Kegel (Lineare Algebra)

In der linearen Algebra ist ein (linearer) Kegel eine Teilmenge eines Vektorraums, die abgeschlossen bzgl. Multiplikation mit positiven Skalaren ist.

Definition

Eine Teilmenge $C$ eines reellen Vektorraums $V$ ist genau dann ein (linearer) Kegel, wenn für jedes $x$ aus $C$ und jeden nichtnegativen Skalar aus dem $V$ zugrundeliegenden Körper auch $\lambda x \in C$ ist.

Eine gleichwertige Definition lautet: Eine Teilmenge $C$ eines reellen Vektorraums $V$ ist genau dann ein (linearer) Kegel, wenn für jeden nichtnegativen Skalar aus dem $V$ zugrundeliegenden Körper auch $\lambda C \subseteq C$ ist.

Diese Definition ist für jeden Vektorraum sinnvoll, der über einem geordneten Körper definiert ist, wo man also von größer und kleiner Null sprechen kann. Dazu gehören unter anderem die reellen Zahlen oder auch die rationalen Zahlen.

Spitze und stumpfe Kegel

Ein Kegel C heißt spitz, wenn er keine Gerade enthält, das heißt $-C \cap C \subseteq \{0\}$, andernfalls stumpf.

Konvexer Kegel

Ein konvexer Kegel ist ein Kegel, welcher unter Linearkombinationen mit nichtnegativen Koeffizienten abgeschlossen ist. K ist also konvexer Kegel genau dann, wenn $\forall x,y \in K, \alpha,\beta \in \mathbb{R}_0^+: \alpha x + \beta y \in K$.

Konvexe Kegel spielen eine wichtige Rolle in der Optimierung.

Affiner Kegel

Wenn C - v für ein v aus V ein Kegel ist, so nennt man C (affinen) Kegel mit Spitze v.

Eigenschaften

• Der Schnitt zweier Kegel ist wieder ein Kegel
• Das Komplement eines Kegels ist wieder ein Kegel

Kegelhülle

Die Kegelhülle cone(X) einer beliebigen Menge $X \subset V$ ist definiert durch $\operatorname{cone}(X) := \{\lambda x: \lambda \in \mathbb{R}_0^+, x \in X\}$.

cone ist ein Hüllenoperator

Siehe auch

• Kegel, Kegel (Geometrie)
• Geordneter Vektorraum