Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel

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In der Mathematik besagt die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel, dass das arithmetische Mittel mindestens so groß wie das geometrische Mittel ist. Diese Ungleichung zählt zu den wichtigsten mathematischen Theoremen. Für n=2 war sie bereits Euklid bekannt; der erste Beweis für einen beliebigen Wert von n wurde 1729 von Colin Maclaurin veröffentlicht[1]

Formale Definition[Bearbeiten]

Die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel lautet für nichtnegative Zahlen x_1, x_2, \ldots, x_n

\sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n} \leq \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}.

Die linke Seite der Ungleichung ist das geometrische Mittel und die rechte Seite das arithmetische Mittel. Es gilt genau dann Gleichheit, wenn x_1= \dots =x_n gilt.

Geometrische Interpretation[Bearbeiten]

Ein Rechteck mit den Seiten x_1 und x_2 hat den Gesamtumfang 2x_1+2x_2. Ein Quadrat mit dem gleichen Flächeninhalt hat den Umfang 4 \sqrt{x_1 \cdot x_2}. Für n=2 besagt die Ungleichung

\frac{x_1+x_2}{2}\geq \sqrt{x_1 \cdot x_2}

also, dass unter allen Rechtecken mit gleichem Inhalt A=x_1 \cdot x_2 der Umfang mindestens

2x_1+2x_2\geq 4 \sqrt{x_1 \cdot x_2} =4\sqrt{A}

beträgt, wobei das Quadrat diesen geringsten Umfang hat.

Im Falle n=3 sagt die Ungleichung aus, dass unter allen Quadern mit gleichem Volumen der Würfel die kleinste Kantenlänge insgesamt hat. Die allgemeine Ungleichung erweitert diese Idee auf n Dimensionen.

Beweise[Bearbeiten]

Für den Fall, dass ein x_i\! gleich Null ist, ist das geometrische Mittel Null und die Ungleichung ist offensichtlich erfüllt; in den folgenden Beweisen kann daher x_i>0\! angenommen werden.

Beweis aus der jensenschen Ungleichung[Bearbeiten]

Die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel lässt sich beispielsweise aus der jensenschen Ungleichung beweisen: die Logarithmusfunktion ist konkav, daher gilt

\ln(\lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_n x_n)\geq\lambda_1 \ln x_1 + \dots + \lambda_n \ln x_n

für positive \lambda_i\; mit \sum_{i=1}^n \lambda_i = 1.

Durch Anwendung der Exponentialfunktion auf beide Seiten folgt

\lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_n x_n\geq \prod_{i=1}^n{x_i}^{\lambda_i}.

Für \lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_n=1/n ergibt das genau die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel.

Beweis von Polya[Bearbeiten]

Von George Polya stammt ein Beweis, der lediglich die Beziehung \exp(x)\geq 1+x der Exponentialfunktion voraussetzt. Für x_i/\bar{x}_\mathrm{arithm}-1 gilt dann

\exp\left(x_i/\bar{x}_\mathrm{arithm}-1\right)\geq x_i/\bar{x}_\mathrm{arithm}.

Multipliziert man diese Ungleichungen für i=1,\dots,n, so erhält man

\exp\left(\sum_i x_i/\bar{x}_\mathrm{arithm}-n\right)\geq \prod_i \left(x_i/\bar{x}_\mathrm{arithm}\right),

also

1=\exp\left(n-n\right)\geq \bar{x}_\mathrm{geom}^n/\bar{x}_\mathrm{arithm}^n

und somit

\bar{x}_\mathrm{arithm}^n\geq \bar{x}_\mathrm{geom}^n.

Induktive Beweise[Bearbeiten]

Der Beweis aus der jensenschen Ungleichung und der Polya-Beweis sind zwar sehr leicht verständlich, haben aber den Nachteil, dass Vorwissen über die Logarithmusfunktion beziehungsweise der Exponentialfunktion benötigt wird. Für die Untersuchung der bei der Definition der Exponentialfunktion verwendeten Folge

\exp(x) = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n

kann aber die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel hilfreich sein. Methodisch sind daher oft induktive Beweise zweckmäßiger; diese sind für die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel aber relativ schwierig.

Beweis mit Vorwärts-Rückwärts-Induktion[Bearbeiten]

Ein induktiver Beweis der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ist mit „Vorwärts-Rückwärts-Induktion“ möglich. Der Vorwärtsschritt erfolgt dabei, indem man aus der Gültigkeit der Ungleichung für n die Gültigkeit für 2n beweist. Der Rückwärtsschritt erfolgt, indem man aus der Gültigkeit der Ungleichung für n die Gültigkeit für n−1 zeigt, indem man \textstyle x_n=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n-1} x_i setzt. Dieser Beweis findet sich bereits bei Augustin Louis Cauchy. [2]

Beweis mittels Hilfssatz[Bearbeiten]

Ein anderer Beweis der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ergibt sich aus dem Hilfssatz, dass für u_i>0 und \textstyle \prod_{i=1}^n u_i =1 folgt, dass \textstyle \sum_{i=1}^n u_i \geq n. Dieser Beweis stammt von G. Ehlers.[3] Der Hilfssatz kann beispielsweise mit vollständiger Induktion bewiesen werden. Betrachtet man das Produkt \textstyle p:=\prod_{i=1}^{n} x_i und setzt u_i:=\tfrac{x_i}{\sqrt[n]{p}}, so erfüllen die so definierten \textstyle u_i\! nämlich die Voraussetzung \textstyle \prod_{i=1}^n u_i =1 des Hilfssatzes. Aus dem Hilfssatz folgt

n\leq \sum_{i=1}^n u_i = \sum_{i=1}^n \frac{x_i}{\sqrt[n]{p}},

also

\sqrt[n]{p} \leq \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i .

Einsetzen von \textstyle p=\prod_{i=1}^{n} x_i liefert dann die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel.

Beweis aus der Bernoulli-Ungleichung[Bearbeiten]

Ein direkter induktiver Beweis ist mit Hilfe der bernoullischen Ungleichung möglich: Sei o.B.d.A. x_{n+1} das maximale Element von x_1,\dots,x_n,x_{n+1} und \bar{x}_\mathrm{arithm} das arithmetische Mittel von x_1,\dots,x_n. Dann gilt x_{n+1}-\bar{x}_\mathrm{arithm}\geq 0, und aus der bernoullischen Ungleichung folgt, dass

\left(\frac{x_1+\dots+x_{n+1}}{(n+1)\bar{x}_\mathrm{arithm}}\right)^{n+1}=\left(1+\frac{x_{n+1}-\bar{x}_\mathrm{arithm}}{(n+1)\bar{x}_\mathrm{arithm}}\right)^{n+1}\geq 1+\frac{x_{n+1}-\bar{x}_\mathrm{arithm}}{\bar{x}_\mathrm{arithm}}=\frac{x_{n+1}}{\bar{x}_\mathrm{arithm}}.

Multiplikation mit \bar{x}_\mathrm{arithm}^{n+1} liefert

\left(\frac{x_1+\dots+x_{n+1}}{n+1}\right)^{n+1}\geq \bar{x}_\mathrm{arithm}^{n+1}\frac{x_{n+1}}{\bar{x}_\mathrm{arithm}}=\bar{x}_\mathrm{arithm}^nx_{n+1}\geq x_1\cdots x_n x_{n+1},

wobei die letzte Ungleichung nach Induktionsvoraussetzung gilt. Das Ziehen der (n+1)-ten Wurzel beendet den Induktionsbeweis.

Dieser Beweis findet sich beispielsweise im Lehrbuch der Analysis von H. Heuser, Teil 1, Kapitel 12.2.

Beweis aus der Umordnungs-Ungleichung[Bearbeiten]

Ein nicht-induktiver Beweis der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel, der ohne Logarithmusfunktion auskommt, lässt sich mit Hilfe der Umordnungs-Ungleichung durchführen. Aus der Umordnungs-Ungleichung folgt nämlich, dass für positive Zahlen a_1, \dots, a_n und jede beliebige Permutation a_{\sigma (1)}, \dots ,a_{\sigma (n)} die Beziehung

\frac{a_{\sigma (1)}}{a_1}+\cdots +\frac{a_{\sigma (n)}}{a_n} \geq n

gelten muss. Setzt man speziell

 a_1 = \frac{x_1}{\bar{x}_\mathrm{geom}}, a_2 = \frac{x_1 x_2}{\bar{x}_\mathrm{geom}^2}, \dots, a_n = \frac{x_1 x_2 \cdots x_n}{\bar{x}_\mathrm{geom}^n}=1,

so folgt also

 n \leq \frac{a_2}{a_1}+ \frac{a_3}{a_2} + \dots +\frac{a_n}{a_{n-1}} +\frac{a_1}{a_n} = \frac{x_{2}}{\bar{x}_\mathrm{geom}} + \frac{x_{3}}{\bar{x}_\mathrm{geom}} + \cdots + \frac{x_{n}}{\bar{x}_\mathrm{geom}} + \frac{x_{1}}{\bar{x}_\mathrm{geom}},

woraus unmittelbar die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel folgt.

Verallgemeinerungen[Bearbeiten]

Ungleichung vom gewichteten arithmetischen und geometrischen Mittel[Bearbeiten]

Für ein gegebenes positives Gewichtstupel \mathbf{w} = (w_1,\dots, w_n) mit w_i>0 und Summe \textstyle w:={\sum_{i=1}^n w_i} wird mit

\bar{x}_{arithm}=\frac{\sum_{i=1}^n w_i \cdot x_i }{w}

das gewichtete arithmetische Mittel und mit

\bar{x}_{geom}=\sqrt[w]{\prod_{i=1}^n x_i^{w_i}},

das gewichtete geometrische Mittel bezeichnet. Auch für diese gewichteten Mittel gilt die die Ungleichung

 \bar{x}_\mathrm{geom} \le   \bar{x}_\mathrm{arithm}.

Der Beweis dafür folgt direkt aus obigem Beweis mit der jensenschen Ungleichung.

Für n = 2, w_1 = \tfrac1p, w_2 = \tfrac1q mit w = \tfrac1p + \tfrac1q = 1 und x_1 = a^p, x_2 = b^q mit a, b \ge 0 erhält man die youngsche Ungleichung

ab \le \frac1p a^p + \frac 1q b^q

Ungleichung vom harmonischen und geometrischen Mittel[Bearbeiten]

Fordert man x_i echt größer Null und ersetzt in der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel x_i durch 1/x_i, so erhält man die Ungleichung vom harmonischen und geometrischen Mittel:

 \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}} \leq \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n{x_i}}.

Diese Ungleichung gilt ebenfalls für die gewichteten Mittel:

 \frac{w}{\sum_{i=1}^n \frac{w_i}{x_i}} \leq \sqrt[w]{\prod_{i=1}^n x_i^{w_i} }.

Ungleichung der verallgemeinerten Mittel[Bearbeiten]

Als Hölder-Mittel mit Exponent k bezeichnet man den Ausdruck

\bar{x}(k) = \sqrt[k]{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_i^k}}.
  • Für k=1\! erhält man das arithmetische Mittel,
  • Der Grenzwert k\to 0 ergibt das geometrisches Mittel.

Allgemein gilt für -\infty\le s \le t \le \infty die verallgemeinerte Mittelwertungleichung:

\bar{x} (s)\leq \bar{x} (t)

Diese Ungleichung lässt sich z.B. beweisen, indem man u_i:=x_i^s, v_i:=1\; setzt und u_i\; und v_i\; in die Hölder-Ungleichung mit p=t/s\; einsetzt, oder indem man die jensensche Ungleichung für die konvexe Funktion f(x)=x^{t/s}\; auf die Werte x_i^s anwendet.

Auch diese Ungleichung gilt ebenfalls für die gewichteten Mittel: Sei

\bar{x}(\mathbf{w},k) = \sqrt[k]{\frac{1}{w}\sum_{i=1}^n{w_i x_i^k}}

das mit \mathbf{w} gewichtete Mittel mit Exponent k der Zahlen x_i, so gilt für -∞ ≤ st ≤ ∞ die Ungleichung:

\bar{x}(\mathbf{w},s)\leq \bar{x}(\mathbf{w},t).

Diese Ungleichung lässt sich ebenfalls aus der Hölder-Ungleichung beweisen, indem man u_i:=w_i^{s/t} x_i^s, v_i:=w_i^{1-s/t}\; sowie p=t/s\; setzt, oder ebenfalls, indem man die jensensche Ungleichung für die konvexe Funktion f(x)=x^{t/s}\; auf die Werte x_i^s anwendet.

Übertragen auf Integrale über den Maßraum (\Omega, \mathcal A, \mu) mit einem endlichen Maß \mu(\Omega)<\infty nimmt die Ungleichung der verallgemeinerten Mittel die Form

\sqrt[s]{\frac{1}{\mu(\Omega)}\int_\Omega |f(x)|^s\,d\mu(x)}\leq \sqrt[t]{\frac{1}{\mu(\Omega)}\int_\Omega |f(x)|^t\,d\mu(x)}

an; insbesondere folgt daraus L^t(\Omega, \mathcal A, \mu)\subseteq L^s(\Omega, \mathcal A, \mu) für diese L^p-Räume.

Siehe auch[Bearbeiten]

  • Eine andere Verallgemeinerung der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ist die Muirhead-Ungleichung.
  • Aus der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel lässt sich die Cauchy-Schwarz-Ungleichung ableiten.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Paul J. Nahin: When Least is Best.Princeton University Press 2003. Appendix A. The AM-GM Inequality.
  2. Cauchy, Augustin-Louis. Analyse algébrique. Der Beweis der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ist auf Seite 457ff.
  3. W.D. Hayes: Colloquium on linear equations. Office of Naval Research Technical Report ONRL-35-54 (1954) (PDF; 2,0 MB)

Quellen[Bearbeiten]