Multinomialtheorem

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In der Mathematik stellt das Multinomialtheorem (auch Multinomialformel oder Multinomialsatz) oder Polynomialtheorem eine Verallgemeinerung der Binomischen Formel auf die Summe beliebig vieler Koeffizienten dar, indem es die Binomialkoeffizienten als Multinomialkoeffizienten verallgemeinert.

Formel[Bearbeiten]

Der Multinomialkoeffizient ist für nichtnegative ganze Zahlen k_1,\ldots, k_n und k :=\!\, k_1+\ldots+k_n definiert als

{k\choose k_1,\,\ldots,\,k_n} := \frac{k!}{k_1!\cdot\,\ldots\,\cdot k_n!}.

Der Multinomialsatz lautet dann

(x_1+x_2+\ldots+x_n)^k\,=\sum_{k_1+\ldots+k_n=k}{k\choose k_1,\ldots,k_n}\,\cdot\, x_1^{k_1}\cdot x_2^{k_2}\cdots x_n^{k_n}.

Eine kürzere Formulierung erlaubt die Multiindexnotation mit Multiindex \alpha:

(x_1 + x_2 + \cdots + x_n)^k = \sum_{|\alpha|=k} {{k} \choose \alpha}\cdot x^\alpha

Dabei identifiziert man x mit dem Vektor (x_1, \ldots, x_n) \in \R^n.

Anwendung[Bearbeiten]

Als Korollar aus dem Multinomialtheorem gewinnt man beispielsweise für Multiindizes die Abschätzung

n^k = (1 + \cdots + 1)^k = \sum_{|\beta| = k} \frac{|\beta|!}{\beta!} \ge \frac{|\alpha|!}{\alpha!}\qquad\qquad\forall \alpha \text{ mit } |\alpha| = k
\Leftrightarrow |\alpha|! \le n^{|\alpha|}\cdot\alpha!

Beweisskizze[Bearbeiten]

Das Multinomialtheorem lässt sich wahlweise mithilfe einer mehrdimensionalen Taylorentwicklung erster Ordnung oder per Induktion über n unter Zuhilfenahme der Binomischen Formel beweisen.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]