Die konische Hülle , manchmal auch positive Hülle genannt, ist ein spezieller Hüllenoperator , der jeder Teilmenge eines Vektorraumes den kleinsten konvexen Kegel zuordnet, der diese Menge enthält. Die konische Hülle findet Verwendung in der Theorie der mathematischen Optimierung , insbesondere in der linearen Optimierung
Definition
Gegeben sei ein
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
-Vektorraum
V
{\displaystyle V}
und
X
{\displaystyle X}
eine beliebige Teilmenge von
V
{\displaystyle V}
. Dann heißt
pos
(
X
)
:=
⋂
X
⊆
K
K
ist konvexer Kegel
K
{\displaystyle \operatorname {pos} (X):=\bigcap _{\scriptstyle X\subseteq {\mathcal {K}} \atop \scriptstyle {\mathcal {K}}{\text{ ist konvexer Kegel }}}{\mathcal {K}}}
die konische Hülle oder auch positive Hülle von
X
{\displaystyle X}
. Sie ist der kleinste konvexe Kegel, der
X
{\displaystyle X}
enthält.
Äquivalent dazu ist die Definition
pos
(
X
)
:=
{
∑
i
=
1
n
λ
i
x
i
|
n
∈
N
;
x
i
∈
X
;
λ
i
≥
0
}
{\displaystyle \operatorname {pos} (X):=\left\{\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}\,|\,n\in \mathbb {N} ;x_{i}\in X;\lambda _{i}\geq 0\right\}}
.
Bemerkungen
Allgemeiner lässt sich die Kegelhülle für beliebige
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-Vektorräume definieren, solange
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
ein geordneter Körper ist.
Die Notation
pos
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {pos} (X)}
wird in der Literatur nicht einheitlich verwendet, teilweise findet sich auch die Bezeichnung
cone
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {cone} (X)}
. Diese Notation bezeichnet aber auch manchmal den kleinsten (gewöhnlichen) Kegel , der
X
{\displaystyle X}
enthält und wird dann Kegelhülle genannt.
Eigenschaften
Die konische Hülle ist die kleinste Menge, die abgeschlossen bezüglich konischen Kombinationen der Elemente von
X
{\displaystyle X}
ist. Dies folgt direkt aus der zweiten Charakterisierung.
pos
{\displaystyle \operatorname {pos} }
ist ein Hüllenoperator , es gilt also für
X
,
Y
⊂
V
{\displaystyle X,Y\subset V}
X
⊂
pos
(
X
)
{\displaystyle X\subset \operatorname {pos} (X)}
,
X
⊂
Y
⟹
pos
(
X
)
⊂
pos
(
Y
)
{\displaystyle X\subset Y\implies \operatorname {pos} (X)\subset \operatorname {pos} (Y)}
,
pos
(
pos
(
X
)
)
=
pos
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {pos} (\operatorname {pos} (X))=\operatorname {pos} (X)}
.
Es gilt
pos
(
X
)
=
cone
(
conv
(
X
)
)
=
conv
(
cone
(
X
)
)
{\displaystyle \operatorname {pos} (X)=\operatorname {cone} (\operatorname {conv} (X))=\operatorname {conv} (\operatorname {cone} (X))}
. Hierbei ist
cone
{\displaystyle \operatorname {cone} }
die Kegelhülle und
conv
{\displaystyle \operatorname {conv} }
die konvexe Hülle .
Endlich erzeugter Kegel
Ein Kegel
K
{\displaystyle K}
heißt endlich erzeugter Kegel, wenn es eine endliche Menge
X
{\displaystyle X}
gibt, so dass
K
=
pos
(
X
)
{\displaystyle K=\operatorname {pos} (X)}
ist. Ein Kegel im
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
ist genau dann endlich erzeugt, wenn er ein Polyedrischer Kegel ist.
Beispiele
Sind im
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
die zwei Vektoren
v
1
=
(
0
1
)
,
v
2
=
(
1
0
)
{\displaystyle v_{1}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},\,v_{2}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}
.
gegeben, so ist
pos
(
v
1
,
v
2
)
=
{
x
∈
R
2
,
x
1
≥
0
,
x
2
≥
0
}
{\displaystyle \operatorname {pos} (v_{1},v_{2})=\{x\in \mathbb {R} ^{2}\,,\,x_{1}\geq 0,\,x_{2}\geq 0\}}
,
da sich jedes Element dieser Menge (der erste Quadrant ) als Positivkombination von
v
1
{\displaystyle v_{1}}
oder
v
2
{\displaystyle v_{2}}
darstellen lässt.
Sind die Monome
x
2
,
x
,
1
{\displaystyle x^{2},x,1}
gegeben, so ist
pos
(
x
2
,
x
,
1
)
=
{
λ
2
x
2
+
λ
1
x
+
λ
0
}
{\displaystyle \operatorname {pos} (x^{2},x,1)=\{\lambda _{2}x^{2}+\lambda _{1}x+\lambda _{0}\}}
für
λ
i
≥
0
{\displaystyle \lambda _{i}\geq 0}
. Dies sind dann genau alle Polynome vom Maximalgrad 2 mit positiven Koeffizienten.
Literatur