Taylor-Formel

Die Taylor-Formel (auch Satz von Taylor) ist ein Resultat aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis. Sie ist benannt nach dem Mathematiker Brook Taylor. Man kann diese Formel verwenden, um Funktionen in der Umgebung eines Punktes durch Polynome, die sogenannten Taylor-Polynome, anzunähern. Man spricht auch von der Taylor-Näherung. Die Taylor-Formel ist aufgrund ihrer relativ einfachen Anwendbarkeit und Nützlichkeit ein Hilfsmittel in vielen Ingenieur- und Naturwissenschaften geworden.

Eng verwandt mit der Taylor-Formel ist die sogenannte Taylorreihe (Taylor-Entwicklung).

Motivation

Eine Näherung für eine differenzierbare Funktion $f$ an einer Stelle $a$ durch eine Gerade, also durch ein Polynom 1. Grades, ist gegeben durch die Tangente

$T_1(x) = f(a) + f'(a)(x-a)$.

Sie lässt sich dadurch charakterisieren, dass an der Stelle $x=a$ die Funktionswerte und die Werte der 1. Ableitung (= Steigung) von $f$ und $T_1$ übereinstimmen: $f(a) = T_1(a), f'(a) = T_1'(a)$. Die Funktion $T_1$ approximiert $f$ in der Nähe der Stelle $x=a$ in dem Sinne optimal, dass für den Rest $R_1(x) = f(x) - T_1(x)$ gilt

$\lim_{x \to a} \frac{R_1(x)}{x-a} = 0$.

Man kann erwarten, dass man für zweimal differenzierbares $f$ eine noch bessere Näherung erhält, wenn man dazu ein quadratisches Polynom $T_2(x)$ verwendet, von dem man verlangt, dass zusätzlich noch $T_2''(a) = f''(a)$ gilt. Der Ansatz $T_2(x) = a_0 + a_1 (x-a) + a_2 (x-a)^2$ führt auf $a_0 = f(a), a_1 = f'(a)$ und $a_2 = \frac{1}{2} f''(a)$, also $T_2(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{1}{2} f''(a)(x-a)^2$. Diese Schmiegparabel approximiert in der Tat die gegebene Funktion bei $x=a$ besser, da nun für $R_2(x) = f(x) - T_2(x)$

$\lim_{x \to a} \frac{R_2(x)}{(x-a)^2} = 0$

gilt.

Dieses Vorgehen lässt sich nun leicht auf Polynome $n$-ten Grades $T_n(x)$ verallgemeinern: Hier soll gelten

$T_n(a) = f(a), T_n'(a) = f'(a), \ldots, T_n^{(n)}(a) = f^{(n)}(a)$.

Es ergibt sich $T_n(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$ und für $R_n(x) = f(x) - T_n(x)$ gilt:

$\lim_{x \to a} \frac{R_n(x)}{(x-a)^n} = 0$.

Definition und Satz

Sei $I$ ein reelles Intervall und $f: I\to\R$ eine $(n + 1)$-mal stetig differenzierbare Funktion. Dann gilt für alle $a$ und $x$ aus $I$:

$f(x) = T_n(x) + R_n(x) \,$

mit dem $n$-ten Taylorpolynom an der Entwicklungsstelle $a$

$T_n(x) = \sum_{k=0}^n {f^{(k)}(a) \over k!}(x-a)^k$

$= f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$

und dem $n$-ten Restglied

$R_{n}(x) = \int\limits_a^x \frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t) \mathrm{d}t$.

In den Formeln stehen $f', f'', \dots, f^{(n)}$ für die erste, zweite, ..., $n$-te Ableitung der Funktion $f$.

Beweis

Der Beweis dieser Formel für das Restglied erfolgt durch vollständige Induktion nach $n$.

Der Induktionsanfang $n=0$ entspricht dabei genau dem Fundamentalsatz der Analysis angewendet auf die einmal stetig differenzierbare Funktion $f$:

$f(x) = f(a) + \int\limits_a^x f'(t) \mathrm{d}t = T_0(x) + R_0(x)$

Der Induktionsschritt $n \rightarrow n+1$ erfolgt durch partielle Integration (es ist zu zeigen, dass die Formel stets auch für $n+1$ gilt, falls sie für ein $n$ gilt). Für $(n+2)$-mal stetig differenzierbares $f$ ergibt sich:

$T_{n+1}(x) + R_{n+1}(x)\,$

$= \sum\limits_{k=0}^{n+1} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + \int\limits_a^x\frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+2)}(t)\mathrm{d} t$

$=T_n(x) + \frac{f^{(n+1)}(a)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} + \left[\frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(t)\right]_{t=a}^{t=x} - \int\limits_a^x \frac{-(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)\mathrm{d} t$

$= T_n(x) + \frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(a)-\frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(a) + R_n(x)$

$= T_n(x) + R_n(x) = f(x)\,$

Restgliedformeln

Es gibt außer der Integralformel noch andere Darstellungen des Restgliedes. Eine ist die Form nach Lagrange:

$R_{n}(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$

für ein $\xi$ zwischen $a$ und $x$. Bei dieser Darstellung braucht die $(n+1)$-te Ableitung von $f$ nicht stetig zu sein.

Sie ist der Spezialfall $p = n+1$ der Schlömilchschen Restgliedform für die natürliche Zahl $p$ mit $1\le p\le n+1$:

$R_{n}(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{p\cdot n!}(x-\xi)^{n+1-p}(x-a)^p$

für ein $\xi$ zwischen $a$ und $x$.

Im Spezialfall $p=1$ erhalten wir das Cauchysche Restglied:

$R_{n}(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-\xi)^{n}(x-a)$

für ein $\xi$ zwischen $a$ und $x$. Das Cauchysche Restglied folgt auch aus der Integralform des Restgliedes und dem Mittelwertsatz der Integralrechnung.

Setzt man $\Theta = \tfrac{\xi - a}{x-a}$, das heißt $\xi = a + \Theta (x - a)$, so erhält die Lagrangesche Darstellung die Form

$R_{n}(x) = \frac{f^{(n+1)}(a + \Theta (x - a))}{(n+1)!}(x-a)^{n+1},$

die Schlömilchsche

$R_{n}(x) = \frac{f^{(n+1)}(a + \Theta (x - a))}{p\cdot n!}(1-\Theta)^{n+1-p}(x-a)^{n+1}$

und die Cauchysche

$R_{n}(x) = \frac{f^{(n+1)}(a + \Theta (x - a))}{n!}(1-\Theta)^{n}(x-a)^{n+1},$

jeweils für ein $\Theta$ zwischen 0 und 1.

Restgliedabschätzung

Liegt das Intervall $(a-r,a+r)$ in $I$ und gilt $|f^{(n+1)}(x)| \le M_n$ für alle $x \in (a-r,a+r)$, so gilt für das Restglied die Abschätzung

$|R_n(x)| \le M_n \frac{|x-a|^{n+1}}{(n+1)!} \le M_n \frac{r^{n+1}}{(n+1)!}$.

Insbesondere gilt

$\lim_{x\to a} \frac{R_{n}(x)}{(x-a)^n} = 0$

Je näher x bei a liegt, desto besser approximiert also das Taylorpolynom T_n an der Stelle x die Funktion f.

Näherungsformeln für Sinus und Kosinus

Eine Anwendung der Taylorformel sind Näherungsformeln, hier vorgestellt am Beispiel Sinus und Kosinus (wobei das Argument im Bogenmaß angegeben wird).

Für $f(x) = \sin(x)$ gilt $f'(x) = \cos x,\, f''(x) = -\sin(x),\, f'''(x) = -\cos(x)$, also lautet das 3. Taylorpolynom der Sinusfunktion an der Entwicklungsstelle 0

$T_{3,\sin}(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{1}{2}f''(0)x^2 + \frac{1}{6}f'''(0)x^3 = x - \frac{x^3}{6}.$

Aus $f^{(4)}(x) = \sin(x)$ ergibt sich für das Restglied von Lagrange $R_{3,\sin}(x) = \frac{f^{(4)}(\xi)}{4!} x^4 = \frac{\sin(\xi)}{24}x^4$ mit $\xi$ zwischen 0 und $x$. Wegen $|\sin(\xi)| \leq 1$ folgt die Restgliedabschätzung $|T_{3,\sin}(x)-\sin(x)| \leq \frac{x^4}{24}.$

Liegt x zwischen $-\frac{\pi}{4}$ und $\frac{\pi}{4}$, dann liegt die relative Abweichung $\left|\frac{T_{3,\sin}(x)-\sin(x)}{\sin(x)}\right|$ bei unter 0,5 %.

Die folgende Abbildung zeigt die Graphen einiger Taylorpolynome T_n des Sinus für n =1, 3, 5, 15. Der Graph zu n = ∞ gehört zur Taylorreihe, die mit der Sinusfunktion übereinstimmt.

Approximation des Sinus durch Taylorpolynome T_0,sin bis T_40,sin

Das vierte Taylorpolynom T_4,cos der Kosinusfunktion an der Entwicklungsstelle 0 hat im Horner-Schema diese Gestalt:

$\cos(x) \approx T_{4,\cos}(x) = \left( \frac{x^2}{12} - 1 \right) \cdot \frac{x^2}{2} + 1$

Liegt x zwischen $-\frac{\pi}{4}$ und $\frac{\pi}{4}$, dann liegt die relative Abweichung $\left|\frac{T_{4,\cos}(x)-\cos(x)}{\cos(x)}\right|$ bei unter 0,05 %.

Auch für Kotangens und Tangens kann man diese Formeln nutzen, denn es ist

$\tan(x)\sim t(x)=\frac{T_{3,\sin}(x)}{T_{4,\cos}(x)}$

mit einer relativen Abweichung von unter 0,5 % für $\left|x\right| < \frac{\pi}{4}$, und cot(x) ~ 1/t(x) mit derselben relativen Abweichung. (Dabei ist t kein Taylorpolynom des Tangens.)

Braucht man eine noch höhere Genauigkeit für seine Näherungsformeln, dann kann man auf höhere Taylorpolynome zurückgreifen, die die Funktionen noch besser approximieren. Warum das so ist, wird im Artikel Taylorreihe erläutert.

Taylor-Formel im Mehrdimensionalen

Für zwei Punkte $a, b \in \R^m$ bezeichne $[a, b]=\lbrace a + t(b-a)|t \in [0,1] \rbrace$ die Verbindungsstrecke von $a$ und $b$

Gegeben seien eine offene Menge $M \subset \mathbb R^m$, eine natürliche Zahl $k$ und eine $(k+1)$-mal stetig partiell differenzierbare Funktion $f \colon M \to \R$. Weiter sei $a \in M$.

Dann gibt es für alle $x \in M$ mit $[a, x] \subset M$ ein $z \in [a,x]$ so dass

$f(x)=\sum\limits_{|j|\leq k}\frac{D^jf(a)}{j!}(x-a)^j+\sum\limits_{|j|=k+1}\frac{D^jf(z)}{j!}(x-a)^j$

Hierbei wird die Multiindex-Notation verwendet:

• $j=(j_1, \dots, j_m )\in \mathbb N_0^m$ ist ein $m$-Tupel von natürlichen Zahlen
• $|j|=j_1+\cdots +j_m$ heißt die Länge von $j$
• $j!=j_1! \dots j_m!\,\!$
• $D^j f = \frac{\partial^j}{\partial x^j}f=\frac{\partial^{|j|}}{\partial x_1^{j_1} \cdots \partial x_m^{j_m}}f$
• $(x-a)^j=(x_1-a_1)^{j_1}(x_2-a_2)^{j_2}\cdots (x_m - a_m)^{j_m}$

Für die Approximation bis zur Ordnung 2 kann die Taylor-Formel auch wie folgt mit Hilfe der Jacobi-Matrix $J_f(a)$ und der Hesse-Matrix $H_f(a)$ dargestellt werden:

$f(x) \approx f(a) + J_f (a) (x-a) + \frac{1}{2} (x-a)^T H_f (a) (x-a)$

Beispiel

Es soll die Funktion

$f : \R^2 \to \R,~x \mapsto \exp(x_1 - x_2) \cdot \log(1-x_2)$

mit $x= ( x_1 , x_2) \in \R^2$ um den Punkt $a = ( a_1, a_2) = ( 1, 0 ) \in \R^2$ entwickelt werden.

In diesem Beispiel soll die Funktion bis zum zweiten Grad entwickelt werden. Es gilt also $k=2$. Wegen $|j| \le k$ müssen, gemäß der Multiindexschreibweise, die Tupel $(0,0)$, $(1,0)$, $(0,1)$, $(2,0)$, $(1,1)$ und $(0,2)$ berücksichtigt werden.

Die partiellen Ableitungen der Funktion lauten:

$\frac{\partial f}{\partial x_1} (a) = \left[ \exp(x_1-x_2) \cdot \log(1-x_2) \right]_{x=(1,0)} = 0$

$\frac{\partial f}{\partial x_2} (a) = \left[ -\exp(x_1-x_2) \cdot \left( \log(1-x_2) + \frac{1}{1-x_2} \right) \right]_{x=(1,0)} = -e$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} (a) = \left[ \exp(x_1-x_2) \cdot \log(1-x_2) \right]_{x=(1,0)} = 0$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} (a) = \left[ -\exp(x_1-x_2) \cdot \left( \log(1-x_2) + \frac{1}{1-x_2} \right) \right]_{x=(1,0)} = -e$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} (a) = \left[ \exp(x_1-x_2) \left( \log(1-x_2) + \frac{2}{1-x_2} - \frac{1}{(1-x_2)^2} \right) \right]_{x=(1,0)} = e$

Es folgt mit der mehrdimensionalen Taylor-Formel:

$\begin{align} f(x) \approx & f(a) + \frac{1}{1!} \frac{\partial f}{\partial x_1}(a)~ (x_1-a_1) + \frac{1}{1!} \frac{\partial f}{\partial x_2} (a) ~(x_2-a_2) \\ & + \frac{1}{2!} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} (a)~ (x_1-a_1)^2 + \frac{1}{1! 1!} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} (a)~ (x_1-a_1) (x_2-a_2) \\ & + \frac{1}{2!} \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} (a)~(x_2-a_2)^2 \\ & = 0 + 0 - e(x_2-0) + 0 -e(x_1-1)(x_2-0) + \frac{1}{2} e (x_2-0)^2 \\ & = -x_1 x_2 e + \frac{1}{2} x_2^2 e \end{align}$

Benutzt man die alternative Darstellung mit Hilfe der Jacobi- und der Hesse-Matrix, so erhält man:

$\begin{align} f(x) & \approx f(a) + J_f (a) (x-a) + \frac{1}{2} (x-a)^T H_f (a) (x-a) \\ & = f(a) + \begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial f}{\partial x_2} (a)\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1-a_1 \\ x_2-a_2 \end{pmatrix} \\ & \qquad + \frac{1}{2} \begin{pmatrix}x_1 - a_1 & x_2-a_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}(a) & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1}(a) \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2}(a) & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2}(a) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1-a_1 \\ x_2-a_2 \end{pmatrix} \\ & = 0 + \begin{pmatrix}0 & -e\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 - 1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix}x_1-1 & x_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -e \\ -e & e \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 - 1 \\ x_2 \end{pmatrix} \\ & = -x_1 x_2 e + \frac{1}{2} x_2^2 e \end{align}$

mit der Jacobi-Matrix $J_f$ und der Hesse-Matrix $H_f$.

Literatur

• Otto Forster: Analysis. Band 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 8. verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0088-0 (Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik).
• Otto Forster: Analysis. Band 2: Differentialrechnung im Rⁿ. Gewöhnliche Differentialgleichungen. 7. verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0250-6 (Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik).
• Konrad Königsberger: Analysis. Band 2. 3. überarbeitete Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-66902-7.
• Bernhard Heck: Rechenverfahren und Auswertemodelle der Landesvermessung, Kapitel 4, 7 und 13 (Mathematische Modelle und Grundlagen). Wichmann-Verlag, Karlsruhe 1987.