Punktierter Torus

Eversion eines punktierten Torus.

In der Mathematik ist ein punktierter Torus eine Fläche, die man aus einem Torus durch Herausnehmen eines Punktes (oder äquivalent einer Kreisscheibe) erhält.

Entsprechend bezeichnet man als zweifach, dreifach oder n-fach punktierten Torus eine Fläche, die man aus einem Torus durch Herausnehmen von 2, 3 oder n Punkten erhält.

Topologie

Wedge-Produkt zweier Kreise

Der punktierte Torus ist homotopieäquivalent zum Wedge-Produkt zweier Kreise. Der n-fach punktierte Torus ist homotopieäquivalent zum Wedge-Produkt von n+1 Kreisen.

Demzufolge ist die Fundamentalgruppe des punktierten Torus eine freie Gruppe mit 2 Erzeugern und die Fundamentalgruppe des n-fach punktierten Torus eine freie Gruppe mit n+1 Erzeugern.

Hyperbolische Geometrie

Hyperbolische Metriken auf dem punktierten Torus lassen sich durch Verkleben zweier idealer Dreiecke konstruieren. Der Teichmüller-Raum hyperbolischer Metriken auf dem punktierten Torus ist 2-dimensional, auf dem n-fach punktierten Torus 2n-dimensional.

Literatur

• Sario, L.; Nakai, M.: Classification theory of Riemann surfaces. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 164 Springer-Verlag, New York-Berlin 1970

Weblinks

• Minsky: Punctured torus groups