Kegel (Lineare Algebra)

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In der linearen Algebra ist ein (linearer) Kegel eine Teilmenge eines Vektorraums, die abgeschlossen bzgl. Multiplikation mit positiven Skalaren ist.

Definition[Bearbeiten]

Sei K ein geordneter Körper, beispielsweise die reellen oder auch die rationalen Zahlen. Eine Teilmenge C eines K-Vektorraums V heiße (linearer) Kegel, wenn für jedes Element x \in C und jeden nicht-negativen Skalar \lambda \in K;\lambda \ge 0 auch \lambda x \in C ist.[1]

Eine gleichwertige Charakterisierung lautet: Eine Teilmenge C eines Vektorraums V ist genau dann ein (linearer) Kegel, wenn für jeden nicht-negativen Skalar \lambda C \subseteq C gilt.

Arten von Kegeln[Bearbeiten]

Spitze und stumpfe Kegel[Bearbeiten]

Ein Kegel C heißt spitz, wenn er keine Gerade enthält, das heißt -C \cap C \subseteq \{0\}, andernfalls stumpf.

Punktierter Kegel[Bearbeiten]

Manche Autoren schränken obige Definition auf die Abgeschlossenheit unter der Multiplikation mit echt positiven Skalaren ein. In diesem Fall lassen sich punktierte Kegel (d.h. die 0_V ist nicht enthalten) und Kegel mit 0 unterscheiden.

Konvexer Kegel[Bearbeiten]

Hauptartikel: Konvexer Kegel

Ein konvexer Kegel ist ein Kegel, welcher unter Linearkombinationen mit nichtnegativen Koeffizienten abgeschlossen ist. K ist also konvexer Kegel genau dann, wenn \forall x,y \in K, \alpha,\beta \in \mathbb{R}_0^+: \alpha x + \beta y \in K.[1]

Konvexe Kegel spielen eine wichtige Rolle in der linearen Optimierung.

Affiner Kegel[Bearbeiten]

Wenn C-v für ein C \subseteq V und v \in V ein Kegel ist, so nennt man C (affinen) Kegel mit Spitze v. Anschaulich wird also ein (linearer) Kegel entlang des Ortsvektors \vec v verschoben.

Operatoren[Bearbeiten]

Kegelhülle[Bearbeiten]

Die Kegelhülle \operatorname{cone}(X) einer beliebigen Teilmenge X \subseteq V ist definiert durch

\operatorname{cone}(X) := \{\lambda x: \lambda \in \mathbb{R}_0^+, x \in X\}.

Dies ist offenbar der kleinste Kegel der X ganz enthält.

Es ist zu beachten, dass \operatorname{cone} tatsächlich der Definition eines Hüllenoperators genügt.

Dualer Kegel[Bearbeiten]

Bezeichnet V^* den Dualraum von V und sei weiter C ein Kegel in V. Dann ist der duale Kegel definiert durch

\operatorname{dual}(C) := \{ y^* \in V^* | \forall x \in C \colon \langle y^*;x \rangle \ge 0 \}

Dabei bezeichnet \langle . ; . \rangle die duale Paarung, das heißt es gilt \langle y^*;x \rangle := y^*(x).

Ist V sogar ein Hilbertraum mit Skalarprodukt \langle . ; . \rangle - dies ist nicht a priori mit der dualen Paarung gleichzusetzen - so vereinfacht sich die Definition des dualen Kegels auf

\operatorname{dual}(C) = \{ y \in V | \forall x \in C \colon \langle y;x \rangle \ge 0 \}

Anschaulich sind dies dann alle Vektoren die mit allen Elementen des Kegels einen Winkel von höchstens 90° einschließen.

Polarer Kegel[Bearbeiten]

Analog lässt sich der Begriff des polaren Kegels formulieren:

\operatorname{pol}(C) := \{ y^* \in V^* | \forall x \in C \colon \langle y^*;x \rangle \le 0 \}

In ein Hilbertraum gilt dann:

\operatorname{pol}(C) = \{ y \in V | \forall x \in C \colon \langle y;x \rangle \le 0 \}

Also die Menge aller Vektoren, die mit allen Kegelelementen einen Winkel von mindestens 90° haben und deshalb gilt C \cap \operatorname{pol}(C) = \{ 0_V \}

Für beide Versionen der Definition ergibt sich die Beziehung \operatorname{pol}(C) = - \operatorname{dual}(C) im jeweiligen Vektorraum.

Hinweis: Die Verwendung der beiden letztgenannten Begriffe ist in der Literatur nicht einheitlich. So wird gelegentlich - vor allem im englischen Sprachraum - der duale wie der polare Kegel definiert, beziehungsweise auch in unvollständigen Prähilberträumen die jeweils zweite Form der Definition verwendet, um die entstehenden Mengen als Kegel im Ursprungsraum V auffassen zu können.

Sphärischer Schnitt[Bearbeiten]

Ist der Vektorraum V durch \|.\| \colon V \to \R normiert, so lässt sich die Zentralprojektion eines Kegels C \subseteq V auf den Einheitskreis S = \{x \in V | \|x\| = 1 \} betrachten. Diese ist durch

\pi_C\ \colon\ C \setminus \{0_V \} \to S\ ;\ x \mapsto \frac{x}{\|x\|}

erklärt. Ihr Bild \operatorname{img}(\pi_C) = C \cap S ist offenbar gleich dem Schnitt des Kegels mit dem Einheitskreis.

Ein Kegel wird durch seinen Kreisschnitt vollständig beschrieben, denn es gilt:

\operatorname{cone} (\operatorname{img}(\pi_C)) = C

Eigenschaften[Bearbeiten]

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. a b  Andreas Fischer: Lineare Algebra. Teubner, Stuttgart 2003, ISBN 3-519-00370-8, S. 153.