Limesmenge

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Dieser Artikel behandelt Limesmengen diskreter oder kontinuierlicher dynamischer Systeme, für die verwandten Begriffe der Limesmengen Kleinscher Gruppen oder allgemeiner Konvergenzgruppen siehe Kleinsche Gruppe#Limesmenge bzw. Konvergenzgruppe#Limesmenge.

In der Theorie dynamischer Systeme bezeichnet man als Limesmengen diejenigen Punkte des Zustandsraums, denen sich Orbits (für positive oder negative Zeit) unendlich oft annähern.

\omega-Limesmenge (Grenzzyklus) des Van-der-Pol-Oszillators

Definition[Bearbeiten]

Sei (T,X,\Phi) ein dynamisches System mit T=\mathbb Z oder \mathbb R. Sei x\in X ein Punkt des Zustandsraumes.

Die \omega-Limesmenge von x ist

\omega(x,\Phi):=\left\{y\in X: \exists t_n\rightarrow \infty, \Phi(t_n,x) \rightarrow y\right\}.

Die \alpha-Limesmenge von x ist

\alpha(x,\Phi):=\left\{y\in X: \exists t_n\rightarrow -\infty, \Phi(t_n,x)\rightarrow y\right\}.

Alternativ lassen sich Limesmengen auch wie folgt charakterisieren:

 \omega(x,\Phi) =  \bigcap_{n \in T} \overline{\left\{\Phi(t,x):t>n\right\}},
 \alpha(x,\Phi) =  \bigcap_{n \in T} \overline{\left\{\Phi(t,x):t<n\right\}}.

Die Limesmengen sind abgeschlossen und invariant unter \Phi. Falls X kompakt ist, sind die Limesmengen nicht leer.

Typen[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]