Relativistisches Additionstheorem für Geschwindigkeiten

In der klassischen Physik werden Geschwindigkeiten vektoriell addiert. Da in der speziellen Relativitätstheorie gegeneinander bewegte Inertialsysteme durch Lorentztransformationen miteinander zusammenhängen, werden hier zwei Geschwindigkeiten anders als in der klassischen Physik zur Gesamtgeschwindigkeit zusammengesetzt.

Definition

Diagramm zur relativistischen Addition der gleichgerichteten Geschwindigkeiten $u_{x}'$ und $v,$
jeweils ausgedrückt in Bruchteilen der Lichtgeschwindigkeit $c$ (Erläuterungen s. Artikeltext).
Die Konturlinien zeigen die resultierende Geschwindigkeit $u_{x},$ ebenfalls normiert auf $c$
(Abstufung geändert für ${\tfrac {u_{x}}{c}}>0,9$).
Je größer die beiden Ausgangsgeschwindigkeiten, desto stärker weicht das Ergebnis von der arithmetischen Addition ab:
auch von der resultierenden Geschwindigkeit kann die Lichtgeschwindigkeit nicht überschritten werden.

Ein Beobachter ${\mathcal {B}}^{\prime }$ bewege sich gegenüber dem Beobachter ${\mathcal {B}}$ mit der Geschwindigkeit $v$ in Richtung der $x$-Achse. Für den Beobachter ${\mathcal {B}}^{\prime }$ bewege sich ein Körper mit der Geschwindigkeit u' $=(u_{x}^{\prime },u_{y}^{\prime },u_{z}^{\prime })\,.$ Dann hat dieser Körper für den Beobachter ${\mathcal {B}}$ die Geschwindigkeit u mit den Komponenten

$u_{x}={\dfrac {u_{x}'+v}{1+{\dfrac {u_{x}'\,v}{c^{2}}}}}\qquad \qquad \Leftrightarrow {\dfrac {u_{x}}{c}}={\dfrac {{\dfrac {u_{x}'}{c}}+{\dfrac {v}{c}}}{1+{\dfrac {u_{x}'}{c}}\cdot {\dfrac {v}{c}}}}$

$u_{y}={\dfrac {u_{y}'{\sqrt {1-\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{2}}}}{1+{\dfrac {u_{x}'\,v}{c^{2}}}}}=u_{y}'\,{\dfrac {1}{\gamma \left(1+{\dfrac {u_{x}'\,v}{c^{2}}}\right)}}$

$u_{z}={\dfrac {u_{z}'{\sqrt {1-\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{2}}}}{1+{\dfrac {u_{x}'\,v}{c^{2}}}}}=u_{z}'\,{\dfrac {1}{\gamma \left(1+{\dfrac {u_{x}'\,v}{c^{2}}}\right)}}$

mit

• der Lichtgeschwindigkeit $c$ und
• dem Lorentzfaktor

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

Koordinatenfrei ausgedrückt: Die resultierende Geschwindigkeit ${\vec {u}}$ ergibt sich aus der einfachen Addition der Geschwindigkeiten (${\vec {u}}'+{\vec {v}}$) mit folgende Modifikationen:

• Die Geschwindigkeit ${\vec {u}}$ ist um den Faktor $1+{\tfrac {{\vec {u}}'\cdot {\vec {v}}}{c^{2}}}$ kleiner.
• Die Komponenten der Geschwindigkeit ${\vec {u}}$ senkrecht zu ${\vec {v}}$ sind zusätzlich um den Faktor ${\sqrt {1-({\tfrac {v}{c}})^{2}}}$ kleiner.

Interpretation

Sind die beteiligten Geschwindigkeiten sehr klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit

$v\ll c\Leftrightarrow {\frac {v}{c}}\ll 1,$

so unterscheidet sich der Nenner (und auch der Term unter der Wurzel im Zähler) kaum von 1

$\Rightarrow 1+{\frac {u_{x}'\,v}{c^{2}}}\approx 1,\qquad {\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}={\frac {1}{\gamma }}\approx 1$

und es ergibt sich in guter Näherung die übliche nichtrelativistische Geschwindigkeitsaddition:

${\begin{aligned}\Rightarrow u_{x}&\approx u_{x}'+v\\u_{y}&\approx u_{y}'\\u_{z}&\approx u_{z}'.\end{aligned}}$

Beispiel: in einem mit $v=200\ \mathrm {km/h}$ fahrenden Zug ${\mathcal {B}}^{\prime }$ läuft eine Person mit $u_{x}^{\prime }=5\ \mathrm {km/h}$ relativ zum Zug in Fahrtrichtung. Die von einem am Bahndamm stehenden Beobachter ${\mathcal {B}}$ gemessene Geschwindigkeit $u_{x}$ der Person ist gerade mal um 0,17 nm/h langsamer als die bei einfacher Addition erhaltenen $u_{x}^{\prime }+v=205\ \mathrm {km/h}$. Zum Vergleich: der Durchmesser eines Atoms liegt in der Größenordnung von 0,1 nm. Das heißt, der „Zugläufer“ kommt in der Stunde knapp zwei Atomdurchmesser weniger weit, als man es bei nichtrelativistischer Rechnung erwarten würde – was bei einer zurückgelegten Strecke von 205 km sicher vernachlässigbar ist.

Für Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit ergeben sich jedoch deutliche Abweichungen von der nichtrelativistischen Additionsregel, vgl. die folgenden Beispiele.

Folgerungen

Als Folge des Additionstheorems kann auch durch Überlagerung zweier Geschwindigkeiten die Lichtgeschwindigkeit nicht übertroffen werden.

1. Beispiel

Es sei

$v=0{,}75c,\quad u_{x}'=0{,}75c$

Dann ist

$u_{x}={\frac {0{,}75c+0{,}75c}{1+0{,}75\cdot 0{,}75}}={\frac {1{,}5c}{1{,}5625}}=0{,}96c<c$

und nicht etwa 1,5c.

2. Beispiel

Ist die Geschwindigkeit u' für den Beobachter ${\mathcal {B}}^{\prime }$ gleich der Lichtgeschwindigkeit, dann ist sie es auch für den Beobachter ${\mathcal {B}}.$

Ist zum Beispiel

$u_{x}'=0,\quad u_{y}'=c,\quad u_{z}'=0$

dann ist

$u_{x}=v,\quad u_{y}=c\,{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}},\quad u_{z}=0,$

also insbesondere

${\sqrt {u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}}}={\sqrt {v^{2}+c^{2}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)}}={\sqrt {c^{2}}}=c.$

Herleitung

Um das Formelbild einfach zu halten, verwenden wir als Längeneinheit die Strecke, die Licht in einer Sekunde zurückgelegt hat, und nennen sie eine Lichtsekunde. Dann haben Zeit und Länge dieselbe Maßeinheit und die dimensionslose Lichtgeschwindigkeit beträgt $c=1.$ Untersuchungen in anderen Maßsystemen bringen keine tieferen Einsichten.

Aus der inversen Lorentz-Transformation (Ersatz von $v$ durch -$v$)

$t={\frac {t'+v\,x'}{\sqrt {1-v^{2}}}}\ ,\quad x={\frac {x'+v\,t'}{\sqrt {1-v^{2}}}}\ ,\quad y=y'\ ,\quad z=z'$

folgt, da die Transformation linear ist, für die Differentiale

$\mathrm {d} t={\frac {\mathrm {d} t'+v\,\mathrm {d} x'}{\sqrt {1-v^{2}}}}\ ,\quad \mathrm {d} x={\frac {\mathrm {d} x'+v\,\mathrm {d} t'}{\sqrt {1-v^{2}}}}\ ,\quad \mathrm {d} y=\mathrm {d} y'\ ,\quad \mathrm {d} z=\mathrm {d} z'\,.$

Daher folgt für die Geschwindigkeiten, die der Beobachter ${\mathcal {B}}$ ermittelt,

$u_{x}={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} x'+v\,\mathrm {d} t'}{\mathrm {d} t'+v\,\mathrm {d} x'}}={\frac {{\frac {\mathrm {d} x'}{\mathrm {d} t'}}+v}{1+v\,{\frac {\mathrm {d} x'}{\mathrm {d} t'}}}}={\frac {u_{x}'+v}{1+v\,u_{x}'}}\ ,$

$u_{y}={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} y'{\sqrt {1-v^{2}}}}{\mathrm {d} t'+v\,\mathrm {d} x'}}={\frac {{\frac {\mathrm {d} y'}{\mathrm {d} t'}}{\sqrt {1-v^{2}}}}{1+v\,{\frac {\mathrm {d} x'}{\mathrm {d} t'}}}}={\frac {u_{y}'{\sqrt {1-v^{2}}}}{1+v\,u_{x}'}}\ ,$

$u_{z}={\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} z'{\sqrt {1-v^{2}}}}{\mathrm {d} t'+v\,\mathrm {d} x'}}={\frac {{\frac {\mathrm {d} z'}{\mathrm {d} t'}}{\sqrt {1-v^{2}}}}{1+v\,{\frac {\mathrm {d} x'}{\mathrm {d} t'}}}}={\frac {u_{z}'{\sqrt {1-v^{2}}}}{1+v\,u_{x}'}}\ .$

Umgekehrt gilt (Ersetzen von $v$ durch -$v$, mit allen Faktoren $c$)

$u_{x}'={\frac {u_{x}-v}{1-{\frac {v\,u_{x}}{c^{2}}}}}\ ,\quad u_{y}'={\frac {u_{y}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {v\,u_{x}}{c^{2}}}}}\ ,\quad u_{z}'={\frac {u_{z}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {v\,u_{x}}{c^{2}}}}}\ .$

Weblinks

Wikibooks: Spezielle Relativitätstheorie – Lern- und Lehrmaterialien