Inkompressible Fläche

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In der Mathematik sind inkompressible Flächen ein wichtiges Hilfsmittel der 3-dimensionalen Topologie. Durch Aufschneiden entlang inkompressibler Flächen können 3-dimensionale Mannigfaltigkeiten in einfachere Stücke zerlegt werden.

Definition[Bearbeiten]

Sei (M,\partial M) eine 3-dimensionale Mannigfaltigkeit mit (evtl. leerem) Rand und (F,\partial F)\subset (M,\partial M) eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit, d.h. eine eigentlich eingebettete Fläche.

Inkompressible Fläche[Bearbeiten]

Eine Kompressionsscheibe für F ist eine eingebettete Kreisscheibe

(D^2,\partial D^2)\subset (M,F),

so dass F\cap D^2=\partial D^2 in F nicht homotop zu einer konstanten Abbildung ist.

Die Fläche F heißt inkompressibel wenn

  • F\not= S^2,D^2,\R P^2 und es keine Kompressionsscheibe für F gibt, oder
  • F=D^2 und \partial F ist in \partial M nicht homotop zu einer konstanten Abbildung.

Rand-inkompressible Fläche[Bearbeiten]

Eine Rand-Kompressionsscheibe für F ist ein eingebettetes Tripel (D^2,A,B)\subset (M,\partial M,F) mit A\cup B=\partial D^2, D^2\cap F=B, so dass D^2 nicht (rel. \partial D^2) isotop zu einer Einbettung mit Bild in \partial M\cup F ist, deren Bild \partial M und F jeweils in Kreisscheiben schneidet.

Die Fläche F heißt \partial-inkompressibel wenn es keine Rand-Kompressionsscheibe für F gibt.

Fundamentalgruppe[Bearbeiten]

Wenn F eine inkompressible Fläche in M ist, dann ist der von der Inklusion i:F\rightarrow M induzierte Homomorphismus der Fundamentalgruppen

i_*:\pi_1F\rightarrow\pi_1M

injektiv. Für zweiseitige Flächen gilt auch die Umkehrung: eine zusammenhängende zweiseitige Fläche ist inkompressibel genau dann, wenn sie \pi_1-injektiv ist.

Existenz[Bearbeiten]

Wenn M eine kompakte irreduzible 3-Mannigfaltigkeit ist, dann gibt es zu jeder Homologieklasse

z\in H_2(M,\partial M;\Z)

eine (orientierbare, evtl. unzusammenhängende) inkompressible und \partial-inkompressible Fläche F\subset M, so dass

i_*\left[F,\partial F\right]=z.

Hierbei bezeichnet i:(F,\partial F)\rightarrow (M,\partial M) die Inklusion und \left[F,\partial F\right]\in H_2(F,\partial F;\Z) die Fundamentalklasse von F.

Satz von Haken[Bearbeiten]

Der Satz von Haken besagt, dass Aufschneiden einer 3-Mannigfaltigkeit entlang einer inkompressiblen, rand-inkompressiblen Fläche die Haken-Komplexität der 3-Mannigfaltigkeit verringert. Dies wird in der 3-dimensionalen Topologie häufig benutzt, um Beweise mittels Induktion nach der Haken-Komplexität zu führen.

Minimalflächen[Bearbeiten]

Nach einem Satz von Freedman, Hass und Scott ist jede inkompressible Fläche (in einer kompakten 3-Mannigfaltigkeit) isotop zu einer Minimalfläche vom Index 0.

Literatur[Bearbeiten]

  • William Jaco: Lectures on three-manifold topology. CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 43. American Mathematical Society, Providence, R.I., 1980. ISBN 0-8218-1693-4