Oppenheim-Vermutung

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In der Mathematik ist die Oppenheim-Vermutung eine inzwischen bewiesene Vermutung über die Werte quadratischer Formen und das klassische Beispiel für die Anwendung ergodentheoretischer Methoden in der Zahlentheorie.

Aussage[Bearbeiten]

Sei n\ge 3 und

Q:\R^n\rightarrow \R

eine indefinite quadratische Form in n Variablen, die kein Vielfaches einer Form mit rationalen Koeffizienten ist.

Dann gibt es für jedes \epsilon >0 ein x\in \Z^n mit

0< Q(x) <\epsilon.

Als Korollar erhält man, dass Q(\Z^n)\subset \R eine dichte Teilmenge von \R ist.

Beispiel: Für jedes \epsilon >0 gibt es ganze Zahlen a,b,c mit

\mid a^2+b^2-\sqrt{2}c^2\mid <\epsilon.

Geschichte[Bearbeiten]

Die Vermutung in dieser Form wurde 1953 (eine schwächere Vorgänger-Version schon 1929) von Oppenheim aufgestellt und für n\ge 21 von Birch, Davenport und Ridout bewiesen. Der allgemeine Fall lässt sich auf den Fall n=3 zurückführen und dieser wurde von Raghunathan in folgende Vermutung über die Links-Wirkung von SO(2,1) auf dem Quotientenraum SL(3,\R)/SL(3,\Z) umformuliert:

Jeder beschränkte SO(2,1)-Orbit auf SL(3,\R)/SL(3,\Z) ist kompakt.

Diese Vermutung wurde 1987 von Margulis bewiesen. Eine allgemeinere Version der Raghunathan-Vermutung ist der heutige Satz von Ratner.