Leech-Gitter

In der Mathematik ist das Leech-Gitter, benannt nach John Leech, ein 24-dimensionales Gitter, das unter anderem zur Konstruktion besonders effizienter Kugelpackungen im 24-dimensionalen Raum verwendet wird.

Konstruktion

Die Knoten des Leech-Gitters sind die Vektoren der Form

${\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}(a_{1},\ldots ,a_{24})\in \mathbb {R} ^{24}$

mit ganzen Zahlen $a_{1},\ldots ,a_{24}$, für die

$a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{24}\equiv 4a_{1}\equiv 4a_{2}\equiv \cdots \equiv 4a_{24}{\pmod {8}}$

gelten soll.

Eigenschaften

Das Leech-Gitter ist bis auf Isomorphie das einzige Gitter im $\mathbb {R} ^{24}$ mit den folgenden Eigenschaften:

• Es ist unimodular, d.h. es gibt eine Basis, so dass die Determinante der aus den Basisvektoren gebildeten 24-dimensionale Matrix gleich $1$ ist.
• Es ist gerade, d.h. das Quadrat der Norm jedes Knotens ist eine gerade ganze Zahl.
• Die Norm jedes von Null verschiedenen Knotens ist mindestens $2$.

Kugelpackung

Die Kugeln vom Radius ${\sqrt {2}}$ um die Knoten des Leech-Gitters bilden eine Kugelpackung, bei der jede Kugel genau 196.560 andere Kugeln berührt.

Henry Cohn, Abhinav Kumar, Stephen D. Miller, Danylo Radchenko und Maryna Viazovska bewiesen 2016, dass das Leech-Gitter die optimale 24-dimensionale Kugelpackung ist.

Symmetriegruppe

Die Symmetriegruppe des Leech-Gitters ist die Conway-Gruppe $C_{0}$, sie hat 8 315 553 613 086 720 000 Elemente.

Das Leech-Gitter hat keine Spiegelungssymmetrien.

Literatur

• John Leech: Notes on sphere packings. Canad. J. Math. 19, 1967, 251–267.
• John Conway, Neil Sloane: Sphere packings, lattices and groups. Third edition. With additional contributions by E. Bannai, R. E. Borcherds, J. Leech, S. P. Norton, A. M. Odlyzko, R. A. Parker, L. Queen and B. B. Venkov. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 290. Springer-Verlag, New York, 1999. ISBN 0-387-98585-9

Populärwissenschaftlich:

• George Szpiro: Die Keplersche Vermutung. Wie Mathematiker ein 400 Jahre altes Rätsel lösten. Aus dem Englischen übersetzt von Manfred Stern. Berlin: Springer (2011). ISBN 978-3-642-12740-3/hbk; 978-3-642-12741-0/ebook
• Marcus du Sautoy: Finding moonshine. A mathematician’s journey through symmetry. London: Fourth Estate (2008). ISBN 978-0-00-721461-7/hbk
• Thomas Thompson: From Error-Correcting Codes through Sphere Packings to Simple Groups, Carus Mathematical Monographs, Cambridge University Press 2004

Siehe auch

• Erweiterter (24,12;8,2)-Golay-Code