Primzerlegung (Topologie)

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In der Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, bezeichnet Primzerlegung eine Zerlegung von Mannigfaltigkeiten in "Primkomponenten".

Prim-Mannigfaltigkeiten[Bearbeiten]

Eine geschlossene zusammenhängende d-dimensionale Mannigfaltigkeiten M ist eine Prim-Mannigfaltigkeit, wenn sie sich nicht als zusammenhängende Summe zerlegen lässt, also wenn aus

M=M_1\sharp M_2

folgt, dass M_1 oder M_2 homöomorph zur Sphäre S^d ist.

Prim-Zerlegung[Bearbeiten]

Als Prim-Zerlegung einer geschlossenen zusammenhängenden d-dimensionalen Mannigfaltigkeit M wird eine Zerlegung als zusammenhängende Summe von endlich vielen Prim-Mannigfaltigkeiten bezeichnet, also

M=M_1\sharp\ldots\sharp M_k

mit Prim-Mannigfaltigkeiten M_1,\ldots, M_k (den Primkomponenten).

Existenz[Bearbeiten]

Aus der Poincaré-Vermutung folgt, dass jede geschlossene zusammenhängende 3-Mannigfaltigkeit eine Primzerlegung besitzt. Tatsächlich lässt sich nach dem Satz von Grushko-Neumann jede endlich erzeugte Gruppe als freies Produkt unzerlegbarer Gruppen zerlegen. Weil (in Dimensionen d\ge 3) die Fundamentalgruppe der zusammenhängenden Summe das freie Produkt der Fundamentalgruppen der einzelnen Summanden ist, kann man dann jede 3-Mannigfaltikgeit als zusammenhängende Summe endlich vieler Mannigfaltigkeiten nichttrivialer Fundamentalgruppe mit (a priori) weiteren einfach zusammenhängenden Mannigfaltigkeiten zerlegen, letztere müssen aber nach der Poincaré-Vermutung homöomorph zur Sphäre sein.

Im Fall 3-dimensionaler Mannigfaltigkeiten war die Existenz einer Prim-Zerlegung bereits 1924, also lange vor dem Beweis der Poincaré-Vermutung, von Kneser bewiesen worden. Seine Methoden wurden später von Haken zum Beweis der Endlichkeit von Hierarchien inkompressibler Flächen in Haken-Mannigfaltigkeiten verallgemeinert.

Kneser bewies, dass sich jede Zerlegung der Fundamentalgruppe einer geschlossenen 3-Mannigfaltigkeit als freies Produkt \pi_1M=\Gamma_1*\Gamma_2 durch eine zusammenhängende Summe M=M_1\sharp M_2 mit \pi_1M_i=\Gamma_i, i=1,2 realisieren lässt. Das analoge Problem in höheren Dimensionen war als Kneser-Vermutung bekannt, es gibt aber in allen Dimensionen d\ge 4 Gegenbeispiele zu dieser Vermutung.[1][2]

Die Prim-Zerlegung spielt eine wichtige Rolle in der Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten.

Eindeutigkeit[Bearbeiten]

Die Prim-Zerlegung geschlossener, orientierbarer 3-Mannigfaltigkeiten ist eindeutig (bis auf Umordnen und Homöomorphismen), das wurde 1962 von Milnor bewiesen.

In höheren Dimensionen gilt die Eindeutigkeit nicht, zum Beispiel ist

\C P^2 \sharp \overline{\C P^2}\sharp \overline{\C P^2}\simeq (S^2\times S^2)\sharp\overline{\C P^2}.

Auch für nicht-orientierbare Mannigfaltigkeiten gilt die Eindeutigkeit der Primzerlegung nicht, Gegenbeispiele gibt es bereits in Dimension 2.

Literatur[Bearbeiten]

  • Hellmuth Kneser: Ein topologischer Zerlegungssatz. Proc. Konink. Nederl. Akad. Wetensch. 27 (1924), 601—616.
  • John Milnor: A unique decomposition theorem for 3-manifolds. Amer. J. Math. 84 1962 1–7.

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Kreck, Matthias; Lück, Wolfgang; Teichner, Peter: Counterexamples to the Kneser conjecture in dimension four. Comment. Math. Helv. 70 (1995), no. 3, 423–433.pdf
  2. Cappell, Sylvain E.: On connected sums of manifolds. Topology 13 (1974), 395–400.