Ky-Fan-Ungleichung

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

In der Mathematik wird als Ky-Fan-Ungleichung eine von Ky Fan entdeckte und erstmals von (Lit.: Beckenbach und Bellman, 1983) publizierte Ungleichung bezeichnet. Ihre Bedeutung liegt vor allem darin, dass sie durch ihre Ähnlichkeit mit der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel Ausgangspunkt für weitere Verallgemeinerungen ist.

Formulierung[Bearbeiten]

In der einfachsten Form lautet die Ky-Fan-Ungleichung folgendermaßen:

Falls x_i für i=1,\dots, n\; Zahlen mit  0 < x_i <\frac{1}{2}  sind, dann gilt

 \frac{ \left(\prod_{i=1}^n x_i \right)^{\frac{1}{n}}}{ \left(\prod_{i=1}^n \left(1- x_i \right) \right)^{\frac{1}{n} }} \ \leq \ \frac{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i }{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left(1- x_i \right) }
.

Das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn x_1=\cdots=x_n\;.

Bezeichnet man mit A_n:=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i das arithmetische Mittel und mit G_n:=\left(\prod_{i=1}^n x_i \right)^{\frac{1}{n}} das geometrische Mittel der Zahlen x_i\; sowie mit A^\prime_n:=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (1-x_i) das arithmetische Mittel und mit G^\prime_n:=\left(\prod_{i=1}^n (1-x_i) \right)^{\frac{1}{n}} das geometrische Mittel der Zahlen 1-x_i\;, so nimmt die Ky-Fan-Ungleichung die Form

\frac{G_n}{G^\prime_n}\leq\frac{A_n}{A^\prime_n}

an; die Ähnlichkeit zur Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel G_n\leq A_n wird damit deutlich.

Beweis[Bearbeiten]

Ein einfacher Beweis für die Ky-Fan-Ungleichung ergibt sich, wenn man die Jensensche Ungleichung auf die Funktion f(x)=\ln x -\ln (1-x)\; anwendet, die für 0<x\leq\frac{1}{2} konkav ist. Dieser Beweis liefert unmittelbar eine Verallgemeinerung der Ky-Fan-Ungleichung mit gewichteten Mittelwerten:

 \frac{ \prod_{i=1}^n x_i^{\gamma_i} }{ \prod_{i=1}^n \left(1- x_i \right)^{\gamma_i}}\leq\frac{ \sum_{i=1}^n \gamma_ix_i }{ \sum_{i=1}^n \gamma_i\left(1- x_i \right) }
,

wobei für die Gewichte \gamma_i\geq 0 und \sum_{i=1}^n \gamma_i =1 gelten muss.

Verwandte Ungleichungen[Bearbeiten]

(Lit.: Wang und Wang, 1984) haben die Ky-Fan-Ungleichung auf die harmonischen Mittelwerte H_n:=\frac{1}{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n 1/x_i} und H^\prime_n:=\frac{1}{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n 1/(1-x_i)} erweitert:

\frac{H_n}{H^\prime_n}\leq\frac{G_n}{G^\prime_n}\leq\frac{A_n}{A^\prime_n}.

Literatur[Bearbeiten]