Polnischer Raum

Ein polnischer Raum ist ein Begriff aus der Topologie. Ein topologischer Raum X heißt polnisch, wenn er separabel und vollständig metrisierbar ist.

Ein polnischer Raum ist also ein topologischer Raum mit obigen speziellen Eigenschaften. Dabei bedeutet vollständig metrisierbar, dass es eine Metrik d auf X gibt, die die Topologie induziert und zugleich vollständig ist, das heißt dass jede Cauchy-Folge bezüglich d konvergiert. (Eine Metrik d induziert die Topologie auf X, wenn wir die offenen Mengen von X durch offene Kugeln bezüglich d erklären können.) Man beachte, dass die Vollständigkeit von der Metrik abhängt; ist der Raum bezüglich einer Metrik vollständig, so kann es andere Metriken geben, die dieselbe Topologie erzeugen, und nicht vollständig sind. Es wird hier gefordert, dass es wenigstens eine vollständige Metrik gibt, die die Topologie erzeugt.

Ein topologischer Raum X heißt separabel, wenn es eine abzählbare und dichte Teilmenge A gibt, das heißt A ist gleichmächtig zur Menge der natürlichen Zahlen und es gilt $\overline{A} = X$. Durch diese Eigenschaft werden polnische Räume in ihrer Größe eingeschränkt, sie sind daher auch maßtheoretischen Methoden zugänglich.

Separable und vollständig metrisierbare topologische Räume werden zu Ehren der polnischen Mathematiker, die sich als erste mit ihnen beschäftigten (Sierpinski, Kuratowski, Tarski), polnisch genannt. Polnische Räume spielen heute eine wichtige Rolle in der Deskriptiven Mengenlehre.

Effektive polnische Räume

Ein effektiver polnischer Raum ist ein polnischer Raum, der eine berechenbare Repräsentation besitzt. Derartige Räume sind Gegenstand der effektiven deskriptiven Mengenlehre und der konstruktiven Analysis.

Formal ist ein effektiver polnischer Raum ein polnischer Raum mit einer Metrik d so, dass es eine abzählbare dichte Menge C = (c₀, c₁,...) gibt, welche die folgenden zwei Relationen auf $\mathbb{N}^4$ berechenbar macht:

$P(i,j,k,m) \equiv d(c_i,c_j) \leq \frac{m}{k+1}$

$Q(i,j,k,m) \equiv d(c_i,c_j) < \frac{m}{k+1}$

Beispiele

1. Jeder endliche oder abzählbar unendliche diskrete Raum ist ein polnischer Raum.
2. Für jedes $n$ ist $\R^n$ mit seiner natürlichen Topologie ein polnischer Raum.
3. Allgemein ist jeder separable Banachraum versehen mit der durch seine Norm induzierten Topologie polnisch, etwa viele Funktionenräume wie die $L^p$-Räume.
4. Jeder kompakte metrisierbare Raum ist polnisch.
5. Das Produkt $\prod_{i \in I} X_i$ von polnischen Räumen $X_i$ (ausgestattet mit der Produkttopologie) bildet einen polnischen Raum, wenn die Indexmenge I endlich oder abzählbar ist.
6. Das cantorsche Diskontinuum ist ein polnischer Raum.
7. Die Menge der irrationalen Zahlen bildet einen polnischen Raum. In der üblichen ("euklidischen") Metrik (die durch $d(x, y) = |x-y|$ definiert ist) sind die Irrationalzahlen zwar nicht vollständig; eine Folge von Irrationalzahlen, die gegen eine rationale Zahl konvergiert, ist zwar eine Cauchyfolge, aber hat im Raum der Irrationalzahlen keinen Grenzwert. Die Irrationalzahlen sind aber homöomorph zum Produkt $\N^\N$ von abzählbar vielen Kopien der natürlichen Zahlen. Explizit kann man eine vollständige Metrik auf den Irrationalzahlen so angeben: $d(x, y) = \tfrac 1{n+1}$, wenn die ersten $n$ Terme der Kettenbruchentwicklung von $x$ und $y$ übereinstimmen, aber nicht der $n+1$-te Term.
8. Jede G_δ-Teilmenge eines polnischen Raums (also jeder Schnitt abzählbar vieler offener Teilmengen) ist wiederum ein polnischer Raum.
9. Die polnischen Räume sind bis auf Homöomorphie genau die G_δ-Teilmengen des Hilbertwürfels.
10. Jeder polnische Raum ist Bild einer stetigen Surjektion aus dem Baire-Raum. Der Baire-Raum ist ebenso wie der Cantor-Raum effektiv.

Siehe auch

• Analytische Menge
• Polnische Mathematikerschule