Lp-Raum

Die $L^p$-Räume auch Lebesgue-Räume sind in der Mathematik spezielle Räume, die aus allen p-fach integrierbaren Funktionen bestehen. Das L in der Bezeichnung geht auf den französischen Mathematiker Henri Léon Lebesgue zurück, da diese Räume über das Lebesgue-Integral definiert werden. Im Fall Banachraum-wertiger Funktionen (wie im Folgenden für allgemeines $E$ dargestellt) bezeichnet man sie auch als Bochner-Lebesgue-Räume. Das p in der Bezeichnung ist ein reeller Parameter: Für jede Zahl $0 < p \le \infty$ ist ein $L^p$-Raum definiert.

Definition

Halbnorm auf $\mathcal{L}^p$

Sei $(\Omega, \mathcal A, \mu)$ ein Maßraum und $0 < p < \infty$. Dann ist die folgende Menge ein Vektorraum:

$\mathcal{L}^p(\Omega, \mathcal A, \mu) := \left\{ f\colon \Omega \to \R: f\, {\rm ist\ messbar}\,, \int_\Omega |f(x)|^p \,{\rm d}\mu(x) < \infty \right\} \,.$

Die durch

$\|f\|_{{\mathcal L}^p} := \left(\int_\Omega |f(x)|^p\,{\rm d}\mu(x)\right)^{1/p}$

gegebene Abbildung ist für alle $p \geq 1$ eine Halbnorm auf $\mathcal{L}^p$. Die Dreiecksungleichung für diese Halbnorm wird Minkowski-Ungleichung genannt und kann mit Hilfe der Hölder-Ungleichung bewiesen werden.

Genau dann ist $\|\cdot\|_{{\mathcal L}^p}$ eine Norm auf $\mathcal{L}^p$, wenn die leere Menge die einzige Nullmenge in $\mathcal{A}$ ist. Gibt es nämlich eine Nullmenge $N\neq\emptyset$, so ist die charakteristische Funktion $1_N$ ungleich der Nullfunktion, aber es gilt $\|1_N\|_{{\mathcal L}^p}=0$.

Faktorraum mit Norm

Um auch im Fall einer Halbnorm $\|\cdot\|_{{\mathcal L}^p}$ zu einem normierten Raum zu kommen, identifiziert man Funktionen miteinander, wenn sie fast überall gleich sind. Formal bedeutet das: Man betrachtet den (von der Wahl von $p \geq 1$ unabhängigen) Untervektorraum

$\mathcal{N}^p := \{f\in\mathcal{L}^p \mid \|f\|_{{\mathcal L}^p}=0\} = \{f\in\mathcal{L}^p \mid f=0 ~ \mu\mbox{-fast überall}\} =: \mathcal{N}$

und definiert den Raum $L^p$ als den Faktorraum $\mathcal{L}^p/\mathcal{N}$. Zwei Elemente von $[f], [g]\in L^p$ sind also genau dann gleich, wenn $f - g \in \mathcal{N}$ gilt, also wenn $f$ und $g$ fast überall gleich sind.

Der Vektorraum $L^p$ ist durch $\|[f]\|_{L^p}:=\|f\|_{{\mathcal L}^p}$ normiert. Die Normdefinition hängt nicht von dem Repräsentanten aus $[f]$ ab, das heißt, für Funktionen $f_1,f_2\in[f]$ in der gleichen Äquivalenzklasse gilt $\|f_1\|_{\mathcal{L}^p}=\|f_2\|_{\mathcal{L}^p}$. Das begründet sich damit, dass das Lebesgue-Integral invariant gegenüber Änderungen des Integranden auf Nullmengen ist. Der normierte Vektorraum $L^p$ ist vollständig und damit ein Banachraum, die Norm $\| \cdot \|_{L^p}$ wird L^p-Norm genannt.

Auch wenn man von sogenannten $L^p$-Funktionen spricht, handelt es sich dabei um die gesamte Äquivalenzklasse einer klassischen Funktion. Allerdings liegen im Falle des Lebesgue-Maßes auf dem $\mathbb{R}^n$ zwei verschiedene stetige Funktionen nie in der gleichen Äquivalenzklasse, so dass der $L^p$-Begriff eine natürliche Erweiterung des Begriffs stetiger Funktionen darstellt.

Sonderfall p = ∞

Auch für $p=\infty$ kann man mithilfe des wesentlichen Supremum (in Zeichen: $\operatorname{ess\,sup}$) einen $L^p$-Raum definieren, den Raum der wesentlich beschränkten Funktionen. Hierfür gibt es verschiedene Möglichkeiten, die aber für σ-endliche Maßräume alle zusammenfallen. Am verbreitetsten ist:

$\mathcal{L}^\infty(\Omega, \mathcal A, \mu) := \left\{ f \colon \Omega \to \R: f\, {\rm ist\,messbar }\,, \|f\|_{{\mathcal L}^\infty} < \infty \right\}$;

dabei ist

$\|f\|_{\mathcal{L}^\infty} := \operatorname*{ess\,sup}_{x\in\Omega}|f(x)| \; \biggl( = \inf_{\scriptstyle N\in\mathcal{A}\atop\scriptstyle\mu(N)=0}\sup_{x\in\Omega\setminus N}|f(x)| \biggr).$

Betrachtet man analog zu oben $L^\infty:=\mathcal{L}^\infty/\mathcal{N}^{\infty}$, erhält man wieder einen Banachraum.

Beispiele

Lebesgue-Räume bezüglich des Lebesgue-Maßes

Ein sehr wichtiges Beispiel von $L^p$-Räumen ist durch einen Maßraum $\Omega\subset\R^n$ gegeben, $\mathcal{A}$ ist dann die borelsche σ-Algebra $\mathcal{B}(\Omega)$, und $\mu$ das Lebesgue-Maß $\lambda$. In diesem Zusammenhang wird die kürzere Notation $L^p(\Omega):=L^p(\Omega,\mathcal{B}(\Omega),\lambda)$ benutzt.

Der Folgenraum l^p

→ Hauptartikel: Folgenraum

Betrachtet man den Maßraum $(\N, \mathcal A, \mu)$, wobei hier also $\Omega$ als die natürlichen Zahlen und $\mu$ als das Zählmaß gewählt wurde, dann besteht der Raum $L^p(\N, \mathcal A, \mu)$ aus allen Folgen $(x_n)_{n \in \N}$ mit

$\left\{(x_n)_n \in \R^\N;\, \sum_{n=1}^\infty |x_n|^p < \infty \right\}\,$.

Dieser Raum wird mit $\ell^p$ bezeichnet. Die Grenzfälle $\ell^1$ und $\ell^\infty$ sind der Raum der absolut summierbaren Zahlenfolgen und der Raum der beschränkten Zahlenfolgen. Für alle $0< p\leq q\leq\infty$ gilt $\ell^p\subseteq\ell^q$.

Allgemeiner l^p-Raum

Völlig analog kann man zu einer beliebigen Indexmenge $I$ den Maßraum mit dem Zählmaß betrachten. In diesem Fall nennt man den $L^p$-Raum $\ell^p(I)$, es gilt

$\ell^p(I)=\left\{(x_i)_{i\in I} \in \R^I;\, \sum_{i\in I} |x_i|^p < \infty \right\}\,$,

wobei die Konvergenz der Summe implizieren möge, dass nur abzählbar viele Summanden ungleich null sind (siehe auch unbedingte Konvergenz).

Sobolev-Räume quadratintegrierbarer Funktionen

Wählt man $\Omega = \R^n$, $\mathcal{A} = \mathcal{B}(\R^n)$ als die borelsche σ-Algebra und $\mu = (1 + \|\xi\|^2)^{\frac{s}{2}} \lambda$, wobei $\lambda$ das Lebesgue-Maß ist, dann erhält man den Maßraum $(\R^n,\mathcal{B}(\R^n),(1 + \|\xi\|^2)^{\frac{s}{2}} \lambda)$. Der entsprechende Lebesgue-Raum $L^p(\R^n,\mathcal{B}(\R^n),(1 + \|\xi\|^2)^{\frac{s}{2}} \lambda)$ ist der Raum der quadratintegierbaren Sobolev-Funktionen.

Wichtige Eigenschaften

Vollständigkeit

Nach dem Satz von Fischer-Riesz sind die $L^p$-Räume vollständig für alle $1\le p \le \infty$, also Banachräume.

Einbettungen

Ist $\mu$ ein endliches Maß, gilt also $\mu(\Omega)<\infty$, so gilt $L^q\subseteq L^p\;$ für $q\geq p\geq 1\;$ (folgt aus der Ungleichung der verallgemeinerten Mittelwerte)

Für allgemeine Maße gilt für $1<p\leq q\leq r\leq\infty$ stets $\mathcal{L}^q\supseteq\mathcal{L}^p\cap\mathcal{L}^r$. Dies wird auch als konvexe oder Hölder-Interpolation bezeichnet.

Dichtheit und Separabilität

Sei $\Omega$ ein separabler Maßraum. Dann ist $L^p(\Omega)$ separabel für $1 \le p < \infty$. Der Raum $L^\infty(\Omega)$ ist hingegen im Allgemeinen nicht separabel, wohl aber wenn das Maß endlich ist.

Sei $\Omega \subset \R^n$ offen. Für $1 \leq p < \infty$ liegt der Testfunktionenraum $C_c^\infty(\Omega)$ dicht in $L^p(\Omega)$.

Dualräume und Reflexivität

→ Hauptartikel: Dualität von Lp-Räumen

Für $1 < p < \infty$ sind die Dualräume der $L^p$-Räume wieder Lebesgue-Räume. Konkret gilt

$L^p(\Omega,\mathcal A,\mu)^* \cong L^q(\Omega, \mathcal A, \mu),$

worin $q$ durch $\tfrac{1}{p}+\tfrac{1}{q} =1$ definiert ist, außerdem ist der kanonische, isometrische Isomorphismus

$L^q(\Omega, \mathcal A, \mu)\to L^p(\Omega,\mathcal A, \mu)^*$

gegeben durch

$f \mapsto \left(g \mapsto \int_\Omega g(\omega)\,f(\omega)\, {\rm d} \mu(\omega)\right).$

Daraus folgt, dass für $1< p < \infty$ die $L^p$-Räume reflexiv sind.

Für $p=1$ ist $L^1(\Omega, \mathcal A, \mu)^*$ zu $L^\infty(\Omega, \mathcal A, \mu)$ isomorph (der Isomorphismus analog zu oben), falls $(\Omega, \mathcal A, \mu)$ σ-endlich oder allgemeiner lokalisierbar ist. Ist $(\Omega, \mathcal A, \mu)$ nicht $\sigma$-endlich, so lässt sich $L^1(\Omega, \mathcal A, \mu)^*$ (wieder unter demselben Isomorphismus) als der Banachraum der lokal messbaren lokal im Wesentlichen beschränkten Funktionen darstellen.

Die Räume $L^1$ und $L^\infty$ sind nicht reflexiv.

Der Hilbertraum L²

Definition

Der Raum $L^2$ hat eine besondere Rolle unter den $L^p$-Räumen. Dieser lässt sich nämlich als einziger mit einem kanonischen Skalarprodukt versehen und wird somit zu einem Hilbertraum. Sei dazu wie oben $(\Omega, \mathcal A, \mu)$ ein Maßraum, $(H, \langle\cdot,\cdot\rangle_H)$ ein Hilbertraum (häufig $\mathbb C$ mit dem Skalarprodukt $\langle w,z\rangle = \overline wz$) und

$f\, ,g\in L^2(\Omega, \mathcal{A}, \mu;H)$.

Dann definiert

$\langle f,g\rangle_{L^2(\Omega,\mathcal A, \mu; H)}:=\int_\Omega \langle f(x),g(x)\rangle_H\, {\rm d}\mu(x)$

ein Skalarprodukt auf $L^2$. Die von diesem Skalarprodukt induzierte Norm ist die oben definierte $L^2$-Norm

$\|f\|^2_{L^2(\Omega,\mathcal A, \mu; H)} = \int_\Omega \| f(x)\|_H^2 {\rm d}\mu(x) = \int_\Omega \langle f(x),f(x)\rangle_H\, {\rm d}\mu(x).$

Da diese Funktionen der Norm nach zum Quadrat integrierbar sind, werden die $L^2$-Funktionen auch quadratintegrierbare Funktionen genannt.

Beispiel

Die Funktion $f \colon [1,\infty[ \to \R$, welche durch $\textstyle x \mapsto \frac{1}{x}$ definiert ist, ist eine $L^2$-, aber keine $L^1$-Funktion. Dies sieht man mit Hilfe des Integralkriteriums. In diesem Fall folgt aus dem Kriterium

$\int_1^\infty \left| \frac{1}{x} \right|^p \mathrm{d} x < \infty \ \Leftrightarrow \ \sum_{x=1}^\infty \left| \frac{1}{x} \right|^p < \infty.$

Für $p=1$ erhält man auf der rechten Seite die harmonische Reihe, welche nicht konvergiert, und im Fall $p=2$ steht auf der rechten Seite eine konvergente Reihe und deshalb konvergiert auch $\textstyle \int_1^\infty \frac{1}{x^2} \mathrm{d} x$. Andere Beispiele für $L^2$-Funktionen sind die Schwartz-Funktionen.

Erweiterter Hilbertraum

Wie weiter oben schon erwähnt, sind die $L^p$-Räume vollständig. Also ist der Raum $L^2$ mit dem Skalarprodukt wirklich ein Hilbertraum. Der Raum der Schwartz-Funktionen $\mathcal{S}(\R^n)$ und der Raum der Funktionen mit kompaktem Träger $\mathcal{D}(\R^n)$ liegen dicht in $L^2(\R^n).$ Daher erhält man die Inklusionen

$\mathcal{S}(\R^n) \subset L^2(\R^n) \hookrightarrow \mathcal{S}'(\R^n)$

und

$\mathcal{D}(\R^n) \subset L^2(\R^n) \hookrightarrow \mathcal{D}'(\R^n).$

Dabei wird mit $'$ der entsprechende topologische Dualraum bezeichnet, insbesondere heißt $\mathcal{D}'(\R^n)$ Raum der Distributionen und $\mathcal{S}'(\R^n)$ Raum der temperierten Distributionen. Die Paare

$(\mathcal{S}(\R^n), L^2(\R^n))$ und $(\mathcal{D}(\R^n), L^2(\R^n))$

sind Beispiele für erweiterte Hilberträume.

Bochner-Lebesgue-Räume

Die Bochner-Lebesgue-Räume sind eine Verallgemeinerung der bisher betrachteten Lebesgue-Räume. Sie umfassen im Gegensatz zu den Lebesgue-Räumen banachraumwertige Funktion.

Definition

Sei $(E,\|{\cdot}\|)$ ein Banachraum und $(\Omega, \mathcal A, \mu)$ ein Maßraum. Für $0 < p < \infty$ definiert man

$\mathcal{L}^p(\Omega, \mathcal A, \mu; E, \|\cdot\|) := \left\{ f\colon \Omega \to E: f\, {\rm ist\ messbar}\,, \int_\Omega \|f(x)\|^p \,{\rm d}\mu(x) < \infty \right\}$,

wobei sich „messbar“ auf die borelsche σ-Algebra der Normtopologie von $E$ bezieht. Die Abbildung

$\|f\|_{{\mathcal L}^p} := \left(\int_\Omega \|f(x)\|^p\,{\rm d}\mu(x)\right)^{1/p}$

ist ebenfalls eine Halbnorm auf $\mathcal{L}^p$, wenn $1\le p$ gilt. Die Bochner-Lebesgue-Räume sind nun genauso wie die Lebesgue-Räume als Faktorraum definiert.

Eigenschaften

Für die Bochner-Lebesgue-Räume gelten ebenfalls die Aussagen, die unter Eigenschaften aufgeführt sind. Nur bei den Dualräumen gibt es einen Unterschied. Für alle $1 < p < \infty$ gilt nämlich

$L^p(\Omega,\mathcal A,\mu; E)^* \cong L^q(\Omega, \mathcal A, \mu; E^*),$

wobei $q$ durch $\tfrac{1}{p}+\tfrac{1}{q} =1$ definiert ist und der Stern den Dualraum bezeichnet. Die Bochner-Lebesgue-Räume sind auch nur dann reflexiv, wenn der Banachraum $E$ reflexiv ist.

Beispiel: Zufallsvariable

In der Stochastik betrachtet man $L^p$-Räume, die mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß $P$ ausgestattet sind. Unter einer Zufallsvariable versteht man dann eine messbare Funktion $X\colon\Omega\rightarrow E$. Weiter ist der Erwartungswert für quasiintegrierbare $X$ als

$E(X):=\int_\Omega X {\rm d}P\in E$

definiert. Zufallsvariablen, die $L^1$-Funktionen sind, besitzen also einen endlichen Erwartungswert. Des Weiteren sind Zufallsvariablen genau dann in $L^2$, wenn man ihnen eine Varianz (Stochastik) zuweisen kann. Da das für praktische Anwendungen häufig gefordert ist, sind $L^p$-Räume gerade in der Stochastik wichtig.

Den Lebesgue-Räumen verwandte Räume

Oftmals betrachtet man auch $L^p$-Funktionen für $p < 1.$ Außerdem werden in der Funktionalanalysis die Sobolev-Räume und die Hardy-Räume untersucht, welche man als Spezialfälle der $L^p$-Räume verstehen kann und in der Differentialgeometrie gibt es auf Mannigfaltigkeiten eine Verallgemeinerung der $L^p$-Räume.

L^p für p < 1

Es gibt auch die Verallgemeinerung der $L^p$-Räume für $0 < p < 1$. Diese sind allerdings keine Banachräume mehr, weil die entsprechende Definition keine Norm liefert, sondern nur eine Quasinorm. In diesem Fall ist jedoch

$d_p(f,g) := \int_{\Omega} \|f(s)- g(s)\|^p \, {\rm d}s$

eine translationsinvariante Metrik auf $L^p(\Omega, \mathcal A, \mu; E)$, die diesen Raum zu einem vollständigen metrischen Vektorraum macht. Die Räume $L^p([0,1])$ sind ein Beispiel für einen nicht lokalkonvexen, topologischen Vektorraum.

Raum der lokal integrierbaren Funktionen

→ Hauptartikel: Lokal integrierbare Funktion

Eine lokal integrierbare Funktion ist eine Funktion, die nicht auf ihrem kompletten Definitionsbereich integrierbar sein muss, jedoch muss sie für jedes Kompaktum, das im Definitionsbereich liegt, integrierbar sein. Sei also $\Omega \subset \R^n$ offen. Dann heißt eine Funktion $f$ lokal integrierbar, falls für jedes Kompaktum $K \subset \Omega$ das Lebesgue-Integral

$\int_K |f(x)| \mathrm{d} x < \infty$

endlich ist. Die Menge dieser Funktionen wird mit $\mathcal{L}^1_{\operatorname{loc}}(\Omega)$ bezeichnet. Analog zu den $\mathcal{L}^p$-Räumen bildet man auch hier Äquivalenzklassen von Funktionen, die sich nur um Maß null unterscheiden, und erhält dann den Raum $L^1_{\operatorname{loc}}(\Omega)$. Mit einer entsprechenden Halbnorm, wird dieser zu einem Fréchet-Raum. Dieser Raum kann als Raum der regulären Distributionen verstanden werden und lässt sich daher stetig in den Raum der Distributionen einbetten. Analog zu $L^1_{\operatorname{loc}}(\Omega)$ lassen sich auch die Räume $L^p_{\operatorname{loc}}(\Omega)$ der lokal p-integrierbaren Funktionen definieren.

Sobolev-Räume

→ Hauptartikel: Sobolev-Raum

Neben den schon angeführten Sobolev-Räumen mit quadratintegierbaren Funktionen, gibt es noch weitere Sobolev-Räume. Diese werden mithilfe der schwachen Ableitungen definiert und umfassen p-integrierbare Funktionen. Verwendet werden diese Räume insbesondere zur Untersuchung von partiellen Differentialgleichungen.

Hardy-Räume

→ Hauptartikel: Hardy-Raum

Untersucht man statt den messbaren Funktionen nur die holomorphen beziehungsweise die harmonischen Funktionen auf Integrierbarkeit, so werden die entsprechenden $L^p$-Räume Hardy-Räume genannt.

Lebesgue-Räume auf Mannigfaltigkeiten

Auf einer abstrakten differenzierbaren Mannigfaltigkeit, die nicht in einen euklidischen Raum eingebettet ist, existiert zwar kein kanonisches Maß und somit kann man keine $L^p$-Funktionen definieren. Es aber trotzdem möglich, ein Analogon zum $L^p$-Raum zu definieren, indem man statt Funktionen auf der Mannigfaltigkeit sogenannte 1-Dichten untersucht. Weitere Informationen sind im Artikel Dichtebündel zu finden.

Quellen

• Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III. 1. Auflage. Birkhäuser-Verlag Basel Boston Berlin, 2001.