{\partial f}{\partial x_2} (a) ~(x_2-a_2) \\
& + \frac{1}{2!} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} (a)~ (x_1-a_1)^2  + \frac{1}{1! 1!}  \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} (a)~ (x_1-a_1) (x_2-a_2) \\
& + \frac{1}{2!} \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} (a)~(x_2-a_2)^2 \\
& = 0 + 0 - e(x_2-0) + 0 -e(x_1-1)(x_2-0) + \frac{1}{2} e (x_2-0)^2 \\
& = -x_1 x_2 e + \frac{1}{2} x_2^2 e
\end{align}

Benutzt man die alternative Darstellung mit Hilfe der Jacobi- und der Hesse-Matrix, so erhält man:


\begin{align}
f(x) & \approx f(a) + J_f (a) (x-a) + \frac{1}{2} (x-a)^T  H_f (a) (x-a) \\
& = f(a) +  \begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial f}{\partial x_2} (a)\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1-a_1 \\ x_2-a_2 \end{pmatrix} 
\\ & \qquad
+ \frac{1}{2} \begin{pmatrix}x_1 - a_1  & x_2-a_2 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}(a) & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1}(a) \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2}(a) & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2}(a)
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x_1-a_1 \\ x_2-a_2 \end{pmatrix} \\
& = 0 + \begin{pmatrix}0 & -e\end{pmatrix} 
\begin{pmatrix}
x_1 - 1 \\ x_2
\end{pmatrix}
+ \frac{1}{2} \begin{pmatrix}x_1-1 &  x_2 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & -e \\ 
-e & e
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 - 1 \\ x_2
\end{pmatrix} \\
& = -x_1 x_2 e + \frac{1}{2} x_2^2 e
\end{align}

mit der Jacobi-Matrix J_f und der Hesse-Matrix H_f.

Literatur[Bearbeiten]

  • Otto Forster: Analysis. Band 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 8. verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0088-0 (Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik).
  • Otto Forster: Analysis. Band 2: Differentialrechnung im Rn. Gewöhnliche Differentialgleichungen. 7. verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0250-6 (Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik).
  • Konrad Königsberger: Analysis. Band 2. 3. überarbeitete Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-66902-7.
  • Bernhard Heck: Rechenverfahren und Auswertemodelle der Landesvermessung, Kapitel 4, 7 und 13 (Mathematische Modelle und Grundlagen). Wichmann-Verlag, Karlsruhe 1987.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Königsberger Analysis 2, S. 66