Merkle-Signatur

Die Merkle-Signatur ist ein digitales Signaturverfahren, das auf Merkle-Bäumen sowie Einmalsignaturen wie etwa den Lamport-Einmalsignaturen basiert. Es wurde von Ralph Merkle in den späten Siebzigern entwickelt und stellt eine Alternative zu traditionellen digitalen Signaturen wie dem Digital Signature Algorithm oder auf RSA basierenden Signaturen dar. Im Gegensatz zu diesen ist es resistent gegen Angriffe durch Quantencomputer, da seine Sicherheit nur von der Existenz sicherer Hashfunktionen abhängt.

Idee

Ein Problem von Einmalsignaturen, wie der Lamport-Signatur, ist die Übertragung des öffentlichen Schlüssels. Da jeder Schlüssel nur genau ein mal verwendet werden kann, kommt eine größere Datenmenge zusammen, die zuverlässig an den Empfänger weitergegeben werden muss.

Das Merkle-Signaturverfahren löst dieses Problem, indem das gesamte (öffentliche) Schlüsselmaterial von $2^n$ Einmalsignaturen in einem mehrstufigen Hash-Verfahren zu einem einzigen Hashwert $pub$ zusammengefasst wird. Als öffentlicher Schlüssel muss nur $pub$ veröffentlicht werden, anschließend lassen sich mit ihm $2^n$ Nachrichten signieren.

Die Signatur einer Nachricht besteht dann aus zwei Teilen:

• Einem der $2^n$ öffentlichen Schlüssel, sowie die mit dem entsprechenden privaten Schlüssel signierte Nachricht. Der Empfänger kann verifizieren, dass der Sender tatsächlich in Besitz des privaten Schlüssels war.
• Einem Nachweis, dass es sich bei dem öffentlichen Schlüssel um einen der $2^n$ Schlüssel handelt, aus denen der Hashwert $pub$ berechnet wurde.

Schlüsselerzeugung

Merkle-Baum mit 8 Blättern

Das Merkle-Signaturverfahren kann nur verwendet werden, um eine begrenzte Anzahl von Nachrichten mit einem öffentlichen Schlüssel $pub$ zu signieren. Die Anzahl möglicher Nachrichten entspricht einer Zweierpotenz und wird daher als $N=2^n$ bezeichnet.

Der erste Schritt bei der Generierung des öffentlichen Schlüssels $pub$ ist die Generierung des öffentlichen Schlüssels $X_i$ und des privaten Schlüssels $Y_i$ von $2^n$ Einmalsignaturen. Für jeden privaten Schlüssel $Y_i$ mit $1 \leq i \leq 2^n$ wird ein Hash-Wert $h_i=H(Y_i)$ berechnet. Mit diesen Hash-Werten $h_i$ wird ein Hash-Baum aufgebaut.

Ein Knoten des Baums wird mit $a_{i,j}$ identifiziert, wobei $i$ die Ebene des Knotens bezeichnet. Die Ebene eines Knotens ist über seinen Abstand zu den Blättern definiert. Somit hat ein Blatt die Ebene $i=0$ und die Wurzel die Ebene $i=n$. Die Knoten jeder Ebene sind von links nach rechts durchnummeriert, sodass $a_{i,0}$ der Knoten ganz links auf Ebene $i$ ist.

Im Merkle-Baum sind die Hash-Werte $h_i$ die Blätter des Binärbaums, sodass $h_i=a_{0,i}$. Jeder innere Knoten des Baums ist der Hash-Wert der Konkatenation seiner beiden Kinder. Beispielsweise ist $a_{1,0}=H(a_{0,0}||a_{0,1})$ und $a_{2,0}=H(a_{1,0}||a_{1,1})$.

Auf diese Weise wird ein Baum mit $2^n$ Blättern und $2^{n+1}-1$ Knoten aufgebaut. Die Wurzel des Baums $a_{n,0}$ ist der öffentliche Schlüssel $pub$ des Merkle-Signaturverfahrens.

Signierung

Merkle-Baum mit Pfad A und Authentifizierungspfad für i=2

Um eine Nachricht $M$ mit dem Merkle-Signaturverfahren zu signieren, wird die Nachricht $M$ zuerst mit einem Einmalsignaturverfahren signiert, wodurch die Signatur $sig'$ entsteht. Dazu wird eines der Schlüsselpaare aus öffentlichem und privatem Schlüssel $(X_i, Y_i,)$ verwendet.

Das einem öffentlichen "einmal" Schlüssel $X_i$ zugehörige Blatt des Hash-Baums ist $a_{0,i}=H(Y_i)$. Der Pfad im Hash-Baum von $a_{0,i}$ zur Wurzel wird mit $A$ bezeichnet. Der Pfad $A$ besteht aus $n+1$ Knoten, $A_0, \ldots, A_n$, wobei $A_0=a_{0,i}$ die Blätter sind und $A_n=a_{n,0}=pub$ die Wurzel des Baums ist. Um diesen Pfad $A$ zu berechnen wird jedes Kind der Knoten $A_{1}, \ldots, A_{n}$ benötigt. Es ist bekannt, dass $A_i$ ein Kind von $A_{i+1}$ ist. Um den nächsten Knoten $A_{i+1}$ des Pfades $A$ zu berechnen, müssen beide Kinder von $A_{i+1}$ bekannt sein. Daher wird der Bruder von $A_i$ benötigt. Dieser Knoten wird mit $auth_i$ bezeichnet, sodass $A_{i+1}=H(A_i||auth_i)$. Deswegen werden $n$ Knoten $auth_0,\ldots,auth_{n-1}$ benötigt, um jeden Knoten des Pfades $A$ zu berechnen. Diese Knoten $auth_{0},\ldots, auth_{n-1}$ werden berechnet und gespeichert. Sie bilden zusammen mit einer Einmalsignatur $sig'$ von $M$ die Signatur $sig=(sig', auth_0, auth_1,\ldots, auth_{n-1})$ des Merkle-Signaturverfahrens.

Verifizierung

Der Empfänger kennt den öffentlichen Schlüssel $pub$, die Nachricht $M$, und die Signatur $sig=(sig', auth_0, auth_1, \ldots, auth_{n-1})$. Zuerst verifiziert der Empfänger die Einmalsignatur $sig'$ der Nachricht $M$. Falls $sig'$ eine gültige Signatur von $M$ ist, berechnet der Empfänger $A_0=H(Y_i)$, indem er den Hash-Wert des privaten Schlüssels der Einmalsignatur berechnet. Für $j=1,..,n-1$ werden die Knoten $A_j$ des Pfades $A$ berechnet, mit $A_j=H(a_{j-1}||b_{j-1})$. Wenn $A_n$ dem öffentlichen Schlüssel $pub$ des Merkle-Signaturverfahrens entspricht, so ist die Signatur gültig.

Quellen

• G. Becker. "Merkle Signature Schemes, Merkle Trees and Their Cryptanalysis" (PDF-Datei; 370 kB), Seminar 'Post Quantum Cryptology' an der Ruhr-Universität Bochum.
• E. Dahmen, M. Dring, E. Klintsevich, J. Buchmann, L.C. Coronado Garca. "CMSS - an improved merkle signature scheme" (PDF-Datei; 264 kB). Progress in Cryptology - Indocrypt 2006, 2006.
• E. Klintsevich, K. Okeya, C.Vuillaume, J. Buchmann, E.Dahmen. "Merkle signatures with virtually unlimited signature capacity" (PDF-Datei; 179 kB). 5th International Conference on Applied Cryptography and Network Security - ACNS07, 2007.
• Ralph Merkle. "Secrecy, authentication and public key systems / A certified digital signature". Ph.D. dissertation, Dept. of Electrical Engineering, Stanford University, 1979. (PDF)
• S. Micali, M. Jakobsson, T. Leighton, M. Szydlo. "Fractal merkle tree representation and traversal". RSA-CT 03, 2003

Weblinks

• Efficient Use of Merkle Trees - Erklärung von RSA Security zum ursprünglichen Zwecks von Merkle-Trees: der Handhabung vieler Lamport-Einmalsignaturen.